|
|||||
| 1. | a. | (2i)2 + 8 = 2i • 2i + 8 = -4 + 8 = 4 |
|||
| b. | (-6i)3 = -6i • -6i • -6i = (-6 • -6 • -6) • i3 = -216 • -i = 216i |
||||
| c. | 2i4 + 2 = 2 • -1 • -1 + 2 = 4 |
||||
| d. | -2i • 6i = (-2 • 6) • i2 = -12 • -1 = 12 |
||||
| e. | (-i)3 - 4i = -13• i3 - 4i = -1 • -1i - 4i = i - 4i = -3i |
||||
| f. | 1 + i2 + 6i4 = 1 + -1 + 6 • -1 • -1 = 1 - 1 + 6 = 6 |
||||
| g. | (-3i)3 - 4i = (-3)3 • i3 - 4i = -27 • -i - 4i = 27i - 4i = 23i |
||||
| h. | i - i2 - i3
- i4 - i5 = i - - 1 - -1i - 1 - i = i + 1 + i - 1 - i = i |
||||
| i. | i3000 = (i2)1500 = (-1)1500 = -1 |
||||
| j. | (2 - i)(2 + i) = 2 • 2 + 2 • i - 2 • i - i • i = 4 + 2i - 2i + 1 = 5 |
||||
| 2. | a. | i • (2 + 3i) = 2i + 3i2 = 2i - 3 = -3 + 2i |
|||
| b. | (6 - 2i) • (5 + 3i) = 6 • 5 + 18i - 10i - 6i2 = 30 + 18i - 10i + 6 = 36 + 8i |
||||
| c. | (1 - i)2 = (1 - i)(1 - i) = 1 - i - i + i2 = 1 - 2i - 1 = -2i |
||||
| d. | -4i • (-2i - 6) = 8i2 + 24i = -6 + 24i |
||||
| e. | i - (6 - 3i) = i - 6 + 3i = -6 + 4i |
||||
| f. | i + 2 - (3 - 5i) = i + 2 - 3 + 5i = -1 + 6i |
||||
| g. | (2i - 1)3 = (2i - 1)(2i - 1)(2i - 1) = (2i - 1)(4i2 - 2i - 2i + 1) = (2i - 1)(-4 - 4i + 1) = (2i - 1)(-3 - 4i) = -6i - 8i2 + 3 + 4i = -6i + 8 + 3 + 4i = 11 - 2i |
||||
| h. | (4i - 2) • (-3 - i) = -12i - 4i2 + 6 + 2i = -12i + 4 + 6 + 2i = 10 - 10i |
||||
| i. | 3i • (2i • (i - 1)) = 3i • (2i2 - 2i) = 3i • (-2 - 2i) = -6i - 6i2 = 6 - 6i |
||||
| 3. | a. |
 |
|||
| b. |
 |
||||
| c. |
 |
||||
| d. |
 |
||||
| e. |
 |
||||
| f. |
 |
||||
| g. |
 |
||||
| h. |
|
||||
| i. |
 |
||||
| 4. | a. | z2 + 4 = 0 z2 = -4 z = ±2i |
|||
| b. | z2 + 2z + 8 = 0 z = (-2 ± √(4-32))/2 = (-2 ± √-28)/2 = -1 ± 1/2√(-28) = -1 ± i√7 |
||||
| c. | z3 + 6z2 + 16z
= 0 z(z2 + 6z + 16) = 0 z = 0 ∨ z = (-6 ±√(36 - 4 • 16))/2 z = 0 ∨ z = (-6 ±√-28)/2 z = 0 ∨ z = -2 ± 1/2√(-28) z = 0 ∨ z = -2 ± i√7 |
||||
| d. | (z - 2)(z + 1) = 4z2 z2 - 2z + z - 2 = 4z2 3z2 + z + 2 = 0 z = (-1 ±√(1 - 4 • 3 • 2))/6 z = (-1 ± √(-13))/6 z = -1/6 ± 1/6i√13 |
||||
| e. | z4 + 6z2
+ 8 = 0 (z2 + 2)(z2 + 4) = 0 z2 = -2 ∨ z2 = -4 z = ±i√2 ∨ z = ±2i |
||||
| f. | 2z3 + z5 = 0 z3(2 + z2) = 0 z3 = 0 ∨ 2 + z2 = 0 z = 0 ∨ z2 = -2 z = 0 ∨ z = ±i√2 |
||||
| 5. | eigenschap 1: Stel z1 = a + bi en z2 = c + di (a + bi) + (c + di) = (a + b) + (c + d)i en de geconjugeerde daarvan is (a + b) - (c + d)i De geconjugeerden van z1 en z2 zijn a - bi en c - di (a - bi) + (c - di) = (a + b) - (c + d)i en dat is inderdaad gelijk aan de som hierboven. eigenschap 2. Stel z1 = a + bi en z2 = c + di z1 • z2 = (a + bi) • (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad + bc)i de geconjugeerde daarvan is (ac - bd) - (ad + bc)i De geconjugeerden van z1 en z2 zijn a - bi en c - di (a - bi) • (c - di) = ac - adi - bci + bdi2 = (ac - bd) - (ad + bc)i en dat is inderdaad gelijk aan de som hierboven. eigenschap 3. volgt eigenlijk direct uit eigenschap 2, door voor z1 en z2 dezelfde z te nemen. |
||||
 |
|||||
| Hier is zn
opgevat als twee getallen, en die zijn met eigenschap 2 in twee
geconjugeerden veranderd. Maar datzelfde kun je bij die delen steeds weer doen, net zolang totdat je allemaal losse z's hebt. |
|||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
