|
|||||
| 1. | y' =
x2 - 2y + 4x y = ax2 + bx + c geeft y' = 2ax + b invullen in de differentiaalvergelijking: 2ax + b = x2 - 2ax2 - 2bx - 2c + 4x Herrangschikken: x2 (2a - 1) + x(2a + 2b - 4) + (b + 2c) = 0 2a - 1 = 0 geeft a = 0,5 2a + 2b - 4 = 0 geeft dan b = 1,5 b + 2c = 0 geeft dan c = -0,75 Het is de parabool y = 0,5x2 + 1,5x - 0,75 |
||||
| 2. | Als ze elkaar snijden
dan hebben ze in het snijpunt een verschillende helling dus een
verschillende y' Maar als ze beiden aan de differentiaalvergelijking voldoen, dan hebben ze in het snijpunt dezelfde y' immers die volgt uit de differentiaalvergelijking. Dat is tegenstrijdig met elkaar dus ze kunnen elkaar niet snijden. |
||||
| 3. | a. |
dy/dx =
1/4x
+ y - 1 1/4x + y - 1 = -4 geeft y = -3 - 1/4x 1/4x + y - 1 = -2 geeft y = -1 - 1/4x 1/4x + y - 1 = 0 geeft y = 1 - 1/4x 1/4x + y - 1 = 2 geeft y = 3 - 1/4x Zie de figuur linksonder |
|||
|
|
|||||
| b. | Zie de figuur rechtsboven | ||||
| c. | y = ax
+ b geeft y' = a Invullen in de differentiaalvergelijking: a = 1/4x + ax + b - 1 0 = x(a + 1/4) + (b - 1 - a) Dat klopt voor elke x als a + 1/4 = 0 dus a = -1/4 en b - 1 - a = 0 dus b = 3/4 Het is de lijn y = -1/4x + 3/4 |
||||
| 4. | a. | dy/dx
= (x + 2)/(y - 1)
heeft de volgende isoklinen: (x + 2)/(y - 1) = -1 geeft x + 2 = -(y - 1) dus y = -x - 1 (x + 2)/(y - 1) = 0 geeft x + 2 = 0 dus x = -2 (x + 2)/(y - 1) = 1 geeft x + 2 = y - 1 dus y = x + 3 (x + 2)/(y - 1) = 2 geeft x + 2 = 2(y - 1) dus y = 0,5x + 2 enz. Dat geeft het volgende lijnelementenveld: |
|||
|
|
|||||
| b. | x = 2, y
= 4 geeft dy/dx
= (2 + 2)/(4 - 1) dus dy/dx
= 4/3 4/3 = (x + 2)/(y - 1) geeft x + 2 = 4/3(y - 1) ⇒ 3/4x + 6/4 = y - 1 ⇒ y = 3/4x + 21/2 |
||||
| 5. | a. | Op het oog lijken de krommen vormen als hiernaast te hebben. |
|
||
| b. | y = a + b/x y' = -bx-2 Dat geeft 2x • -bx-2 + 4a + 4b/x = 3 -2bx-1 + 4a + 4bx-1 = 3 x-1(2b) + (4a - 3) = 0 Dat kan alleen voor elke x gelden als 2b = 0 en 4a - 3 = 0 Dat geeft echter b = 0 en a = 3/4 dus de oplossing wordt dan y = 3/4 en dat is niet meer van de gevraagde vorm. |
||||
| c. | y
= a + 1/x²
= a + x-2 y ' = -2x-3 invullen: 2x • -2x-3 + 4a + 4x-2 = 3 4a = 3 a = 3/4 dus y = 3/4 + 1/x² is een oplossing |
||||
| d. | y = a +
1/xn
= a + x-n y ' = -nx-n -1 invullen: 2x • -nx-n - 1 + 4a + 4x-n = 3 -2nx-n + 4x-n + (4a - 3) = 0 Dat is voor elke x geldig als -2n = 0 en 4 = 0 en 4a - 3 = 0 en dat kan niet. |
||||
| e. | y ' =
c geeft 2xc + 4y = 3 Dat geeft y = -c/2x + 3/4 x = 0 geeft y = 3/4 dus ze gaan allemaal door (0, 3/4) |
||||
| toegift: als je nieuwsgierig bent naar hoe de krommen er wél uitzien, dan zie je dat hiernaast. Dat stuk tussen x = -1 en x = 1 dat weer omhoog gaat was niet goed te zien in het lijnelementenveld...... |
|
||||
| 6. | a. | y = ax
+ b en dy/dx =
a invullen in de vergelijking geeft: a • 2x (x - ax - b) = x2 - (ax + b)2 + 1 2ax2 - 2a2x2 - 2axb = x2 - a2x2 - 2axb - b2 + 1 x2(2a - 2a2 - 1 + a2) + x(-2ab + 2ab) + (b2 - 1) = 0 x2(2a - a2 - 1) + (1 - b2) = 0 Dat geldt voor elke x als 2a - a2 - 1 = 0 en b2 - 1 = 0 de eerste geeft (a - 1)2 = 0 dus a = 1 de tweede geeft b = 1 ∨ b = -1 De oplossingen zijn dus y = x + 1 en y = x - 1 |
|||
| b. | y = x + √(1 - px)
geeft: y ' = 1 - p/2√(1
- px) en y2
= x2 + 2x√(1 - px)
+ (1 - px) invullen in de vergelijking: |
||||
 |
|||||
| vermenigvuldig beide
kanten met 2√(1 - px) en neem
zoveel mogelijk termen samen: 2√(1 - px) - p = (-2x√(1 - px) + px) /-x 2√(1 - px) - p = 2√(1 - px) - p Dat klopt inderdaad, dus is de gegeven vergelijking een oplossing. |
|||||
| 7. | a. | y = px
- lnx geeft dy = (p - 1/x)dx vul dat in in de vergelijking: x • (p - 1/x)dx = (px - lnx - 1 + lnx)dx (px - 1)dx = (px - 1)dx Dat klopt inderdaad |
|||
| b. | xdy = (y - 1 + lnx)dx
betekent dy/dx = (y
- 1 + lnx)/x r.c. = 1 geldt als (y - 1 + lnx)/x = 1 dus als y - 1 + lnx = x De kromme y = 1 + x - lnx moet de kromme f: y = px - lnx dus loodrecht snijden. y = 1 + x - lnx y' = 1 - 1/x = (x - 1)/x Als de functie f loodrecht gesneden moet worden, dan moet de helling van f gelijk zijn aan -x/(x - 1) f ' = p - 1/x geeft dat p - 1/x = -x/(x - 1) ofwel p = 1/x - x/(x - 1) .....(1) De functies moeten gelijk zijn (gaan door hetzelfde punt): 1 + x - lnx = px - lnx Samen met (1) geeft dat 1 + x - lnx = 1 - x²/(x - 1) - lnx 1 + x = 1 - x²/(x - 1) x(x - 1) = - x2 x2 - x = - x2 2x2 - x = 0 x = 0 ∨ x = 1/2 x = 1/2 geeft p = 1/0,5 - 0,5/(0,5 - 1) = 3 |
||||
| 8. | a. | y = kx2
geeft dy = 2kxdx (x2 + 2y)dy = (p - 2xy)dx wordt dan (x2 + 2kx2) • 2kxdx = (p - 2xkx2 )dx 2kx3 + 4k2x3 = p - 2kx3 x3( 4k + 4k2) - p = 0 Als dat voor elke x een oplossing moet zijn, dan moet gelden 4k + 4k2 = 0 en p = 0 Dat betekent k = -1 (of k = 0 maar dan is het geen parabool meer) en p = 0 |
|||
| b. | Dp:
(x2
+ 2y)dy = (p - 2xy)dx dus
dy/dx = (p - 2xy)/(x²
+ 2y) D-3: (x2 + 2y)dy = (3 - 2xy)dx dus dy/dx = (-3 - 2xy)/(x² + 2y) Dat staat loodrecht op elkaar als (p - 2xy)/(x² + 2y) • (-3 - 2xy)/(x² + 2y) = -1 Bij x = 1, y = p (punt (1, p)) geeft dat: (p - 2p)/(1 + 2p) • (-3 - 2p)/(1 + 2p) = -1 (p - 2p)(-3 - 2p) = -1 • (1 + 2p)2 p(-3 - 2p) = 1 + 4p + 4p2 -3p - 2p2 = 1 + 4p + 4p2 6p2 + 7p + 1 = 0 p = -1/6 ∨ p = -1 |
||||
| 9. | a. |
x = lnt geeft dx = 1/t
• dt y = 2t + 1/t2 geeft dy = (2 - 2t-3)dt invullen in de differentiaalvergelijking: (2 - 2t-3)dt = (3elnt - 4t - 2t -2) • 1/t • dt 2 - 2t-3 = (3t - 4t - 2t-2) • 1/t t • (2 - 2t-3) = (-t - 2t-2) 2t - 2t -2 = -t - 2t -2 Dat is niet gelijk dus K is geen oplossingskromme van D. |
|||
| b. | y = ex +
g(x) geeft dy = exdx
+ g'(x)dx invullen: exdx + g'(x)dx = (3ex - 2ex - 2g(x))dx ex + g'(x) = ex - 2g(x) g'(x) = -2g(x) Dat is zo als g(x) = c • e-2x dus dan is y = ex + c • e-2x Dat moet door (0, 3) gaan dus 3 = e0 + c • e-2•0 ⇒ 3 = 1 + c ⇒ c = 2 Dus g(x) = 2e-2x |
||||
| 10. | (y - x2
+ x )dy = (2y - 2x + 2)dx dy/dx = (2y - 2x + 2)/(y - x² + x) 2y - 2x + 2 = 0 is de lijn y = x - 1 y - x2 + x = 0 is de parabool y = x2 - x Het lijnelement heeft negatieve r.c. als 2y - 2x + 2 en y - x2 + x verschillend van teken zijn Dat betekent (y > x - 1 en y < x2 - x) OF (y < x - 1 en y > x2 - x) Hieronder zie je die gebieden. |
||||
|
|
|||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
