|
|||||
| 1. | a. |
 |
|||
| Voor n naar
oneindig gaat dit naar 0,5 (de laatste twee termen gaan naar nul) De rij convergeert dus. |
|||||
| b. |
 |
||||
| Voor n naar omeindig gaat dit naar 0, dus de rij convergeert. | |||||
| c. |
 |
||||
| Voor n naar oneindig gaat dit ook naar oneindig, dus de rij divergeert. | |||||
| 2. | a. |
 |
|||
| Voor n naar oneindig gaat de absolute waarde daarvan naar 5, dus de rij divergeert | |||||
| b. |
 |
||||
| Voor n naar
oneindig gaat n1/n naar 1, dus de
absolute waarde van deze term gaat naar 0,5/4 =
0,125 Dat is kleiner dan 1, dus de rij convergeert |
|||||
| c. |
 |
||||
| Voor n naar
oneindig gaat n1/n naar 1, dus deze term
gaat naar 1 • 0,5 = 0,5 Dat is kleiner dan 1, dus de rij convergeert |
|||||
| d. |
|
||||
| Dus de rij convergeert. | |||||
| e. |
|
||||
| Dus de rij convergeert. | |||||
| 3. | Als d'Alembert
L = 1 levert dan betekent dat, dat un / un+1
→ 1
(→ betekent "gaat naar" ofwel: "komt willekeurig dicht bij") Stel nu dat je bij Cauchy zou vinden dat (un)1/n → L2 (met L2 niet 1, en L2 groter dan nul) dan geldt un → L2n en un + 1 → L2n + 1 |
||||
 |
|||||
| Kortom: de L bij Cauchy zal ook 1 zijn!! | |||||
| 4. | Gebruik d'Alembert. Als de rij convergeert dan gaat un + 1 / un naar een getal L (niet 1) |
||||
 |
|||||
| Omdat 1 + 1/n naar 1 gaat, gaat dit laatste naar un + 1 / un dus ook naar L. | |||||
| 5. | De factoren worden
achtereenvolgens: b/a a2/b = a • (a/b) b2/a2 = (b/a)2 a3/b2 = a • (a/b)2 b3/a3 = (b/a)3 enz. De blauwe serie vormt een meetkundige rij met reden r = b/a > 1 dus die divergeert De rode serie vormt een meetkundige rij met reden r = a/b < 1 dus die convergeert De rij blijft om-en-om rood en blauw, dus dat gaat niet naar een vaste waarde L. |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
