|
|||||
1. | Kies de oorsprong als
hiernaast, en loop van O naar het bovenste punt van de
zevenhoek. De eerste stap is 3. Elke volgende wordt gedraaid over 360/7 º en dat is hetzelfde als vermenigvuldigen met het complexe getal z = cos(360/7) + isin(360/7) Bereken met je GR 3 + 3z + 3z2 + 3z3 Dat geeft 1,5 + 6,5719i De hoogte is dus 6,57 |
|
|||
2. | Kies het
aangrijpingspunt van de krachten als oorsprong, en schrijf de krachten
als complexe getallen: F1 = 3,2 • (cos(-54) + isin(-54)) F2 = 4,0 • cos(23 + isin23) F3 = -5,1 Bereken F1 + F2 + F3 Dat geeft 0,463 - 1,026i ABS daarvan is 1,126 en angle daarvan is -65,71º |
||||
3. | z1
= 20(cos(-26) + isin(-26)) : de
waterstroming per uur z2 = 80(cos(-126) + isin(-126)) : varen van het schip per uur samengesteld: z3 = z1 + z2 = -29,047 + i • -73,489 de netto beweging van het schip Na 3 uur geeft dat 3z3 = -87,141 + i • -220,466 B is de vector zB = 240(cos(-126) + isin(-126)) De vector daartussen is 3z3 - zB = 53,928 + i • 26,302 De afstand is abs(3z3 - zB) = 60 km |
||||
4. | a. | B = a + bi
en C = 0 Dan is de vector BC het complexe getal -a - bi Draaien over 90º betekent vermenigvuldigen met i: b - ia Van C (0) naar S1 lopen: S1 = b - ia |
|||
b. | B = a + bi
en A = 4 + 5i Dan is de vector BA het complexe getal (4 - a) + i(5 - b) Draaien over -90º is vermenigvuldigen met -i: (5 - b) + i(a - 4) Van A naar S2: 4 + 5i + (5 - b) + (a - 4)i = (9 - b) + i(1 + a) |
||||
c. | Het midden van S1 en S2: (41/2 + 1/2i) | ||||
d. | De route met punt
B: Stel dat A = (p + qi) en B = (a + bi) S1 = b - ia (zie vraag a) BA is het complexe getal (p - a) + i(q - b) dus draaien over -90º is (q - b) + i(a - p) Dan is S2: (p + qi) + (q - b) + i(a - p) = (p + q - b) + i(q + a - p) Het midden van S1 en S2 is dan 1/2(p + q) + 1/2i • (q - p) De route zonder B: C = 0 en A = p + qi dus de vector CA is p + qi en 1/2AC = 1/2(p + qi) 90º rechtsom draaien is vermenigvuldigen met -i dus dat is het complexe getal 1/2(q - ip) Tel dat bij 1/2AC op: 1/2(p + qi) + 1/2(q - ip) = 1/2(p + q) + 1/2i(q - p) en dat is inderdaad hetzelfde punt als bij de vorige route. |
||||
5. | Loop via vectoren
(dus met complexe getallen) van O naar B naar C B = (6, 2) dus in het complexe vlak is zB = 6 + 2i A = (1, 8) dus in het complexe vlak is zA = 1 + 8i en de vector BA is het complexe getal -5 + 6i Draaien over -45º en vermenigvuldigen met 0,5 betekent vermenigvuldigen met het complexe getal z = 0,5(cos(-45) + isin(-45)) = 1/4√2 - i • 1/4√2 Dat geeft voor de vector BC: (-5 + 6i) • ( 1/4√2 - i • 1/4√2) Punt C krijg je als je deze vector vanaf B toepast: OC = OB + BC = (6 + 2i) + (-5 + 6i) • ( 1/4√2 - i • 1/4√2) = 6,36 + 5,89i C is ongeveer het punt (6.36, 5.89) |
||||
6. | a. | Draaien over 20º en
de lengte reduceren tot 70% is vermenigvuldigen met het getal
z = 0,7(cos20 + isin20) De eerste stap is 5. Na 12 stappen: 5 + 5z + 5z2 + ... + 5z11 = (5z12 - 5)/(z - 1) = 9,795 + i • 7,028 |
|||
b. | oneindig veel termen: S = 5/(1 - z) = 9,810 + i • 6,863 | ||||
7. | Als elke keer wordt
vermenigvuldigd met het getal z, dan zal hij uiteindelijk in
S = -10/(z - 1) belanden Dat moet gelijk zijn aan 4 + 4i z - 1 = -10/(4 + 4i) dus z = 1 - 1/(4 + 4i) = 0,875 + 0,125i Dat is draaien over een hoek waarvoor tan-1(0,125/0,875) = 8,1301º en vermenigvuldigen met factor r = √(0,8752 + 0,1252) = 0,8839 |
||||
8. | a. | Elk getal ontstaat
uit het vorige door te vermenigvuldigen met 0,5 en te draaien over 180º Dat betekent vermenigvuldigen met -0,5 De eerste stap is 1, dus uiteindelijk geeft dat S = 1/(1 - - 0,5) = 2/3 |
|||
b. | 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8
+ 1/16 - 1/32 + ... = (1 + 1/4 + 1/16 + ....) - (1/2 + 1/8 + 1/32 + ...) = (1 + 1/4 + 1/16 + ....) - 1/2 • (1 + 1/4 + 1/16 + ....) = 1/2 • (1 + 1/4 + 1/16 + ....) = 1/2 + 1/8 + 1/32 + .... de factor is 1/4 dus S = 1/2/(1 - 1/4) = 2/3 |
||||
9. | Halveren en draaien
over hoek
α betekent vermenigvuldigen met
z = 0,5(cosα + i • sinα) Eerste stap is 1, dus uiteindelijk loopt dat naar 1/(1 - z) = 1/(1 - 0,5cosα - 0,5isinα) |
||||
Dat is zo ver
mogelijk van de x-as af als het imaginaire deel maximaal is. plotten en dan calc - maximum geeft een hoek van α = 36,87º Maar algebraïsch natuurlijk veel leuker: |
|||||
quotiëntregel voor de afgeleide nul stellen: | |||||
0,625cosα - 0,5 = 0 ⇒ cosα = 0,8 ⇒ α = 36,87º | |||||
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |