© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. homogeen:  y'' - 4y' + 3y  = 0
Geeft karakteristieke vergelijking  λ2 - 4λ + 3 = 0
(λ - 3)(λ - 1) = 0  ⇒   λ = 3  ∨  λ = 1
Algemene oplossing homogene vergelijking:   y =  Ae3x + Bex 
       
  b. y'' - 4y' + 3y  + 2x2 - 6x + 1 = 0
y  = P • x2   geeft  y' = 2Px  en  y''   = 2P
invullen:   2P - 8Px + 3Px2 + 2x2 - 6x + 1 = 0
x2(2 + 3P) + x(-8P - 6)  + (2P + 1) = 0
Dat geeft  P = -2/3  en  P = -3/4  en  P = -1/2  en dat is onmogelijk.  
       
  c.  y = P • x2 + Q • x + R  geeft  y' = 2Px + Q  en  y''  = 2P
invullen:   2P - 8Px - 4Q + 3Px2 + 3Qx + 3R + 2x2 - 6x + 1 = 0
x2(3P + 2) + x(-8P + 3Q - 6) + (2P - 4Q + 3R + 1) = 0
3P + 2  = 0  en  -8P + 3Q - 6 = 0  en   2P - 4Q + 3R + 1 = 0
Dat geeft achtereenvolgens:   P = -2/3  en  Q = 2/9  en  R = 11/27
       
  d. Algemene oplossing    y =  Ae3x + Bex  - 2/3x2 + 2/9x + 11/27
y(0) = 0  geeft  A + B + 11/27 = 0
y'(x) = 3Ae3x + Bex - 4/3x + 2/9
y'(0) = 0  geeft  3A + B + 2/9 = 0  ofwel   B = -2/9 - 3A
Vul de laatste in bij de eerste:   A - 2/9 - 3A + 11/27 = 0  geeft  A = 5/54  en dan is B = -1/2
De oplossing is  y(x) = 5/54e3x - 1/2ex  - 2/3x2 + 2/9x + 11/27
       
2.  2y'' - 2y + 2sinx - 3cosx = 0
Gok:  y = Pcosx + Qsinx
Dan is  y ' = -Psinx + Qcosx  en  y''  = -Pcosx - Qsinx
invullen:   -2Pcosx - 2Qsinx - 2Pcosx - 2Qsinx + 2sinx - 3cosx = 0
sinx(-2Q - 2Q + 2)  + cosx(-2P - 2P - 3) = 0
-4Q + 2 = 0  geeft  Q = 1/2
-4P - 3 = 0  geeft  P = -3/4
particuliere oplossing:   y = -3/4cosx + 1/2sinx
       
3. a.

 y'' + 4y' + 3y  + e2x(2x2 + 4x - 6) = 0
Probeer (zoals aangegeven)  y =  e2x•(Kx2 + Lx + M)
y' = 2e2x(Kx2 + Lx + M) + e2x (2Kx + L)  =  e2x (2Kx2 + 2Lx + 2Kx + 2M + L)
y'' = 2e2x ( 2Kx2 + 2Lx + 2Kx + 2M + L) + e2x(4Kx + 2L + 2K) 
    = e2x(4Kx2 + 4Lx + 8Kx + 4M + 4L + 2K)
invullen (en meteen maar e2x buiten haakjes zetten) :
e2x  • (4Kx2 + 4Lx + 8Kx + 4M + 4L + 2K + 8Kx2 + 8Lx + 8Kx + 8M + 4L + 3Kx2 + 3Lx + 3M + 2x2 + 4x - 6) = 0
x2 (4K  + 8K  + 3K + 2) + x(4L + 8K + 8L + 8K + 3L + 2) + (4M + 4L + 2K + 8M + 4L + 3M - 6) = 0
x2(15K + 2) + x(15L + 16K + 2) + (15M + 8L + 2K - 6) = 0
Dat geeft achtereenvolgens:
K = -2/15
L = 2/225
M = 1394/3375
Oplossing:    y =  e2x • (-2/15x2 + 2/225x + 1394/3375)
       
  b. y'' + y' + 6y  + sin2x • (3x - 8) = 0
Probeer (zoals aangegeven):   y = sin2x • (Kx + L) + cos2x • (Mx + N)
y' = 2cos2x • (Kx + L) + sin2x • K -  2sin2x • (Mx + N) + cos2x • M
    =  cos2x • (2Kx + 2L + M)  + sin2x • (K - 2Mx - 2N)
y''  = -2sin2x • (2Kx + 2L + M) + cos2x • 2K  + 2cos2x • (K - 2Mx - 2N) + sin2x • -2M
     = cos2x • (2K + 2K - 4Mx - 4N)  + sin2x • (-4Kx - 4L - 2M - 2M)
invullen  (en alvast dezelfde soort termen kleuren):
cos2x • (2K + 2K - 4Mx - 4N)  + sin2x • (-4Kx - 4L - 2M - 2M) + cos2x • (2Kx + 2L + M)  + sin2x • (K - 2Mx - 2N) + sin2x • (6Kx + 6L) + cos2x • (6Mx + 6N) + sin2x • (3x - 8)

2K + 2K - 4N + 2L + M + 6N  = 0  geeft  4K + 2N + 2L + M = 0
-4M + 2K + 6M = 0  geeft  2M + 2K = 0
-4K - 2M + 6K  = 0 geeft  2K - 2M = 0
-4L - 2M - 2M + K - 2N + 6L - 8 = 0  geeft  2L - 4M + K - 2N = 8

de groene geeft K = M en daarna geeft de rode K = M = 0
Dan blijven de blauwe en de paarse over: 
N + L = 0  en   2L - 2N = 8
Dat geeft  N = -2  en  L = 2

Een particuliere oplossing is  y = 2sin2x  - 2cos2x
       
4. a. y'' - 5y' + 6y = 4e3x•cos(5x)
probeer  Ae3x • (Bcos5x + Csin5x)  =   e3x • (Kcos5x + Lsin5x)
       
  b. y'' - 4y' + 3y  + (2x2 - 3x)cosx = 0
probeer   (Ax2 + Bx + C) • (Dcosx + Esinx)
Je krijgt de termen  x2sinx en  x2cosx  en  xsinx en xcosx  en  sinx en cosx  dus 6 vergelijkingen met 6 onbekenden.
       
  c.

y'' - 2y' - 8y = ex(2x - 1)sin(2x)
probeer  Aex • (Bx + C) • (Dsin2x + Ecos2x)  =  ex • (Kx + L) • (Msin2x + Ncos2x)
       
5. a. y'' + 6y' + 5y + e2x - 2cosx = 0

particuliere oplossing nr 1:    y = Ae2x  bij de vergelijking  y'' + 6y' + 5y + e2x = 0
y ' = 2Ae2x  en  y''  = 4Ae2x   invullen:   4Ae2x + 12Ae2x + 5Ae2x + e2x = 0
21A + 1 = 0  ⇒   A = -1/21  dus  y = -1/21e2x 

particuliere oplossing nr 2:   y = Bcosx + Csinx  bij de vergelijking  y'' + 6y' + 5y - 2cosx = 0
y' = -Bsinx + Ccosx  en  y''  = -Bcosx - Csinx 
invullen:    -Bcosx - Csinx  - 6Bsinx + 6Ccosx  + 5Bcosx + 5Csinx- 2cosx = 0
cosx • (-B + 6C + 5B - 2) + sinx(-C - 6B + 5C) = 0
4B + 6C = 2  en  4C - 6B = 0
de tweede geeft B = 2/3C en dat kun je invullen in de eerste:  8/3C + 6C = 2 geeft  C = 3/13 
dan is B = 2/13  dus  y = 2/13cosx + 3/13sinx
 
samenvoegen:    y =  2/13cosx + 3/13sinx - 1/21e2x 
       
  b. y'' - 3y' - 10y  + 3sin2x - ex = 0

particuliere oplossing nr 1:   y = Aex  bij de vergelijking  y'' - 3y' - 10y  - ex = 0
 y ' = Aex  en  y'' = Aex   invullen:   Aex - 3Aex - 10Aex - ex = 0
-12A - 1 = 0  geeft  A = -1/12  dus  y = -1/12ex 

particuliere oplossing nr 2:  y = Bsin2x + Ccos2x  bij de vergelijking  y'' - 3y' - 10y  + 3sin2x = 0
y ' = 2Bcos2x - 2Csin2x  en  y'' = -4Bsin2x - 4Ccos2x
invullen:    -4Bsin2x - 4Ccos2x - 6Bcos2x + 6Csin2x - 10Bsin2x - 10Ccos2x + 3sin2x = 0
sin2x(-4B + 6C - 10C + 3) + cos2x(-4C - 6B - 10B) = 0
-4B - 4C + 3 = 0  en  -4C - 16B = 0
De tweede geeft  C = -4B  en dat kun je invullen in de eerste:  -4B + 16B + 3 = 0  dus  B = -1/4
Dan is C = 1  en  y = -1/4cos2x + sin2x    

samenvoegen:    y = -1/4cos2x + sin2x - 1/12ex 
       
  c. y'' - 5y' + 4y  + x2 - 2x - xe2x = 0

particuliere oplossing nr 1:   y = Ax2 + Bx + C  bij de vergelijking  y'' - 5y' + 4y  + x2 - 2x = 0
y' = 2Ax + B  en y''  = 2A
invullen:   2A - 10Ax - 5B + 4Ax2 + 4Bx + 4C + x2 - 2x = 0
x2(4A + 1) +  x(-10A + 4B - 2)  + (2A - 5B + 4C) = 0
4A + 1 = 0  en   -10A + 4B - 2 = 0  en   2A - 5B + 4C = 0
A = -1/4   en  B = -1/8  en  C = -1/32  geeft  y = -1/4x2  - 1/8x - 1/32 

particuliere oplossing nr 2:   y = (Dx + E) • e2x  bij de vergelijking    y'' - 5y' + 4y  - xe2x = 0
y'  = De2x + 2(Dx + E)e2x =  e2x • (2Dx + D + 2E)   en   y''  =  e2x • 2D + 2e2x (2Dx + D + 2E)
invullen  (e2x buiten haakjes):
e2x • (2D + 4Dx + 2D + 4E - 10Dx - 5D - 10E + 4Dx + 4E - x) = 0
e2x • (x (4D - 10D + 4D - 1)  + (2D + 2D + 4E - 5D - 10E + 4E) = 0
-2D - 1 = 0  en   -D - 2E = 0
D = -1/2  en E = 1/4  geeft  y = (-1/2x + 1/4) • e2x

samenvoegen:    y = -1/4x2  - 1/8x - 1/32  + e2x •  (-1/2x + 1/4)
       
6. a. y'' + 2y' - 15y = 2x + 4 + e3x
homogene vergelijking:   y'' + 2y'- 15y = 0
karakteristieke vergelijking:  λ2 + 2λ - 15 = 0
(λ - 3)(λ + 5) = 0  ⇒  λ = 3   ∨   λ = -5  dus  y = Ae3x + Be-5x

Ik zou proberen  twee particuliere oplossingen:   y = Ax + B  en   y = Ce3x
Vanwege de oplossing van de homogene vergelijking verander ik dat in   y = Ax + B  en   y = Cxe3x  
       
  b. y'' - 4y' + 3y = e2x(1 - ex)  =  e2x - e3x
homogene vergelijking:   y''  - 3y' + 3y = 0
karakteristieke vergelijking:   λ2 - 4λ + 3 = 0
(λ - 3)(λ - 1) = 0  ⇒   λ = 3  ∨  λ = 1  dus  y = Aex  + Be3x

Ik zou proberen  y =  Ae2x + Be3x
Vanwege de oplossing van de homogene vergelijking verander ik dat in    y =  Ae2x + Bxe3x
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)