|
|||||
| 1. | a. | un
= un - 1 1,04 met u0
= 400 is de recursievergelijking. Dat geeft directe vergelijking un = 400 1,04n |
|||
| b. | un
is het reactievermogen en n het aantal gedronken glazen alcohol. un = un - 1 + 0,2 met u0 = 0,8 is de recursievergelijking Dat geeft directe vergelijking un = 0,8 + 0,2n |
||||
| c. | un
is het aantal snoepjes dat hij heeft en n is het aantal dagen. un = un - 1 - 7 met u0 = 126 is de recursievergelijking Dat geeft directe vergelijking un = 126 - 7n |
||||
| d. | un
is het aantal korrels, n het veldnummer un = un - 1 2 met u1 = 1 is de recursievergelijking Dat geeft de directe vergelijking un = 0,5 2n |
||||
| e. | un
is het aantal donaties, n het aantal uitzendingen un = un - 1 0,9 want 10% kleiner betekent 90% over, met u1 = 45000 is de recursievergelijking Dat geeft de directe vergelijking un = 50000 0,9n |
||||
| f. | un
is het bedrag, n het aantal rondjes un = un - 1 + 0,15, met u0 = 4 is de recursievergelijking Dat geeft de directe vergelijking un = 4 + 0,15n |
||||
| g. | un
is het bedrag, n het aantal rondjes un = 0,98 un - 1, met u0 = 35000 is de recursievergelijking Dat geeft de directe vergelijking un = 35000 0,98n |
||||
| 2. | a. | un
= un - 1 + 14 met u0 = 12
geeft directe vergelijking un = 12 + 14n met u1 = 12 geeft dat un = -2 + 14n |
|||
| b. | un
= un - 1 1,5 met u0
= 40 geeft directe vergelijking un = 40
1,5n met u1 = 40 geeft het un = 262/3 1,5n |
||||
| 3. | a. | 256 r12
= 512 dus r12 = 2 en dan is
r = 21/12 = 1,059 u1 = 256 dus u0 = 256/1,059 = 241,63 Dat geeft un = 241,63 1,059n |
|||
| b. | De A is nummer 10, dus u10 = 241,63 1,05910 = 430,5 Hz | ||||
| 4. | a. | Bekijk de hoek die de
wijzer met de lijn omhoog naar de 12 maakt. De wijzers staan op dezelfde
plaats als hun hoek gelijk is, of een aantal keer 360Ί verschilt. De grote wijzer legt in 1 uur 360Ί af De kleine wijzer legt in 1 uur 30Ί af Per uur haalt de grote wijzer de kleine dus 330Ί in Om 360Ί in te halen is dus 360/330 uur nodig en dat is 60 360/330 = 720/11 minuten Als de wijzers op een bepaald moment un gelijk staan, dan staan ze dus 720/11 minuten later weer gelijk. Daarom is tn = tn-1 + 720/11 |
|||
| b. | t0
= 0 tn = 720/11 n |
||||
| 5. | a. | B/L
= 0,5L/B 0,5L2 = B2 L2 = 2B2 L = √(2B2) = B √2 Dus als de breedte Bn is en de lengte L, dan is de volgende breedte Bn + 1 = L = Bn √2 |
|||
| b. | 1 m2 =
1000000 mm2 L0 B0 = 1000000 B0 √2 B0 = 1000000 B02 = 1000000/√2 = 707107 B0 = √(707107) = 841 mm Dan is L0 = 841 √2 = 1189 mm |
||||
| c. | Ln = Ln - 1 √2 met L0 = 1189 geeft Ln = 1189 (√2)n | ||||
| d. | On =
1/2
On-1 met O0 = 1 mode seq nmin = 0 u(n) = 0,5 u(n - 1) u(nMin) = 1 1 mm2 = 0,000001 m2 TABLE geeft dan bij n = 20 voor het eerste een waarde kleiner dan 0,000001 |
||||
| e. | O0
= 1 dus On = 1 0,5n
1 0,519 = 0,0000019 en dat is meer dan 0,0000001 1 0,520 = 0,00000095 en dat is minder dan 0,000001 Dat klopt dus. |
||||
| 6. | a. | u4
r3 = u7 162 r3 = 4374 r3 = 4374/162 = 27 r = 3 u9 = u7 r2 = 4364 32 = 39276 |
|||
| b. | u4 + 3a
= u7 162 + 3a = 4374 3a = 4212 a = 1404 u9 = u7 + 2a = 4374 + 2 1404 = 7182 |
||||
| 7. | a. | drie opvolgende
termen zijn u en ru en m r2u Dan is hun product u ru r2u = r3u3 = 1/8 dat geeft (ru)3 = 1/8 dus ru = 1/2 dus u = 1/2r Dan is hun som u + ru + r2u = u(1 + r + r2) = 7/4 Vul nu in u = 1/2r dan krijg je 1/2r (1 + r + r2) = 7/4 1 + r + r2 = 7/4 2r 4 + 4r + 4r2 = 14r 4r2 - 10r + 4 = 0 r2 - 21/2r + 1 = 0 (r - 2)(r - 1/2) = 0 r = 2 ∨ r = 1/2 Eerste mogelijkheid: r = 2 en u = 1/4 en de drie termen 1/4, 1/2 en 1 Tweede mogelijkheid: r = 1/2 en u = 1 en weer de drie termen 1, 1/2 en 1/4 |
|||
| b. | drie opvolgende
termen zijn dan u en u + a en u
+ 2a Dan is hun som u + u + a + u + 2a = 3u + 3a = 7/4 dus u + a = 7/12 dus de middelste term is dus 7/12 en de termen zijn dan 7/12 - a, 7/12 en 7/12 + a Dan is hun product (7/12 - a) 7/12 (7/12 + a) = 1/8 (7/12 - a)(7/12 + a) = 3/14 49/144 - a2 = 3/14 a2 = 127/1008 a = √(127/1008) = 0,3549 De termen zijn ongeveer 0,2284 en 7/12 en 0,9383 |
||||
| 8. | a. | kijk alleen naar de
vrouwtjes: maand 0: 20 maand 1: 20 oud + 100 nieuw = 120 totaal maand 2: 120 oud + 600 nieuw = 720 totaal elke keer wordt vermenigvuldigd met 6, dus is de rij meetkundig en de reden is r = 6 |
|||
| b. | Er zijn steeds
evenveel mannetjes als vrouwtjes, dus het totaal aantal is altijd het
dubbele van het aantal vrouwtjes. Als iets met 6 wordt vermenigvuldigd, dan wordt het dubbele daarvan σσk met 6 vermenigvuldigd! |
||||
| c. | Met A ratten zijn er
0,5A vrouwtjes Die krijgen 0,5A N nakomelingen Het nieuwe aantal ratten is dan A + 0,5AN = A (1 + 0,5N) Dus An = An - 1 (1 + 0,5N) De reden is (1 + 0,5N) en de beginwaarde is B. Dan is een directe formule An = B rn = B (1 + 0,5N)n |
||||
| d. | De nestgroottes
worden steeds met 5 vermenigvuldigd, dus de reden van de rij is 5. Dan is 1 + 0,5N = 5 Dat geeft N = 8 |
||||
| 9. | a. | tellers: steeds
+3 dus een rekenkundige rij met beginwaarde T1 = 4
en dan is de directe formule Tn = 1 + 3n noemers: steeds +5 dus een rekenkundige rij met beginwaarde N1 = 9 en dan is de directe formule Nn = 4 + 5n |
|||
| b. | Bn = T/N = (1 + 3n)/(4 + 5n) | ||||
| c. | Als n groter
wordt, gaat dit langzaam naar 3/5
toe want de 1 en de 4 doen er dan niet zoveel meer toe. Y1 = (1 + 3X)/(4 + 5X) Kijk in de tabel wanneer dat groter dan 0,59 wordt. Dat is voor het eerst bij n = 28 Vanaf n = 28 verschilt un minder dan 0,01 van de grenswaarde 0,6. |
||||
| 10. | x, y,
z is dan de rij x, rx, r2x x, 2y, 3z is dan de rij x, 2rx, 3r2x en dat moet rekenkundig zijn. Dus moet gelden 2rx - x = 3r2x - 2rx x(2r - 1) = x(3r2 - 2r) 2r - 1 = 3r2 - 2r (we laten de flauwe oplossing x = y = z = 0 buiten beschouwing) 3r2 - 4r + 1 = 0 ABC-formule: r = (4 ± √(16 - 12))/6 = (4 ± 2)/6 = 1 of 1/3 |
||||
| 11. | De eerste drie termen
zijn u1, u1 + a en
u1 + 2a Dat is samen 12, dus 3u1 + 3a = 12 dus u1 + a = 4 dus u1 = 4 - a u1 - u2 - u6 is het rijtje u1 en u1 + a en u1 + 5a Dat is meetkundig, dus (u1 + a)/u1 = (u1 + 5a)/(u1 + a) Dat geeft (u1 + a)(u1 + a) = (u1 + 5a) u1 Gebruik nu dat u1 = 4 - a, dan vind je: 16 = (4 + 4a)(4 - a) 16 = 16 + 12a - 4a2 4a2 - 12a = 0 4a(a - 3) = 0 a = 0 ∨ a = 3 a = 0 geeft het rijtje 4 - 4 - 4 - ..... en dan is u10 = 4 a = 3 geeft het rijtje: 1 - 4 - 7 - 10 - ..... en dan is u10 = 28 |
||||
| 12. | a. |
 |
|||
|
|
|||||
 |
|||||
| b. | de rij wordt
u0 - u1 - u2 - u0
- u1 - u2 - ..... u2010 = u0 want 2010 is een drievoud. Dan is u2012 = u2 = (u0 - 1)/u0 = (2 - 1)/2 = 1/2 |
||||
| 13. | u(n) = 92-n
4n + 1 = 92 9-n 4n 41 = 81 (9-1)n 4n 4 = 324 (9-1 4)n = 324 (4/9)n Dat is inderdaad de directe formule voor een meetkundige rij, met B = 324 en r = 4/9 |
||||
| 14. | de factor tussen 51/2
en 51/3 is 5-1/6 De factor tussen 51/3 en 51/6 is weer 5-1/6 De volgende term is dus 51/6 5-1/6 = 1 |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
