© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1.  
       
2. a. Zo te zien worden alle lijnstukken twee keer zo lang, en wordt er over 90º gedraaid.
Dat zou betekenen een vermenigvuldiging met  2i
Het hoekpunt 3 + 2i zou dan terechtkomen op  -4 + 6i en dat klopt precies, dus is er geen verschuiving meer nodig
Kortom:  f(z) = 2iz
       
  b De oorspronkelijke zijden zijn  √25, √26 en √13  en de zijden van het beeld zijn  √50, √52 en √26  dus dat is √2 keer zo lang.
-5 - 3i komt bijv. terecht op 2 + 8i dus   (-5 - 3i)(a + bi) = (-5a + 3b) + i(-3a - 5b)
Dus -5a + 3b = 2  en   -3a - 5b = 8
-15a + 9b = 6  en   15a + 25b = -40
optellen:  34b = -34  dus b = -1 en dan is a = -1  (-1 - i heeft inderdaad lengte √2)
Kortom  f(z) = (-1 - i)z
       
  c. De lijnstukken worden 1,25 keer zo lang, en er wordt gedraaid over 90º
Dat betekent vermenigvuldiging met  1,25i
Kortom:  f(z) = 1,25iz
       
3. a. Het punt (x, y) in het reële vlak komt overeen met  (Rez, Imz) in het complexe vlak.
Dus y = ax  betekent  Imz = a • Rez
Dus als Rez = x dan is  Imz = ax  en dan is z het punt  x + iax
       
  b. (p + iq) • (x + iax) =  px + iqx + ipax - qax
(p - qa)x + ix(q + pa)
In het reële vlak is dat het punt    ((p - qa)x ,   x(q + pa))
Voor  zo'n punt P geldt:  helling OP is    y/x =  x(q + pa)/x(p - qa) = (q + pa)/(p - qa)    
       
  c. Je begint met y = 2x  dus  a = 2
Je eindigt met  y = 5dus   (q + pa)/(p - qa)= 5 
Daaruit volgt  q + pa = 5(p - qa)  dus  q + 2p = 5(p - 2q)
q + 2p = 5p - 10q
3p = 11q
q
= 3/11p
Het complexe getal  (p + iq)  heeft dan in het reële vlak coördinaten waarvoor  y = 3/11x
       
5. a. f(-3 + 4i) =  (-1 + 4i) • (-3 + 4i) + 1 + 2i =  3 - 4i - 12i - 16 + 1 + 2i  =  -12 - 14i
f
( 5 + 10i) =  (-1 + 4i) • ( 5 + 10i)  + 1 + 2i  = -5 - 10i  + 20i - 40 + 1 + 2i = -44 + 12i
f
(3 - 4i) = (-1 + 4i) • ( 3 - 4i)  + 1 + 2i  =  -3 + 4i + 12i + 16 + 1 + 2i  =  14 + 18i
f
(11 + 2i) (-1 + 4i) • (11 + 2i)  + 1 + 2i  =  -11 - 2i + 44i - 8 + 1 + 2i  =  -18 + 44i
       
   

       
  b. z = (-1 + 4i) • z + 1 + 2i
z
- (-1 + 4i)z = 1 + 2i
z
(2 - 4i) = 1 + 2i
z
= (1 + 2i)/(2 - 4i)
z = (1 + 2i)/ (2 - 4i) (2 + 4i)/(2 + 4i) = (2 + 4i + 4i - 8)/(4 + 16)  = (-6 + 8i)/20 =  -0,3 + 0,4i :  het groene punt uit de tekening
       
  c. Het is het punt dat in beide vierkanten op dezelfde plaats ten opzichte van de hoekpunten ligt.
       
  d. (-1 + 4i) • z + 1 + 2i   =  (-1 + 4i) • 1/z + 1 + 2i 
(-1 + 4i) • z2 + (1 + 2i) • z  = (-1 + 4i)  + (1 + 2i) • z
(-1 + 4i) • z2 = (-1 + 4i)
z2 =  1
z = 1  ∨   z =  -1
       
6. a. (1 + i) • z - 3 + 2i = 0
(1 + i) • z = 3 - 2i
z
(3 - 2i)/(1 + i)
z = (3 - 2i)/(1 + i) •  (1 - i)/(1 - i)  =  (3 - 3i - 2i - 2)/(1 + 1) = (1 - 5i)/2 =  0,5 - 2,5i
       
  b. z = (1 + i) • z - 3 + 2i
z
- (1 + i)z = -3 + 2i
-iz = -
3 + 2i
z = (-3 + 2i)/-i  = 3/i - 2  = -2 - 3i
       
  c. (1 + i) • z  betekent vermenigvuldigen met factor  2  en draaien over 45º
-3 + 2i is daarna een translatie
Dat geeft het volgende beeld:
       
   

       
    Het groene deel is na vermenigvuldiging met 1 + i ,  het rode is daarna na translatie  -3 + 2i
       
  d. Het is het paarse punt. Dat is het punt dat in beide cirkeldelen op "dezelfde plaats"  ligt.
       
7. a.  (1 + i) × z  + 1 – 3i = z
z
(1 + i - 1) = 3i - 1
zi  = 3i - 1
z = 3 - 1/i = 3 + i
       
  b.  (1 + i) × z  betekent draaien over 45º en vermenigvuldigen met factor 2  (geeft het blauwe gebied hieronder)
 + 1 – 3i   is daarna een translatie  (geeft het rode gebied hieronder)
       
 

       
  c. De hoek van elk getal wordt dubbel zo groot, dus dat geeft hoeken tussen 0º en 60º
De afstand tot de oorsprong wordt gekwadrateerd dus dat geeft afstanden tussen 0 en 22 = 4
Samen geeft dat het blauwe gebied hieronder
       
   

       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)