© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
1. a. v =  e∫1/xdx = elnx =  x
u'x = x2  geeft  u' = x  dus  u = 1/2x2 + c
Dan is y = x • (1/2x2 + c) = 1/2x3 + cx
y(1) = 4  geeft  c = 31/2    Dus de oplossing is   y = 1/2x3 + 31/2x
       
  b. y' - y/√x  = e2√x
v = e∫1/√xdx = e2√x 
u' •  e2√x  = e2√x
u' =  1  dus  u = x + c
Dan is  y = (x + c) • e2√x 
y(0) = 2  dus  c = 2  dus de oplossing is   y = (x + 2) • e2√x 
       
  c. v = e-∫2xdx  =  e-x² 
u' • e-x² = 4x 
u' = 4xex²  dus  u = 2ex²  + c
y = e-x² • (2ex²  + c)
y = 2 + ce-x² 
       
  d. xy' = y + x3 + 3x2 - 2x
y' - 1/x • y = x2 + 3x - 2
v = e-∫-1/x dx  = elnx = x
u' • x = x2 + 3x - 2  dus  u' =  x + 3 - 2/x
Dan is  u = 1/2x2 + 3x - 2lnx + c
y = x • (1/2x2 + 3x - 2lnx + c)
y = 1/2x3  + 3x2  - 2xlnx + cx
       
  e. (x - 2)y' =  y + 2(x - 2)3
y' - 1/(x -2) • y = 2(x - 2)3
v = e-∫(-1/(x - 2)dx = eln(x - 2)  = x - 2
u' • (x - 2) = 2(x - 2)3   dus  u' = 2(x - 2)
Dan is  u = (x - 2)2 + c
y = (x - 2)3 + c(x - 2)       
       
  f. y' +  1/tanx • y = 5ecosx
v = e-∫1/tanx = e-ln(sinx) = 1/sinx
u' • 1/sinx = 5ecosx  dus  u' = 5sinx • ecosx
u =  -5ecosx + c
y = 1/sinx • (-5ecosx + c)
mooier:   ysinx = -5ecosx + c   
       
  g. x3y'  + (2 - 3x2)y = x3
y'  + (2 - 3x²)/x³  • y  = 1
∫((2 - 3x²)/x³)dx = -1/x² - ln(x3)  dus  v = e^(1/x² + ln(x3)) =  e1/x² • x3
u'  •  e1/x² • x3 = 1   dus  u ' =  x-3 • e-1/x²   
dan is  u =  1/2 • e-1/x²   + c 
y =  (1/2 • e-1/x²   + c) • e1/x² • x3  = 1/2x3  + ce1/x² • x3
       
2. a. Dit is er eentje uit de "snuggere opmerking" onderaan de les:
ylnydx  + (x - lny)dy = 0
ylny dx/dy  + x - lny = 0
x' • ylny + x = lny
x' +  1/ylny • x =  1/y  
x = u • v
v = e-∫1/ylny  = e-ln(lny) =  (lny)-1 = 1/lny
u' • 1/lny = 1/y   dus  u' = lny • 1/y   en  u = 1/2ln2y + c
x = ( 1/2ln2y + c) • 1/lny  =  1/2lny  + c/lny
mooier:   2xlny = ln2y + c
       
  b. Nóg zo eentje:
ydx + (xy + x - 3y)dy = 0
y + (xy + x - 3y) • y' = 0
x' • y  + (xy + x - 3y) = 0
x' + (x + x/y - 3) = 0
x' + x(1 + 1/y) = 3  en nou is 'ie lineair.
x = u • v
v =  e-∫(1 + 1/y) = e-y - lny  = 1/y • e-y
u' • 1/y • e-y = 3  dus  u' = 3yey   en dan is  u = 3yey - 3ey + c   (partieel)
x =   (1/y • e-y ) • (3yey - 3ey + c)  =  3 - 3/y +  c/y • e-y 
of mooier:    xy = 3y - 3 + ce-y    
       
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)