|
|||||
| 1. | a. | JA, dat kan: 2ydx + 4dy = y2dy 4dy - y2dy = -2ydx dy • (4 - y²)/-2y = dx |
|||
| b. | JA, dat kan: 3xydy + 4dx = 2ydx 3xydy = 2ydx - 4dx 3xydy = dx(2y - 4) 3y/(2y - 4) • dy = 1/x • dx |
||||
| c. | NEE, gaat niet lukken.... | ||||
| d. | NEE, gaat niet lukken.... | ||||
| e. | NEE, gaat niet lukken.... | ||||
| f. | NEE, gaat niet lukken.... | ||||
| 2. | ik blijf alle constanten gewoon steeds weer c noemen..... | ||||
| a. | y' = 4y + 2 dy/dx = 4y + 2 dy = dx(4y + 2) 1/(4y + 2) • dy = dx primitiveren: 1/4ln(4y + 2) = x + c e0,25ln(4y + 2) = cex (4y + 2)0,25 = cex 4y + 2 = (cex)4 = ce4x 4y = ce4x - 2 y = ce4x - 1/2 |
||||
| b. | dy/dx
=
(x + 2)/y ydy = (x + 2)dx primitiveren: 1/2y2 = 1/2x2 + 2x + c y2 = x2 + 4x + c y = ±√(x2 + 4x + c) |
||||
| c. | 2x√ydx
- √ydy =
√ydx -√ydy = dx(√y - 2x√y) -dy = dx(1 - 2x) dy = dx(2x - 1) primitiveren: y = x2 - x + c |
||||
| d. | xdy = 3ydx - 2dy dy(x + 2) = 3ydx 1/y • dy = 3/(x + 2) • dx primitiveren: lny = 3ln(x + 2) + c elny = c • e3ln(x + 2) y = c • (x + 2)3 |
||||
| e. | xy' = x + 3y'
xdy/dx = x + 3dy/dx xdy = xdx + 3dy dy(x - 3) = xdx dy = x/(x - 3) • dx primitiveren: y = x + 3ln(x - 3) + c (bedenk dat x/(x - 3) = (x - 3 + 3)/(x - 3) = 1 + 3/(x - 3)) |
||||
| 3. | a. | dy - 3dx = ydx dy = dx(y + 3) 1/(y + 3) • dy = dx primitiveren: ln(y + 3) = x + c y + 3 = c • ex y = cex - 3 (0, 4) invullen: 4 = ce0 - 3 geeft c = 7 oplossing: y = 7ex - 3 |
|||
| b. | √ydy
+ 2dx = 4xdx √ydy = dx(4x - 2) primitiveren: 2/3y1,5 = 2x2 - 2x + c y1,5 = 3x2 - 3x + c y = (3x2 - 3x + c)2/3 (0, 0) invullen: 0 = c2/3 dus c = 0 oplossing: y = (3x2 - 3x)2/3 |
||||
| c. | y' = 1/2y2
• sinx dy/dx = 1/2y2 sinx 2/y2 • dy = sinx • dx primitiveren: -2/y = -cosx + c y = 2/(cosx + c) (0, 8) invullen: 8 = 2/(cos0 + c) dus c = - 3/4 oplossing: y = 2/(cosx - 3/4) |
||||
| d. | y' = 4x - 2xy dy/dx = 4x - 2xy dy = dx • (4x - 2xy) dy = 2xdx(2 - y) 1/(2 - y) • dy = 2xdx primitiveren: -ln(2 - y) = x2 + c ln(2 - y) = -x2 + c 2 - y = c • e-x² y = 2 - c • e-x² (0, 5) invullen: 5 = 2 - c • 1 dus c = -3 oplossing: y = 2 + 3e-x² |
||||
| 4. | dN/dt
= -λ • N. dN = -l • λ N • dt 1/N • dN = -λdt primitiveren: lnN = -λt + c N = c • e-λt (0, N0) invullen: N0 = c • 1 dus c = N0 oplossing: N(t) = N0 • e-λt |
||||
| 5. | a. | Q = C • V dus
dQ/dt = C • dV/dt
(want C is een constante) Maar dQ/dt = -I = -V/R (want V = I • R) dus bovenstaande vergelijking geeft -V/R = C • dV/dt |
|||
| b. | -V/R
= C • dV/dt CRdV = -Vdt 1/V • dV = -1/CR • dt primitiveren: lnV = -t/CR + c V = c • e-t/CR V = 50 als t = 0: 50 = c • e0 dus c = 50 met C = 10-6 en R = 1600 geeft dat V(t) = 50 • e-625t |
||||
| 6. | a. | sinxdy
= ycosxdx dy/dx = ycosx/sinx = y/tanx Dat is positief als: A: y > 0 en tanx > 0 voor x in [-π, π] is dat laatste zo voor -π < x < -1/2π en 0 < x < 1/2π B: y < 0 en tanx < 0 voor x in [-π, π] is dat laatste zo voor 1/2π < x < π en -1/2π < x < 0 |
|||
|
|
|||||
| b. | sinxdy
= ycosxdx 1/y • dy = cosx/sinx • dx primitiveren: ln|y| = ln(sinx) + c (voor -π < x < π is absolute waarde van sinx niet nodig) |y| = c • sinx (1/6p, 4) invullen: 4 = c • 1/2 geeft c = 8 oplossing: y = ±8sinx en door (0, 4) zal dat zijn y = 8sinx |
||||
| 7. | a. |
 |
|||
| Dat is positief als
teller en noemer het zelfde teken hebben. 4ey(ey - 1) = 0 als ey = 1 dus als y = 0 y < 0 en x > 1 dan zijn teller en noemer beiden negatief, dus de helling positief. y > 0 en x < 1 dan zijn teller en noemer beiden positief, dus de helling ook |
|||||
|
|
|||||
| b. | x = 1 + 2sint
geeft dx = 2cost • dt y = ln(1 + cost) geeft dy = -sint/(1 + cost) • dt Invullen in de differentiaalvergelijking: 4 • (1 + cost) • (1 + cost - 1) • -sint/(2cost) • (1 + cost)) = 1 - (1 + 2sint) cost in de noemer valt weg tegen 1 + cost - 1 en de fatcoren 1 + cost vallen ook tegen elkaar weg: 4• -sint/2 = -2sint -2sint = -2sint Dat klopt inderdaad |
||||
| c. | 4ey
• (ey - 1) • dy = (1 -
x)dx primitiveren: 2(ey - 1)2 = x - 1/2x2 + c (-2, ln3) invullen: 2 • (2)2 = -2 - 2 + c geeft c = 12 een (impliciete) vergelijking van L is : 2(ey - 1)2 = x - 1/2x2 + 12 |
||||
| 8. | a. | y = 1/(ax
+ b) = (ax + b)-1 dus
dy = -(ax + b)-2 • adx Invullen: (ax + b)-1 dx + x(ax + b)-2adx = (ax + b)-2 (x + 1)dx (ax + b)-1 + ax(ax + b)-2 = (ax + b)-2 (x + 1) |
|||
|
|
|||||
| ax + b
+ ax - x - 1 = 0 x(2a - 1) + (b - 1) = 0 2a - 1 = 0 geeft a = 1/2 b - 1 = 0 geeft b = 1 |
|||||
| b. | ydx -
xdy = y2 (x + 1)dx dx(y - y2x - y2) = xdy dy/dx = (y - y²x - y²)/x = y/x - y2 - y²/x y = -x/(x + 1) geeft dan dy/dx = -1/(x + 1) - x²/(x + 1)² - x/(x + 1)² samennemen: dy/dx = (-x - 1 + x² - x)/(x + 1)² = (-x² - 2x - 1)/(x + 1)² = -(x + 1)²/(x + 1)² = -1 Dat is inderdaad constant. |
||||
| c. | je krijgt dx(y
- y2x + y2 ) =
xdy in het deel achter dx staat een term met y en ook termen met y2 . Die kun je nooit tegelijk wegkrijgen. |
||||
| d. | y = (1/u) • x en dan de productregel gebruiken. | ||||
| e. |
|
||||
| de eerste twee termen
vallen tegen elkaar weg. je kunt daarna alles delen door x²/u² dan vallen die factoren ook weg Dan hou je over du = (x + 1)dx primitiveren: u = 1/2x2 + x + c y = x/u geeft u = x/y dus daar kun je u weer door vervangen: x/y = 1/2x2 + x + c |
|||||
|
|
|||||
| 9. | a. | xdy - 2dy =
√ydx dy (x - 2) = √ydx 1/√y • dy = 1/(x - 2) • dx primitiveren: 2√y = ln(x - 2) + c √y = 1/2ln(x - 2) + c y = (1/2ln(x - 2) + c)2 (3, 3) invullen: 3 = (1/2ln1 + c)2 ⇒ 3 = c2 ⇒ c = ±√3 oplossing: y = (1/2ln(x - 2) ±√3)2 |
|||
| b. | xdy - 2dy =
√ydx, dy(x - 2) = √ydx dy/dx = √y/(x - 2) in (3, 3) is dy/dx = √3 en dat is niet 0/0 dus er is geen singulier punt! |
||||
| c. | De helling moet
√3 zijn (vraag b)
dus de juiste oplossing is die met het +-teken. Hoe zijn we aan die andere gekomen? Dat zit hem in de regels 5 en 6 uit het antwoord op vraag 1. Daar hebben we gekwadrateerd, maar als je een vergelijking kwadrateert, dan kunnen er zogenaamde "valse wortels" verschijnen. y = (1/2ln(x - 2) + c)2 geeft namelijk 1/2ln(x - 2) + c = √y OF 1/2ln(x - 2) + c = -√y en die tweede is een valse wortel. |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
