|
|||||
| 1. | Er zijn natuurlijk oneindig veel verschillende mogelijkheden. Hier is er steeds ééntje: | ||||
| a. |
 |
||||
| b. |
 |
||||
| 2. | a. | 1 + 2μ
= 10 + ρ 2 + 4λ - 3μ = -20 - 5ρ 3 - λ = 6ρ De laatste geeft λ = 3 - 6ρ, en dat kun je in de andere twee invullen: 1 + 2μ = 10 + ρ ofwel 9 = 2μ - ρ 2 + 4(3 - 6ρ) - 3μ = -20 - 5ρ ofwel 34 = 19ρ + 3μ De eerste geeft nu ρ = 2μ - 9 en dat kun je in de tweede invullen: 34 = 19(2μ - 9) + 3μ 34 = 41μ -171 ⇒ 41μ = 205 ⇒ μ = 5 Dan is ρ = 2μ - 9 = 1 en λ = 3 - 6ρ = -3 Dat geeft het snijpunt (11, -25, 6) |
|||
| b. | -1 + 3λ
= 17 + 4ρ 4 - 5μ = 12 + 2ρ -6 + 2λ + 2μ = -4 + 3ρ de tweede geeft ρ = -4 - 21/2μ en dat kun je invullen in de andere twee: -1 + 3λ = 17 + 4(-4 - 21/2μ) ⇒ -1 + 3λ = 1 - 10μ -6 + 2λ + 2μ = -4 + 3(-4 - 21/2μ) ⇒ -6 + 2λ = -16 - 91/2μ vermenigvuldig de eerste met 2 en de tweede met -3: -2 + 6λ = 2 - 20μ en 18 - 6λ = 48 + 281/2μ tel ze bij elkaar op: 16 = 50 + 81/2μ ⇒ 81/2μ = -34 ⇒ μ = -4 Dan is λ = 14 en ρ = 6 Dat geeft het snijpunt (41, 24, 14) |
||||
| c. | -4λ
+
μ = -1 + 2ρ 2λ - 6μ = 3 - 3ρ 3λ + 7μ = -1 + ρ de laatste geeft ρ = 1 + 3λ + 7μ en dat kun je invullen in beide anderen: -4λ + μ = -1 + 2(1 + 3λ + 7μ) ⇒ -10λ - 13μ = 1 2λ - 6μ = 3 - 3(1 + 3λ + 7μ) ⇒ 11λ + 15μ = 0 de tweede geeft λ = -15/11μ en dat kun je invullen in de eerste: 150/11μ - 13μ = 1 ⇒ μ = 11/7 Dat geeft λ = -15/7 en ρ = 39/7 Dat geeft het snijpunt (71/7, -96/7, 32/7) |
||||
| 3. | a. |
 |
|||
| Je kunt de richtingsvectoren van het ene vlak maken met die uit het andere, dus de vlakken hebben dezelfde richtingen en zijn dus WEL evenwijdig. | |||||
| b. | Deze keer lukt dat niet. | ||||
 |
|||||
| Dat geeft drie
vergelijkingen: 6 = 6q -7 = 4p + q 12 = -7p De eerste geeft q = 1 en de laatste geeft p = -7/12 invullen in de tweede: -7 = 4 • -7/12 + 1 en dat klopt niet. Die tweede richtingsvector van het tweede vlak ligt niet in het eerste, dus de vlakken zijn NIET evenwijdig. |
|||||
| 4. | Kies A als oorsprong en de lengte van de ribben 1. |
 |
|||
 |
|||||
 |
|||||
| snijpunt S van
EC met vlak BDG: 1 - μ = ρ en λ + μ = ρ en λ = 1 - ρ de eerste invullen in de tweede en derde geeft λ + μ = 1 - μ en λ = 1 - 1 + μ Dat geeft λ = μ = 1/3 en ρ = 2/3 Kennelijk moet je om vanuit E in S te komen 2/3 van de vector EC nemen (immers r = 2/3) Dus ES is 2/3 van EC en SC is 2/3 van EC. |
|||||
| 5. | Kies oorsprong D, en DA de
richting van de x-as De hoogte van CF boven vlak ABED is gelijk aan 2√3 (hoogtelijn van een gelijkzijdige driehoek met zijden 4 is √(42 - 22) = √12 = 2√3) A = (6, 0, 0) en E = (0, 4, 0) en P = (3, 2, 2√3) |
|
|||
 |
|||||
| C = (6, 2, 2√3) en B = (6, 4, 0) dus Q = (6, 3, √3) | |||||
 |
|||||
| Snijpunt: 3λ + 3μ = 6ρ 4 - 2λ - 2μ = 3ρ 2√3μ = ρ√3 De laatste geeft ρ = 2μ, en daarmee worden de anderen: 3λ + μ = 0 en 4 - 2λ = 8μ De eerste geeft μ = -3λ en dan wordt de tweede: 4 - 2λ = -24λ dus λ = -4/22 = -2/11 Dan is μ = 6/11 en ρ = 12/11 Invullen in DQ geeft S = (72/11, 36/11, 12/11√3) C = (6, 2, 2√3) dus CS = (met Pythagoras) = √( (6-72/11)2 + (2 - 36/11)2 + (2√3 - 12/11√3)2) = √(532/121) ≈ 2,1 |
|||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
