|
|||||
| 1. | de afstanden van A
naar het eind van de spiraal zijn achtereenvolgens: 1 - 1/2 - 3/4 - 5/8 - 11/16 - ..... Dat komt tot stand als 1 1 - 1/2 1 - 1/2 + 1/4 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 - 1/32 + .... Splits de rij in twee delen: 1 + 1/4 + 1/16 + ....... is meetkundig met reden 1/4. Soneindig = (0 - 1)/(1/4 - 1) = 4/3 1/2 + 1/8 + 1/32 + .... is meetkundig met reden 1/4 Soneindig = (0 - 1/2)/(1/4 - 1) = 2/3 Samen geeft dat de afstand 4/3 - 2/3 = 2/3 vanaf A |
||||
| 2. | 1 + r + r2 + r3 + .....
is een meetkundige rij met reden r en omdat r < 1
gaat dat naar nul. de som is dan gelijk aan S = (0 - 1)/(r - 1) = 1/(1 - r) 1 + r2 + r4 + r6 + .... is een meetkundige rij met reden r2 en omdat r < 1 is ook r2 < 1 dus dat gaat ook naar nul. de som is dan gelijk aan T = (0 - 1)/(r2 - 1) = 1/(1 - r2) = 1/(1 - r)(1 + r) = S 1/(1 + r) |
||||
| 3. | a. | S = 1/p0
+ 1/p1 + 1/p2
+ 1/p3 +
..... + 1/pn pn S = pn + pn - 1 + pn - 2 + pn - 3 + .... + p0 en dat is een meetkundige rij met reden p De som van de termen 0 tot en met n is gelijk aan (pn + 1 - p0 )/(p - 1) |
|||
 |
|||||
| b. | v1
= u1 - u0 v2 = u2 - u1 v3 = u3 - u2 enz. v1 + v2 + v3 + ... + vn = ( u1 - u0) + (u2 - u1) + (u3 - u2) + ... + (un - un-1) Dat valt allemaal tegen elkaar weg, behalve -u0 en un Dus v1 + v2 + v3 + ... + vn = un - u0 = 1/pn - 1 |
||||
| 4. | Neem de rij
a - ar - ar2
- ar3 - ..... Stel dat de term arn gelijk is aan de som van alle volgenden. (dan moet dus r < 1 anders kan dat niet) Dus dan geldt arn = arn+1 + arn+2 + .... Daar aan de rechterkant staat de som van een meetkundige rij met beginterm arn + 1 en reden r |
||||
 |
|||||
| Dat moest gelijk zijn
aan de nde term arn dus
dan moet gelden r/(1 - r) = 1 Daaruit volgt 1 - r = r dus r = 1/2 |
|||||
| Aan deze afleiding
zie je meteen dat het dan voor alle termen van de rij geldt, immers de
n in de afleiding valt weg! Als je maar kiest r = 1/2 is dus elke term gelijk aan de som van alle volgenden. |
|||||
| 5. | a. | Sn
= 1 + 2r + 3r2 + 4r3 + 5r4
+ ... + nrn - 1 rSn = r + 2r2 + 3r3 + 4r4 + 5r5 + ... + nrn Sn - rSn = 1 + r + r2 + r3 + r4 + ... + rn - 1 - nrn |
|||
| b. | 1 + r + r2 + r3 + r4 + ... + rn - 1 is een meetkundige rij met som (r^n - 1)/(r - 1) | ||||
| Dat geeft dan:
Sn(1 - r) = (r^n - 1)/(r
- 1) - nrn = (1
- r^n )/(1 - r) - nrn
Delen door (1 - r): |
|||||
 |
|||||
| 6. | a. | u0
= 14 u1 = 0 u2 = 0,5(0 + 14) = 7 u3 = 0,5(7 + 0) = 3,5 u4 = 0,5(7 + 3,5) = 5,25 |
|||
| b. | vk = 0,5(uk-1 + uk-2) - uk-1 = -0,5uk-1 + 0,5uk-2 = 0,5(uk-2 - uk-1) = -0,5vk-1 | ||||
| c. | Gebruik vn
= -0,5vn-1: un = u0 + v1 + v2 + ... + vn = u0 + v1 + (-0,5)v1 + (-0,5)2v1 + (-0,5)3v1 + ... (-0,5)n-1v1 Maar u0 = 14 en v1 = -14. Dat geeft: un = 14 - 14(1 + -0,5 + (-0,5)2 + (-0,5)3 + ... + (-0,5)n-1) Het laatste deel tussen haakjes is een meetkundige rij met reden -0,5 en beginwaarde 1. S = (-0,5^n - 1)/(-0,5 - 1) = (1- (-0,5)^n)/1,5 Dat geeft un = 14 - 14/1,5 (1 - (-0,5)n) = 14 + 91/3((-0,5)n - 1) en dat is inderdaad de gevraagde formule. |
||||
| d. | Als n
een groot getal is, gaat (-0,5)n naar nul, en de hele
formule naar : 14 + 91/3(0 - 1) = 42/3 |
||||
| 7. | De som van de
bovenrand is gelijk aan 2,7 + 0,92 2,7 + 0,94
2,7 + ... Dat is een meetkundige rij met reden 0,92 = 0,81 De som ervan is S = 2,7/(1 - 0,81) = 14,21 Dat is meer dan 14 dus de finishlijn wordt wel overschreden. |
||||
| 8. | De opraper legt af:
4 + 8 + 12 + ......meter De laatste term is 4 + 98 4 = meter. De som is dan 0,5 (4 + 396) 99 = 19800 meter, ofwel 19,8 km. Heen en weer naar Zandvoort is 18 km, dus dat moet kunnen!!!! |
||||
| 9. | Noem de beginwaarde B
en de reden r som van de termen is (0 - B)/(r - 1) < 2 dus B > 2 - 2r en dan is B2 > (2 - 2r)2 ......(1) de kwadraten hebben beginwaarde B2 en reden r2 som van de kwadraten is (0 - Bē)/(rē - 1) > 2 dus B2 < 2 - 2r2 ....(2) Dan moet dus gelden : (2 - 2r)2 < 2 - 2r2 (2 - 2r)2 = 2 - 2r2 geeft r = 1 ∨ r = 1/3 (haakjes wegwerken en ABC-formule) De ongelijkheid geldt voor 0 < r < 1/3 |
||||
|
Đ h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||