|
|||||
| 1. | a. | Los op:
y'' + y ' = sinx Karakteristieke vergelijking λ2 + λ = 0 heeft λ = 0 ∨ λ = -1 Dus de oplossing van de homogene vergelijking is y = c1 + c2e-x y = acosx + bsinx invullen: -acosx - bsinx - asinx + bcosx = sinx sinx(-b - 1 - a) + cosx(-a + b) = 0 geeft a = b = -1/2 Particuliere oplossing: y = -1/2cosx - 1/2 sinx Algemene oplossing: y = c1 + c2e-x - 1/2cosx - 1/2sinx. |
|||
| b. | Los op:
y'' - 2y' + 2y = 1 + x + e-x
+ sin3x • e2x Karakteristieke vergelijking λ2 - 2λ + 2 = 0 heeft λ = 1 ± i Dus de oplossing van de homogene vergelijking is y = c1 • sinx • ex + c2 • cosx • ex |
||||
| • |
y = a + bx invullen: 0 - 2b + 2a + 2bx = 1 + x (-2b + 2a - 1) + x(2b - 1) = 0 geeft b = 1/2 en a = 1 Particuliere oplossing nr. 1: y = x + 1/2 |
||||
| • |
y = ae-x invullen: ae-x + 2ae-x + 2ae-x = e-x e-x • (a + 2a + 2a - 1) = 0 geeft a = 1/5. Particuliere oplossing nr. 2: y = 1/5 • e-x |
||||
| • |
y = ae2xsin3x + be2xcos3x
geeft: y' = 2ae2xsin3x + 3ae2xcos3x + 2be2xcos3x - 3be2xsin3x = e2x • (sin3x • (2a - 3b) + cos3x • (3a + 2b)) y'' = 2e2x • (sin3x • (2a - 3b) + cos3x • (3a + 2b)) + 3e2x • (cos3x • (2a - 3b) - sin3x • (3a + 2b)) alles invullen: e2x • sin3x • (4a - 6b - 9a - 6b - 4a + 6b + 2a - 1) + e2x • cos3x • (6a + 4b + 6a - 9b - 6a - 4b + 2b) = 0 (-7a - 6b - 1) • sin3x + (6a - 7b) • cos3x = 0 Dat geeft a = -7/85 en b = -6/85 Particuliere oplossing nr. 3: y = -7/85 • e2xsin3x - 6/85 • e2xcos3x |
||||
| De algemeen oplossing
is y = c1 • sinx • ex + c2 • cosx • ex + x + 1/2 + 1/5 • e-x - 7/85 • e2xsin3x - 6/85 • e2xcos3x |
|||||
| c. | Los op: y"
+ 3y' = 2x3 - 1 + xe-3x
Karakteristieke vergelijking λ2 + 3λ = 0 heeft λ = 0 ∨ λ = -3 Dus de oplossing van de homogene vergelijking is y = c1 + c2 • e-3x |
||||
| • |
y = x • (ax3 + bx2
+ cx + d) = ax4 + bx3
+ cx2 + dx invullen: 12ax2 + 6bx + 2c + 12ax3 + 9bx2 + 6cx + 3d = 2x3 - 1 x3(12a - 2) + x2(12a + 9b) + x(6b + 6c) + (2c + 3d + 1) = 0 Dat geeft a = 1/6 en b = -2/9 en c = 2/9 en d = -13/27 Particuliere oplossing nr. 1: y = 1/6x4 - 2/9x3 + 2/9x2 - 13/27x |
||||
| • |
y = x • (ax + b) • e-3x
= (ax2 + bx) • e-3x
geeft: y' = (2ax + b) • e-3x - (3ax2 + 3bx) • e-3x y'' = 2a • e-3x - (6ax + 3b) • e-3x - (6ax + 3b) • e-3x + (9ax2 + 9bx) • e-3x = e-3x • (2a - 6ax - 3b - 6ax - 3b + 9ax2 + 9bx) invullen: e-3x • (2a - 6ax - 3b - 6ax - 3b + 9ax2 + 9bx) + 3(2ax + b) • e-3x - 3(3ax2 + 3bx) • e-3x = xe-3x x2 • (9a - 9a) + x(-6a - 6a + 9b + 6a - 9b - 1) + (2a - 3b - 3b + 3b) = 0 Dat geeft a = -1/6 en b = -1/9 Particuliere oplossing nr. 2: y = (-1/6x2 -1/9x) • e-3x |
||||
| De algemene oplossing
is: y = c1 + c2 • e-3x + 1/6x4 - 2/9x3 + 2/9x2 - 13/27x + (-1/6x2 -1/9x) • e-3x |
|||||
| d. | Los op: y''
+ 2y' + 2y = 3cos4x + cosx • ex -
2sinxe-x Karakteristieke vergelijking λ2 + 2λ + 2 = 0 heeft λ = -1 ± i Dus de oplossing van de homogene vergelijking is y = c1 • cosx • e-x + c2 • sinx • e-x |
||||
| • |
y = acos4x + bsin4x
invullen: -16acos4x - 16bsin4x - 8asin4x + 8bcos4x + 2acos4x + 2bsin4x = 3cos4x cos4x • (-16a + 8b + 2a - 3) + sin4x • (-16b - 8a + 2b) = 0 Dat geeft a = -21/130 en b = 12/130 Particuliere oplossing nr. 1: y = -21/130cos4x + 12/130sin4x |
||||
| • |
y = (acosx + bsinx) • ex
geeft: y' = (-asinx + bcosx) • ex + (acosx + bsinx) • ex = ex • (-asinx + bsinx + bcosx + acosx) y'' = ex • (-asinx + bsinx + bcosx + acosx) + ex • (-acosx + bcosx - bsinx - asinx) = ex • (-2asinx + 2bcosx) invullen: ex • (-2asinx + 2bcosx - 2asinx + 2bsinx + 2bcosx + 2acosx + 2acosx + 2bsinx) = ex • cosx sinx • (-2a - 2a + 2b + 2b) + cosx • (2b + 2b + 2a + 2a - 1) = 0 sinx • (-4a + 4b) + cosx • (4b + 4a - 1) = 0 Dat geeft a = b = 1/8 Particuliere oplossing nr. 2: y = 1/8(cosx + sinx) • ex |
||||
| • |
y = x • (acosx + bsinx) • e-x
geeft: y' = (acosx + bsinx) • e-x - x • (acosx + bsinx) • e-x + x • (-asinx + bcosx) • e-x = e-x • (acosx + bsinx - xacosx - xbsinx - xasinx + xbcosx) y'' = e-x • (-acosx - bsinx + xacosx + xbsinx + xasinx - xbcosx) + e-x • (-asinx + bcosx - acosx + xasinx - bsinx - xbcosx - asinx - xacosx - bcosx + xbsinx) = e-x • (-2acosx - 2bsinx + 2xbsinx + 2xasinx - 2xbcosx - 2asinx) invullen (en meteen e-x buiten haakjes): e-x • (-2acosx - 2bsinx + 2xbsinx + 2xasinx - 2xbcosx - 2asinx + 2acosx + 2bsinx - 2xacosx - 2xbsinx - 2xasinx + 2xbcosx + 2xacosx + 2xbsinx) = - 2sinxe-x (- 2asinx + 2xbsinx) = - 2sinxe-x sinx(-2a + 2) + xsinx • 2b = 0 en dat geeft a = 1 en b = 0 Particuliere oplossing nr. 3: y = x • cosx • e-x |
||||
|
De algemene oplossing is: y = c1 • cosx • e-x + c2 • sinx • e-x - 21/130cos4x + 12/130sin4x + 1/8(cosx + sinx) • ex + x • cosx • e-x |
|||||
| e. | y'' + y
= -3x2sin2x + xcosx Karakteristieke vergelijking λ2 + 1 = 0 heeft λ = ± i Dus de oplossing van de homogene vergelijking is y = c1 • cosx + c2 • sinx |
||||
| • |
y = (ax2 + bx + c) • sin2x
+ (dx2 + ex + f) • cos2x y' = (2ax + b) • sin2x + (2ax2 + 2bx + 2c) • cos2x + (2dx + e) • cos2x - (2dx2 + 2ex + 2f) • sin2x = sin2x • (2ax + b - 2dx2 - 2ex - 2f) + cos2x • (2ax2 + 2bx + 2c + 2dx + e) y'' = sin2x • (2a - 4dx - 2e) + cos2x • (4ax + 2b - 4dx2 - 4ex - 4f) + cos2x • (4ax + 2b + 2d) + + sin2x • (-4ax2 - 4bx - 4c - 4dx - 2e) invullen: sin2x • (2a - 4dx - 2e) + cos2x • (4ax + 2b - 4dx2 - 4ex - 4f) + cos2x • (4ax + 2b + 2d) + + sin2x • (-4ax2 - 4bx - 4c - 4dx - 2e) + (ax2 + bx + c) • sin2x + (dx2 + ex + f) • cos2x = -3x2sin2x sin2x • (2a - 4dx - 2e - 4ax2 - 4bx - 4c - 4dx - 2e + ax2 + bx + c + 3x2) + cos2x • ( 4ax + 2b - 4dx2 - 4ex - 4f + 4ax + 2b + 2d + dx2 + ex + f) = 0 Dat geeft 2a - 2e - 4c - 2e + c = 0 ofwel 2a - 4e - 3c = 0 (term van sin2x) -4d - 4b - 4d + b = 0 ofwel -8d - 3b = 0 (term van xsin2x) -4a + a + 3 = 0 ofwel a = 1 (term van x2sin2x) 2b - 4f + 2b + 2d + f = 0 ofwel 4b + 2d - 3f = 0 (term van cos2x) 4a - 4e + 4a + e = 0 ofwel 8a - 3e = 0 (term van xcos2x) -4d + d = 0 ofwel d = 0 (term van x2cos2x) Samen geeft dat a = 1 en b = 0 en d = 0 en f = 0 en e = 8/3 en c = -26/9 Particuliere oplossing nr. 1: y = (x2 - 26/9) • sin2x + 8/3x • cos2x |
||||
|
y = x(ax + b)sinx + x(cx
+ d)cosx = (ax2 + bx)sinx
+ (cx2 + dx)cosx y' = (2ax + b)sinx + (ax2 + bx)cosx + (2cx + d)cosx - (cx2 + dx)sinx y'' = 2asinx + (2ax + b)cosx + (2ax + b)cosx - (ax2 + bx)sinx + 2ccosx - (2cx + d)sinx - (2cx + d)sinx - (cx2 + dx)cosx invullen: 2asinx + (2ax + b)cosx + (2ax + b)cosx - (ax2 + bx)sinx + 2ccosx - (2cx + d)sinx - (2cx + d)sinx - (cx2 + dx)cosx + (ax2 + bx)sinx + (cx2 + dx)cosx = xcosx sinx • (2a - ax2 - bx - 2cx - d - 2cx - d + ax2 + bx) + cosx • (2ax + b + 2ax + b + 2c - cx2 - dx + cx2 + dx - x) = 0 Dat geeft: 2a - d - d = 0 ofwel a = d (term van sinx) -b - 4c + b = 0 ofwel c = 0 (term van xsinx) -a + a = 0 (term van x2sinx) b + b + 2c = 0 ofwel b + c = 0 (term van cosx) 2a + 2a - d + d - 1 = 0 ofwel a = 1/4 (term van xcosx) -c + c = 0 (term van x2cosx) Samen geeft dat a = 1/4 en d = 1/4 en c = 0 en b = 0 Particuliere oplossing nr. 2: y = 1/4x2 • sinx + 1/4x • cosx |
|||||
| De algemene oplossing
is: y = c1 • cosx + c2 • sinx + (x2 - 26/9) • sin2x + 8/3x • cos2x + 1/4x2 • sinx + 1/4x • cosx |
|||||
| 2. | a. | Aan de ene kant hangt
in het begin 11 meter, aan de andere kant hangt in het begin 4 meter. Als er x meter is afgegleden hangt aan de ene kant nog 11 + x meter en aan de andere kant nog 4 - x meter. Stel de dichtheid is ρ kg/m. De zwaartekracht op de lange kant is dan m • g = ρ • (11 + x) • g De zwaartekracht op de korte kant is dan m • g = ρ • (4 - x) • g De wrijvingskracht is 1/2 • ρ • g Voor de totale kracht die langs de lange kant omlaag werkt geldt dan: Ftot = m • a = ρ • (11 + x) • g - ρ • (4 - x) • g - 1/2 • ρ • g a = x'' en m = 15ρ geeft dan: 15ρ • x'' = ρ • (11 + x) • g - ρ • (4 - x) • g - 1/2 • ρ • g 15x'' = (11 + x) • g - (4 - x) • g - 1/2 g 15x'' = 6,5g + 2xg |
|||
| b. | 15x'' - 2gx
= 6,5g De karakteristieke vergelijking is 15λ2 - 2g = 0 met als oplossingen λ = ±√(2/15g) = ± k De oplossing van de homogene vergelijking is: x = c1 • ekt + c2 • e-kt Probeer een particuliere oplossing van de vorm x = x0 • V0(x) = c (geval 1 uit de tabel) Invullen: -2gc = 6,5g ofwel c = -13/4 De algemene oplossing is x = c1 • ekt + c2 • e-kt - 13/4 x(0) = 0 geeft c1 + c2 = 13/4 x'(0) = 0 geeft kc1 - kc2 = 0 Samen geeft dat c1 = c2 = 13/8 De oplossing is x = 13/8 • (ekt + e-kt - 2) met k = √(2g/15) De ketting is afgegleden als x = 4 4 = 13/8 • (ekt + e-kt - 2) 4ekt = 13/8 (ekt)2 + 13/8 - 26/8ekt 0 = 13(ekt)2 - 58ekt + 13 ABC-formule: ekt = 4,22 ∨ ekt = 0,24 k ≈ 1,143 geeft dan t ≈ 1,26 sec. (∨ t ≈ -1,25 maar die valt af). |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||