Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

12 + 19 + 26 + 33 + 40 + ... + 208
u_n = u_{n - 1} + 7
de directe formule is u_n = 7n + 5
7n + 5 = 208 geeft n = 29
S = 0,5 • 29 • (12 + 208) = 3190

2 + 57 + 112 + 167 + 222 + ... + 6822
u_n = u_{n - 1} + 55
de directe formule is u_n = 55n - 53
55n - 53 = 6822 geeft n = 125
S = 0,5 • 125 • (2 + 6822) = 426500

eerste dag: 2000 • 0,5 = 1000 liter
tweede dag: 1995 • 0,5 = 997,5 liter
derde dag: 1990 • 0,5 = 995 liter
vierhonderdste dag: 5 • 0,5 = 2,5 liter

dat geeft de rij 1000 - 997,5 - 995 - ... - 2,5
S = 0,5 • 400 • (1000 + 2,5) = 200500 liter

de rij is 5 - 8 - 11 -
een directe formule is u_n = 3n + 2

Met n strepen is de eerste 5 en de laatste 3n + 2
S = 0,5 • n(5 + 3n + 2) = 0,5n • (3n + 7) = 1,5n² + 3,5n

n = 56 geeft L = 4900 en dat is inderdaad 49 meter

de zwarte strepen zijn 5 - 11 - 17 - ....
een directe formule is u_n = 6n - 1
er zijn 28 zwarte strepen, dus de laatste heeft breedte 6 • 28 - 1 = 167
S = 0,5 • 28 • (5 + 167) = 2408 cm

de rij van rondetijden is 34.0 - 34.2 - 34.4 - ....
een directe formule is u_n = 0,2n + 33,8
rondje 25 duurt dan 0,2 • 25 + 33,8 = 38,8 seconden
S = 0,5 • 25 • (34.0 + 38.8) = 910 seconden
Dat is 15 minuten en 10 seconden

Als het eerste rondje x seconden duurt is het laatste rondje x + 0,2 + 0,2 • 25 = x + 5,2
S = 0,5 • 25 • (x + x + 5,2) = 15 • 60 = 900
12.5 • (2x + 5,2) = 900
25x + 65 = 900
25x = 835
x = 33,4 sec.

het aantal lijntjes (en dus de omtrek) is: 4 - 8 - 12 - 16 - ....
u_n = 4n
Het 100^ste trapje heeft u₁₀₀ = 400
S₁₀₀ = 0,5 • 100 • (4 + 400) = 20200

u₈₀ = 320
S₈₀ = 0,5 • 80 • (4 + 320) = 12960

Dat is ¹²⁹⁶⁰/₂₀₂₀₀ • 100% = 64,2%

Het honderdste trapje heeft oppervlakte 100 + 99 + 98 + ... + 1 (alle lagen optellen)
S = 0,5 • 100 • (100 + 1) = 5050

De som van n getallen is S_n = 0,5n(1 + n) = 0,5n + 0,5n²

het hoogst mogelijk gemiddelde krijg je als je het getal 1 weglaat.
Dan is de som 0,5n + 0,5n² - 1 = 0,5(n² + n - 2) = 0,5(n - 1)(n + 2)
Voor het gemiddelde moet je dat delen door n - 1 dus dat geeft 0,5(n + 2)

Het laagst mogelijke gemiddelde krijg je als je het getal n weglaat
Dan is de som 0,5n + 0,5n² - n = 0,5(n² - n) = 0,5n(n - 1)
Voor het gemiddelde moet je dat delen door n - 1 dus dat geeft 0,5n

0,5n = 35⁷/₁₇ geeft n = 70¹⁴/₁₇
0,5(n + 2) = 35⁷/₁₇ = 68¹⁴/₁₇
n zou gelijk kunnen zijn aan 69 of aan 70

Als je 69 getallen hebt is de som S₆₉ = 0,5 • 69 • (1 + 69) = 2415
Van de overgebleven 68 getallen is het gemiddelde 35⁷/₁₇ dus de som 68 • 35⁷/₁₇ = 2408
Dus is het getal 7 weggelaten

Als je 70 getallen hebt is de som S₇₀ = 0,5 • 70 • (1 + 70) = 2485
Van de overgebleven 69 getallen is het gemiddelde 35⁷/₁₇ dus de som 69 • 35⁷/₁₇ = 2443⁷/₁₇ en dat kan niet

Conclusie: het getal 7 is weggelaten.

de halve cirkels hebben straal 1 - 1,5 - 2 - 2,5 - ..... - 50,5
de halve cirkels hebben omtrek πr dus π • ( 1 - 1,5 - 2 - 2,5 - ..... - 50,5)
S = π • 0,5 • 100 • (1 + 50,5) = 2575π (≈ 8089,6)

de lengtes zijn 8 -8 - 8 - 7 - 7 - 6 - 6 - 5 - 5 - .... - 1 - 1
dat is samen 8 + 2 • (8 + 7 + 6 + ... + 1) = 8 + 2 • 0,5 • 8 • (1 + 8) = 80

dat wordt: 150 + 2 • 0,5 • 150 • (1 + 150) = 22800 cm

als het vierkant zijden n heeft is de spiraal n + 2 • 0,5 • n • (1 + n)
dat is n + n • (1 + n) = 2n + n²
2n + n² = 10000
n² + 2n - 10000 = 0
ABC-formule: n = ^{(-2
±√(4 + 40000))}/₂ = 99,5 (of -101 maar dat kan niet)
Het vierkant moet dan minstens zijden van 100 cm hebben

de rij is 8 - 11 - 14 - 17 - ...
recursievergelijking: s_n = s_n_{- 1} + 3 met s₁ = 8
directe vergelijking s_n = 3n + 5

s₅₀ = 3 • 50 + 5 = 155
Som = 0,5 • 50 • (8 + 155) = 4075

10.

de rij terugbetaalbedragen is 100 - 120 - 140 - 160 - ....
directe formule: u_n = 20n + 80

u₁₂ = 20 • 12 + 80 = 320
som is 0,5 • 12 • (100 + 320) = 2520

S_n = 0,5 • n • (100 + 20n + 80)
S_n = 0,5n • (180 + 20n)
S_n = 90n + 10n²

90n + 10n² = 10000
10n² + 90n - 10000 = 0
n² + 9n - 1000 = 0
ABC-formule: n = ^{(-9 ±√(81
+ 4000))}/₂ = 27,4 (of -36,4 maar dat kan niet)
Het duurt dus 28 maanden