© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. y = ax2 + bx + c  geeft  dy = 2axdx + bdx
invullen:   2axdx = (ax2 + bx + c - x2 + x + 2)dx
0 = x2(a - 1) + x(b + 1 - 2a) + (c + 2)
Dat geldt voor iedere x als  a - 1 = 0  en   b + 1 - 2a = 0 en  c + 2 = 0
a = 1  en  b = 1  en  c = -2
f(x) = x2 + x - 2
       
  b. Als g een extreme waarde heeft, is  g ' = 0
dy/dx = y - x2 + x + 2 = 0  voor x = 3
Dat geeft  y - 9 + 3 + 2 = 0  dus  y = 4
Het is het punt  (3, 4)

dy/dx = y - x2 + x + 2 = 0   is de parabool  y = x2 - x - 2 en daar ligt (3, 4) op.
Zie de figuur hiernaast.
Bij (3,4) gaat dy/dx  van   positief naar negatief, dus daar zit een maximum


 

       
  c. h :  x →  ex + p  + q  geeft  h ' = ex + p 
Als h een oplossingskromme raakt, dan geldt voor die kromme ook dat dy/dx = ex + p  en  y =  ex + p  + q
Invullen in de differentiaalvergelijking:
ex + p  =  ex + p  + q - x2 + x + 2
0 =  q - x2 + x + 2
x = 1  (punt (1, 0)  geeft  0 = q - 1 + 1 + 2  dus  q = -2
Dan geeft  y =  ex + p  + q  dat  0 = ep - 2  dus  ep = 2  dus  p = ln2
       
2. a. scheiden:  dx(2y - xy) = dy(2x2)
dx • (2 - x)/2x² =  dy • 1/y
dx • (1/x² - 1/2x) = dy • 1/y

primitiveren:
-1/x - 1/2lnx + x = lny
e(-1/x) • 1/√x • c = y

Vul nu (1, 1/2e)  in:     c/e = 1/2e  dus  c = 1/2
y =  e(-1/x) • 1/(2√x)
       
  b. dy/dx = (2y - xy)/2x²  = 1   (gelijke hellingen)  en dat geeft  2y - xy = 2x2

door het zelfde punt:  y = x + b substitueren geeft  2(x + b) - x(x + b) = 2x2
3x2 + (b - 2)x - 2b = 0
Dat heeft geen oplossing als de discriminant kleiner dan 0 is:    (b - 2)2 + 4 • 3 • 2b < 0
D = 0  geeft  b2 + 20b + 4 = 0 
De ABC formule geeft dan  b =  -10 ± 4√6
D < 0  geldt dan als   -10 - 4√6  <  b < -10 + 4√6
       
  c. x = 1/t²  geeft  dx =  -2/t³ dt
y = te-t²  geeft  dy = (1 - 2t2) • e-t²  dt  (met de productregel)

invullen in de differentiaalvergelijking:
2te-t² • -2/t³  - 2 • 1/t4 • (1 - 2t2) • e-t²  = 1/t² • te-t² • -2/t³
e-t² • {-4/t² - 2/t4 + 4/t² } = e-t²  • -2/t4
e-t² • -2/t4 = e-t² • -2/t4
Dat klopt.
       
3. a. homogeen:  y ' = y   geeft  y = c • ex  
       
  b. probeer een rechte lijn  y = ax + b
a  - ax - b = 2 - 2x  geeft  a = 2 en b = 0  dus particuliere oplossing  y = 2x
       
  c. algemene oplossing:  y = cex + 2x
(0, 3) invullen geeft  c = 3  dus de gezochte oplossing is  y = 3ex + 2x
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)