© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
1. • Kies  NUL = {0, 0, 0, ...} dan geldt voor elk rijtje  {a1, a2, a3, ...} + {0, 0, 0, ...} = {a1, a2, a3, ...} 
  • Neem twee willekeurige Fibonacci-rijtjes  A = {a1, a2, a3, ...}  en  B = {b1, b2, b3, ...}
S = A + B = {a1 + b1,  a2 + b2, a3 + b3,  ...}
Dan is S altijd weer een Fibonacci-rijtje; kijk maar:
sn = an + bn
= (an - 2 + an - 1) + (bn - 2 + bn - 1)       (want A en B waren Fibonacci-rijtjes)
= an - 2 + bn - 2 + an - 1 + bn - 1
= sn - 2 + sn - 1
  • Neem een willekeurig  Fibonacci-rijtje  A = {a1, a2, a3, ...}
c • A =  {ca1, ca2, ca3, ...}  en dat is weer een Fib.-rijtje; kijk maar:
can = c(an - 2 + an - 1)    (want A was een Fibonacci-rijtje)
= can - 2 + can - 1
       
  Kortom, de drie voorwaarden gelden, dus de ruimte van Fibonacci-rijtjes is een deelruimte van de vectorruimte Vn en is dus zelf ook een vectorruimte.
       
2a. • Kies NUL het vierkant met allemaal nullen.
  • Als de som van rijen, kolommen en diagonalen van vierkant A steeds gelijk is, en van vierkant B ook, dan  is de som van A + B ook steeds gelijk  (gelijke sommen bij elkaar optellen geeft gelijke antwoorden)
Dus is A + B ook steeds weer een magisch vierkant.
  • Als de som van rijen, kolommen en diagonalen van vierkant A steeds gelijk is, en je vermenigvuldigt elk element met c, dan is de som van rijen kolomen en diagonalen van het nieuwe vierkant ook steeds gelijk (gelijke sommen met het zelfde getal vermenigvuldigen geeft gelijke antwoorden)
Dus is cA ook steeds weer een magisch vierkant.
       
  De drie voorwaarden gelden, dus de ruimte van de n × n magische vierkanten is een deelruimte van de vectorruimte van de  n × n matrices, dus zelf ook weer een vectorruimte.
       
2b. De eerste eigenschap geldt niet:  het vierkant met allemaal nullen heeft duidelijk niet allemaal verschillende getallen.
  De tweede eigenschap geldt niet.   Simpel tegenvoorbeeld:
     
   

       
  Die laatste heeft duidelijk niet allemaal verschillende getallen.
       
  De derde eigenschap geldt wel:  als je allemaal verschillende getallen met dezelfde factor vermenigvuldigt, dan geeft dat als resultaat weer allemaal verschillende getallen.
       
3. • Als NUL in D1 zit en ook en D2 dan zit nul ook en de doorsnede (er is maar één NUL!).
  • Stel dat  a en b in de doorsnede van D1 en D2 zitten.
a en b zitten in D1, dus a + b zit ook in D1   (D1 was een deelruimte).
a en b zitten in D2, dus a + b zit ook in D2    (D2 was een deelruimte).
a + b zit dus in D1 én in D2, dus in de doorsnede van D1 en D2.
  • Stel dat a in de doorsnede van D1 en D2 zit.
a zit in D1, dus cA zit ook in D1  (D1 was een deelruimte).
a zit in D1, dus ca zit ook in D2  (D2 was een deelruimte).
ca zit in D1 én in D2 dus in de doorsnede van D1 en D2.
       
  Daarmee is aan de drie voorwaarden voldaan, dus de doorsnede is een deelruimte.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)