Š h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. y' (2yx3 - 1) + 3x2y2 + 4 = 0
∂P/∂x = 6yx2
∂Q/∂y = 6x2y
Dat is gelijk dus de vergelijking is exact.
       
  b. y' • x2 y2  + x2 + xy3 = 0
∂P/∂x = 2xy2
∂Q/∂y = 3xy2
Dat is niet gelijk, dus de vergelijking is niet exact.
       
  c. y' (3 - 2yx) - 8x = y2
y' (3 - 2yx) - 8x - y2  = 0
∂P/∂x = -2y
∂Q/∂y = -2y
Dat is gelijk dus de vergelijking is exact.
       
  d. xy'  + 2y  - 4x3 = 0
∂P/∂x = 1
∂Q/∂y = 2
Dat is niet gelijk, dus de vergelijking is niet exact.
       
2. ∂P/∂x  =  f ' (x) + 2xey
∂P/∂y  = cosx + 2xey 
Dat is gelijk als   f '(x) = cosx
Dan is  f(x) = sinx + c
       
3. Q = ∂f/∂x = 2xy + 3x2
f(x, y) =  ∫(2xy + 3x2)dx  = x2y + x3 + h(y)
  P = ∂f/∂y = x2 + h'(y)
Dat moet gelijk zijn aan  x2 + 1  dus  h'(y) = 1
primitiveren:  h(y) = y + c
Dan is   f(x, y) = yx2 +  x3 + y + c
Dat is inderdaad hetzelfde als de eerder gevonden oplossing.  
       
4. a. y' • (2xy - 1) + y2 + 12x2 = 0  met  y(0) = -2

∂P/∂x = 2y
∂Q/∂y = 2y
De differentiaalvergelijking is inderdaad exact.

P =  ∂f/∂y = 2xy - 1
f(x, y) =  ∫(2xy - 1)dy  = xy2 - y + h(x)
    Q = ∂f/∂x = y2 + h'(x)
Dat moet gelijk zijn aan y2 + 12x2  dus  h'(x) = 12x2
Dan is  h(x) =  4x3 + c
Een oplossing is  f(x, y) = xy2 - y + 4x3 + c = 0
y =  -2  en  x = 0  geeft  dan   2 + c = 0  dus  c = -2

De oplossing is    xy2 - y + 4x3 - 2 = 0
       
  b. 4xy - x2 + y' • (y + 2x2 + 1) = 0  met  y(1) = 0

∂P/∂x = 4x
∂Q/∂y = 4x
De differentiaalvergelijking is inderdaad exact.

Q =  ∂f/∂x = 4xy - x2
f(x, y) = ∫ (4xy - x2)dx  = 2x2y - 1/3x3 + h(y)
    P =  ∂f/∂y  = 2x2 + h'(y)
Dat moet gelijk zijn aan  2x2 + y + 1  dus  h'(y) = y + 1
Dan is  h(y) = 1/2y2 + y + c
Een oplossing is  f(x , y) = 2x2y - 1/3x3 + 1/2y2 + y + c = 0
y = 0  en x = 1  geeft dan - 1/3 + c = 0  dus  c = 1/3

De oplossing is  2x2y - 1/3x3 + 1/2y2 + y + 1/3 = 0
       
  c. 2xy2 - 1 = 2(1 - x2y) • y'  met  y(0) = 1
(2 - 2x2y) • y' - 2xy2 + 1 = 0

∂P/∂x =  -4xy
∂Q/∂y = -4xy
De differentiaalvergelijking is inderdaad exact.

Q =  ∂f/∂x = -2xy2 + 1
f(x, y) = ∫ (-2xy2 + 1)dx  = -x2y2 + x + h(y)
    P =  ∂f/∂y  =  -2yx2 + h'(y)
Dat moet gelijk zijn aan  2 - 2x2y  dus  h'(y) = 2
Dan is  h(y) = 2y + c
Een oplossing is  f(x, y) = -x2y2 + x + 2y + c = 0
y =  1 en x = 0  geeft  2 + c = 0  dus  c = -2

De oplossing is     -x2y2 + x + 2y - 2 = 0
       
  d. yexdx + (ex + 2y)dy = 0

∂P/∂x =  ex
∂Q/∂y = ex
De differentiaalvergelijking is inderdaad exact.

Q = ∂f/∂x = yex
f(x, y) = ∫yex dx = yex + h(y)
P =  ∂f/∂y  = ex + h'(y) = ex + 2y 
Dan is  h'(y) = 2y  dus  h(y) = y2 + c
Een oplossing is  f(x, y) = yex + y2 + c = 0

x = 0 en y = 4 geeft   4 • 1 + 16 + c = 0 dus  x = -20

De oplossing is  yex + y2 - 20 = 0
       
5.  y/x • dx + (lnx - cosy) • dy = 0
∂/∂x (lnx - cosy) = 1/x
∂/∂y(y/x) = 1/x
Dat is gelijk dus de differentiaalvergelijking is exact.

ydx + x(lnx - cosy)dy = 0
∂/∂x(xlnx - xcosy) = lnx + 1 - cosy
∂/∂y (y) = 1
Dat is niet gelijk dus de differentiaalvergelijking is niet exact.
       
6. a.
Er komt elke minuut een m3 bij,  dus  V(t) = 30 + t

Van de ingepompte oplossing is de snelheid  vi = 2 m3/min en de concentratie  Ci = 0,5 kg/m3
Van de uitgepompte oplossing is de snelheid vu = 1 m3/min en de concentratie Cu =  x/V = x/(30 + t) 

De verandering in hoeveelheid chemische stof is dan:
dx = viCidt - vuCudt
⇒  dx = 2 • 0,5 • dt - 1 • x/(30 + t) • dt
⇒  dx • (30 + t) = dt(30 + t) - xdt
⇒  (t + 30)dx + (x - t - 30)dt = 0
       
  b. ∂/∂x (x - t - 30) =  1
∂/∂t (t + 30)  = 1
Dat is gelijk dus de differentiaalvergelijking is exact.

Q = ∂f/∂x = t + 30  dus  f(x, t) = x(t + 30) + h(t)
P =  ∂f/∂t  = x + h'(t)  en dat moet gelijk zijn aan  x - t - 30   dus is  h'(t) = -t - 30
dan is  h(t) = -1/2t2 - 30t + c
dan is  x(t + 30) - 1/2t2 - 30t + c = 0
x(0) = 1  dus  1 • 30 - 0 - 0 + c = 1  dus  c = -30
x(t + 30) - 1/2t2 - 30t - 30 = 0
x(2t + 60) - t2 - 60t - 60 = 0
x(2t + 60) = t2 + 60t + 60
x = (t˛ + 60t + 60)/(2t + 60)
       
7. a. (2x3 + 3y)dx + (3x + y - 1)dy = 0
∂P/∂x = 3
∂Q/∂y = 3
De vergelijking is dus exact.
∂f/∂y  = 3x + y - 1  geeft  f(x, y) =  3xy  + 1/2y2  - y + h(x)
∂f/∂x  = 3y + h'(x)  =  2x3 + 3y   dus moet gelden  h'(x) = 2x3  dus  h(x) = 1/2x4 
f(x, y) = 3xy + 1/2y2 - y + 1/2x4  = c
       
  b. (y2exy˛ + 4x3)dx  + (2xyexy˛ - 3y2)dy = 0
 ∂P/∂x = 2yexy˛ + 2xy • exy˛ • y2 =  2yexy˛ + 2xy3exy˛
∂Q/∂y = 2yexy˛ + y2 • exy˛ • 2xy  = 2yexy˛ + 2xy3 • exy˛
De vergelijking is dus exact.
∂f/∂x  = y2exy˛ + 4x3   geeft  f(x, y) =  exy˛ +  x4 + h(y)
∂f/∂y  = 2yxexy˛  + h'(y)  = 2xyexy˛ - 3y2    dus moet gelden  h'(x) = -3y2  dus  h(x) = -y3 
f(x, y) = exy˛ +  x4 - y3 = c
       
  c. x3 + y2x + x2 = -x2y • y'     geeft    (x3 + y2x + x2)  +  x2y • y'  = 0
 ∂P/∂x = 2xy
∂Q/∂y = 2yx
De vergelijking is dus exact.
∂f/∂y  = x2y   geeft  f(x, y) =  1/2x2y2  + h(x)
∂f/∂x  = xy2  + h'(x)  =  x3 + y2x + x2   dus moet gelden  h'(x) = x3 + x2  dus  h(x) = 1/4x4 + 1/3x3
f(x, y) = 1/2x2y2  + 1/4x4 + 1/3x3  = c
mooier misschien:  6x2y2 + 3x4 + 4x3 = c
       
  d. (1 + y)dx = (1 + x)dy   geeft   (1 + y)dx - (1 + x)dy = 0
∂P/∂x = -1
∂Q/∂y = 1
De vergelijking is dus lekker NIET exact!!!!

scheiden:   1/(1 + x) • dx = 1/(1 + y) • dy
ln(1 + x) = ln(1 + y) + c
1 + x = c(1 + y)
mooier misschien   1 + y = c + cx   (nieuwe c)  dus    y = c + cx - 1 
       
  e. (4x3y3 + 1/x)dx + (3x4y2 - 1/y)dy = 0
∂P/∂x = 12x3y2  
∂Q/∂y = 12y2x3
De vergelijking is dus exact.
∂f/∂y  = 3x4y2 - 1/y   geeft  f(x, y) = x4y3 - lny + h(x)
∂f/∂x  = 4x3y3 +  h'(x)  =  4x3y3 + 1/x   dus moet gelden  h'(x) = 1/x  dus  h(x) =  lnx + c
f(x, y) = x4y3 - lny + lnx = c
       
  f. (1 + e2φ)dr  + 2re2φ dφ = 0
∂P/∂φ = 2e2φ  
∂Q/∂r = 2e2φ  
De vergelijking is dus exact.
∂f/∂r =  (1 + e2φ)  geeft  f(r, φ) = r + re2φ +  h(φ)
∂f/∂φ  = 2re2φ  + h'(φ)  =   2re2φ   dus moet gelden  h'(φ) = 0  dus  h(φ) = c
f(x, y) = r + re2φ = c
       
  g. 2xcos2ydx  + (2y - x2sin2y)dy = 0
∂P/∂x = -2xsin2y = -2x • 2sinycosy = -4xsinycosy
∂Q/∂y = 2x • 2cosy • -siny  = -4xsinycosy
De vergelijking is dus exact.
∂f/∂y  = 2y - x2sin2y  geeft  f(x, y) = y2 + 1/2x2cos2y + h(x)
∂f/∂x  = xcos2y + h'(x) = 2xcos2y  
xcos2y = x(cos2y - sin2y)
dus moet gelden  h'(x) =  xcos2y + xsin2y = x  dus  h(x) = 1/2x2 + c
f(x, y) = y2 + 1/2x2cos2y + 1/2x2 = c
       
8. x2 + y2 = -(2xy + xy2 + 1/3x3) • y'
(x2 + y2)dx  + (2xy + xy2 + 1/3x3)dy = 0
Na vermenigvuldigen met f(y)  wordt dat:   f • (x2 + y2)dx + f  •  (2xy + xy2 + 1/3x3)dy = 0
Bedenk dat  df/dx = 0  en  df/dy = f '
∂P/∂x = f • ( 2y + y2 + x2)
∂Q/∂y = f ' • (x2 + y2) + f • 2y 
Dat moet gelijk zijn:    f • (2y + y2 + x2)  = f ' • (x2 + y2) + f • 2y 
Dat is gelijk als  f ' = f
Dat geldt voor  f(y) = cey 
       

Š h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)