© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. Neem een assenstelsel met A  = (0, 0) en  P = (p, 0) 
en  B = (8,0)
Als N het midden van AP is, dan is  QN = AN = 1/2p
Dus  Q = (1/2p, 1/2p)

Stel dat K het midden van PB is
PB = 8 - p  dus  PK = 4 - 1/2p
en dan is ook  RK = (4 - 1/2p)
Dus  R = (p + 4 - 1/2p,  4 - 1/2p) = (4 + 1/2p, 4 - 1/2p) 

       
  M is het midden van  QR:   M = (1/2 • (1/2p + 4 + 1/2p),  1/2 • (1/2p + 4 - 1/2p) )  = (2 + 1/2p, 2)
De punten M liggen op een horizontale lijn op afstand 2 van AB.
       
2.
  De afstand tussen (11, 5)  en  (λ, 3 + 2λ)  is  √((11 - λ)2 + (5 - 3 - 2λ)2) = 10
100 = (11 - λ)2 + (2 - 2λ)2
100 = 121 - 22λ + λ2 + 4 - 8λ + 4λ2 
5λ2 - 30λ  - 25 = 0
λ2 - 6l  - 5 = 0
(λ - 5)(λ - 1) = 0
λ = 5   ∨   λ = 1
Dat geeft de punten  (5, 13)  en  (1, 5)
       
3.
  OP2 = λ2 + (10 - λ)2  = λ2 + 100 - 20λ + λ2  =  2λ2 - 20λ + 100
QP2 = (4 - λ)2 + (10 - λ)2 = 16 - 8λ + λ2 + 100 - 20λ + λ2  =  2λ2 - 28λ  + 116

de afstand is  √(2λ2 - 20λ + 100) + √(2λ2 - 28λ  + 116)
voer die in bij  Y1 en gebruik calc - minimum om de minimale afstand te vinden.
Dat levert minimale afstand   11,66 voor  λ = 6,25
λ = 6,25 levert het punt  P(6.25, 3.75)
       
4. R = (0, r)
P = (1, 2)
Q = (8,5)
       
 
       
  voer in de GR in:    Y1 = cos-1((8 + (X - 2)(X - 5))/(√(1 + (X - 2)^2) * √(64 + (X - 5)^2))
calc - maximum geeft  een hoek van 71,83º  (voor r ≈ 4,649)
       
5.

 

 

  x = 3/2p - 3  geeft   3/2p = x + 3  dus  p = 2/3x + 2

invullen in de y-vergelijking:
y = 1/2p + 3 = 1/2 • (2/3x + 2) + 3 = 1/3x + 4
De lijn heeft vergelijking  y =  1/3x + 4
       
6. a. Het is geen driehoek als P op het snijpunt van beide lijnen ligt, want dan liggen de drie punten op één lijn.
k gaat door (0, 10) en (40, 0) dus b = 10  en a = -1/4  dus k is de lijn y = 10 - 1/4x 
een punt van l is (18 + 5t, 30 - 3t)
invullen in k:   30 - 3t = 10 - 1/4(18 + 5t)
30 - 3t = 10 - 4,5 - 1,25t
24,5 = 1,75t
t = 14
Het snijpunt is  P = (-12, 88)
       
  b. A(0, 10)
P(18 + 5t, 30 - 3t)
B(40, 0)
de vectoren AP en BP moeten loodrecht op elkaar staan
   
    inproduct nul:
(18 + 5t)(22 - 5t) + (20 - 3t)(-30 + 3t) = 0
396 - 90t + 110t - 25t2  - 600 + 60t + 90t - 9t2 = 0
-34t2 + 170t - 204 = 0
t = (-170 ± √(1156))/-68 =  3  of  2

t = 3 geeft P = (33, 21)  en dan is  AP = √332 + 112) = √1210  en  BP = √(72 + 212) = √490
Dan is de driehoek niet gelijkbenig.

t = 2  geeft P = (28, 24)  en dan is  AP = √282 + 142) = √980  en  BP = √(222 + 242) = √1060
Dan is de driehoek niet gelijkbenig.

Er is dus NIET zo'n punt P te vinden.
       
7. a. Twee vectoren staan loodrecht op elkaar als hun inproduct nul is.
   
    2cost • (2 + cost) + 2sint • sint = 0
4cost + 2cos2t + 2sin2t = 0
4cost + 2(cos2t + sin2t) = 0
4cost + 2 = 0
cost = -1/2
t =  2/3π  ∨ t = 4/3π 
       
  b. P = (2cost, 2sint)
Q = (2 + cost, sint)
rc PQ is   (2sint - sint)/(2cost - 2 - cost) =  sint/(cost - 2)
PQ is de lijn  y =  sint/(cost - 2) • x + b
(2cost, 2sint) ligt erop:   2sint = sint/(cost - 2) • 2cost + b
b =  2sint - 2sintcost/(cost - 2)
PQ is de lijn  y = sint/(cost - 2) • x + 2sint - 2sintcost/(cost - 2)
y = 0  geeft  dan  0 = sint/(cost - 2) • x + 2sint - 2sintcost/(cost - 2)
sint/(cost - 2) • x = -2sint + 2sintcost/(cost - 2)
x = { -2sint + 2sintcost/(cost - 2)} • (cost - 2)/sint 
x = -2(cost - 2) + 2cost
x = -2cost + 4 + 2cost
x = 4
Dat is inderdaad onafhankelijk van t.
       
  c. P = (2cost, 2sint)
Q = (2 + cost, sint)
M = (1.5cost + 1,  1.5sint)
M ligt op cP als  MP = 2,  dus MP2 = 4
(1,5cost + 1)2 + (1,5sint)2 = 4
2,25cos2t + 3cost + 1 + 2,25sin2t  = 4
2,25(cos2t + sin2t) + 3cost = 3
2,25 + 3cost = 3
3cost = 0,75
cost = 0,25
t ≈ 1,318...
Tussen t = 0,723 en t = 1,318 ligt M aan de bovenkant buiten beide cirkels.
Dat is 0,595 van de  2π

De baan is symmetrisch t.o.v. de x-as dus er is nog eenzelfde deel aan de onderkant
Dat is 2 • 0,595/2π • 100% = 18,94.... %
Ongeveer 19%.
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)