Š h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. y'  = 2y2 - y
y = 1/u   geeft  y ' = -1/u2 • u'
invullen:   -1/u2 • u'  = 2 • 1/u2 - 1/u
u'  =  u - 2
particulier:   u = ax + b  en u ' = a  geeft   a = ax + b - 2
0 = x(-a) + (b - 2 - a)
Dat geeft a = 0  en  b = 2  dus particuliere oplossing  u = 2

homogeen:   u' =  u
1/u • du = dx
primitiveren:   lnu = x + c   dus   u = c • ex  
Algemene oplossing:   u = cex + 2    dus   y = 1/(cex + 2)
       
  b. dy/dx + y2 =  4y  
y = 1/u   geeft  y ' = -1/u˛ • u'
invullen:  -1/u˛ • u'  + 1/u˛ = 4/u
u'  = -4u + 1
particulier:     u = ax + b  en u ' = a  geeft  a = -4ax - 4b + 1
0 = x(-4a) + (-4b + 1 - a)
Dat geeft  a = 0  en b =  1/4 dus particuliere oplossing  u = 1/4

homogeen:  u' = -4u
1/u • du  = -4dx
primitiveren:   lnu = -4x + c  dus  u = c • e-4x
Algemene oplossing:   y = 1/(c • e-4x + 1/4)
       
  c. 2dy + y2dx = ydx
dy/dx  + 1/2y2 = 1/2y
y = 1/u   geeft  y ' = -1/u˛ • u'
invullen:   -1/u˛ • u'  + 1/2 • 1/u˛ = 1/2 • 1/u
u'  = 1/2 - 1/2u
particulier:    u = ax + b  en u ' = a  geeft  a = 1/2 - 1/2ax - 1/2b
0 = x(-1/2a) + (1/2 - 1/2b - a)
Dat geeft  a = 0  en  b = 1  dus particuliere oplossing  u = 1

homogeen:   u' = -1/2u
1/u • du = -1/2dx
primitiveren:   lnu = -1/2x + c  dus  u = c • e-0,5x
Algemene oplossing:  y =  1/(c • e-0,5x + 1)
       
  d. dy/dx = 2xy2 + 4y2
y = 1/u   geeft  y ' = -1/u˛ • u'
invullen:  -1/u˛ • u'  = 2x • 1/u˛ + 4 • 1/u˛
u'  = -2x - 4
Direct primitiveren maar:   u = -x2 - 4x + c
y = 1/(-x˛ - 4x + c)
       
  e. y'  = -2y  + 6y2 
y = 1/u   geeft  y ' = -1/u˛ • u'
invullen:     -1/u˛ • u'  =  -2 • 1/u + 6 • 1/u˛
u'  = 2u - 6
particulier:    u = ax + b  en u ' = a  geeft  a = 2ax + 2b - 6
0 = x(2a) + (2b - 6 - a)
Dat geeft  a = 0  en  b = 3 dus particuliere oplossing u = 3

homogeen:  u' = 2u
1/u • du = 2dx
primitiveren:   lnu = 2x + c  geeft  u = c • e2x
Algemene oplossing:  y = 1/(c • e2x + 3)
       
2. K' (t) =  0,04ˇK(t)ˇ(1 - 0,000125 • K(t))
K' = 0,04K(1 - 0,000125K)
K' = 0,04K - 0,000005K2 

K = 1/u   geeft  K ' = -1/u˛ • u' 
invullen:   -1/u˛ • u'  = 0,04 • 1/u - 0,000005 • 1/u˛
u' = -0,04u + 0,000005
particulier:    u = at + b  en u ' = a  geeft  a = -0,04at - 0,04b + 0,000005
0 = t(-0,04a) + (-0,04b + 0,000005 - a)
Dat geeft  a = 0  en  b = 0,000125  dus  particuliere oplossing  u = 0,000125

homogeen:  u ' = -0,04u
1/u • du = -0,04dt
primitiveren:   lnu = 0,04t + c   dus   u = c • e-0,04t 
Algemene oplossing:    K = 1/(c • e-0,04t + 0,000125) 
K(0) = 200  geeft dan   200 = 1/(c + 0,000125)  dus  c = 0,004875
K =  1/(0,004875 • e-0,04t + 0,000125)

6000 =  1/(0,004875 • e-0,04t + 0,000125)
0,004875 • e-0,04t + 0,000125  = 0,0001667
0,004875 • e-0,04t  = 0,000041667
e-0,04t = 0,0085
-0,04t = ln0,0085 = -4,76
t = 119,05
Na 120 maanden zullen er voor het eerst meer dan 6000 karpers zijn.
       
3.  dQ/dt = c ˇ Q ˇ (1 - Q/G)
Q' = cQ - cQ2/G  geeft met de waarden van Hubbert  Q' = 0,06Q - 0,0003Q2

Q = 1/u  geeft Q' = -1/u˛ • u' 
invullen:   -1/u˛ • u'  = 0,06 • 1/u - 0,0003 • 1/u˛
u' = -0,06u + 0,0003
particulier:    u = at + b  en u ' = a  geeft  a = -0,06at - 0,06b + 0,0003
0 = t(-0,06a) + (0,0003 - 0,06b - a)  geeft  a = 0  en  b =  0,005  dus een particuliere oplossing is  u = 0,005

homogeen:  u' = -0,06u
 1/u • du = -0,06dt
primitiveren:   lnu = -0,06t + c  dus  u = c • e-0,06t
Q = 1/(c • e-0,06t  + 0,005)

Noem 1956  t = 0  dan geldt   58,5 = 1/(c + 0,005)  dus  c = 0,0121
2005 is dan  t = 49  en dan is  Q =  1/(0,0121 • e-0,06 • 49 + 0,005) = 177,3  Gb

Dat wijkt 0,9 Gb af.
       
4.  y' = 2y + 4y√y
y = 1/u˛  geeft  y' = -2/uł • u'
invullen:  -2/uł • u'  = 2 • 1/u˛ + 4 • 1/u˛ • 1/u
u' = -u  - 2
u = ax + b  geeft  u' = a  en dat kun je invullen:   a = -ax - b - 2  dus   0 = ax + (-b - 2 - a)
Dat geeft  a = 0  en  b = -2 dus een particuliere oplossing is  u = -2 

Homogeen:  u ' =  -u  dus  u = c • e-x 
Algemene oplossing:   u = c • e-x - 2  dus  y =  1/(c • e-x - 2)2  
y(0) = 1  geeft   1 = 1/(c - 2)˛   dus  c = 3
De oplossing is   y =  1/(3 • e-x - 2)2  
       

Š h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)