© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a.
    T'(0) = (215 • 10 - 5 • 370)/(100) = 3
Dat is positief dus op t = 0 stijgt de temperatuur.		  
       
  b. vervolg van b:
T ' = 0
(-2t + 215)(5t + 10) - 5(-t2 + 215t + 370) = 0
-10t2 - 20t + 1075t + 2150 + 5t2 - 1075t - 1850 = 0
-5t2 - 20t + 300 = 0
t2 + 4t - 60 = 0
(t - 6)(t + 10) = 0
t = 6  (of t = -10 maar die vervalt)
Dan is T(6) = 40,6 ˚C
       
2. a.
    Dat is nul als  -x2 + 1 = 0
x = 1  ∨  x = -1
De toppen zijn  (1, 1/2)  en  (-1, -1/2)
De grafiek van g gaat daar inderdaad precies doorheen.
       
  b. Tussen x = 0 en x = 1 ligt de grafiek van f  boven die van g
De lengte van zo'n verticaal lijnstuk is dan  f(x) - g(x)
   
       
  c.  
    dat is nul als   (1 - 3x2)(2x2 + 2) - (x - x3)4x = 0
2x2 + 2 - 6x4 - 6x2 - 4x2 + 4x4 = 0
-2x4 - 8x2 + 2 = 0
x4 + 4x2 - 1 = 0
noem x2 = p  dan staat er  p2 + 4p - 1 = 0
p = (-4 ±√(16 + 4))/2 = 0,236   (of -4,236 maar die valt af)
x2 = 0,236  geeft  x = 0,486
Dan is L = 0,150
       
3. a.  
    Dat is nul als  272x(x4 + 16) - 136x2 · 4x3 = 0
272x5 + 4352x - 544x5 = 0
4352x - 272x5 = 0
x(4352 - 272x4) = 0
x = 0  ∨  4352 = 272x4
x = 0  ∨  x4 = 16
x = 0  ∨  x = 2  ∨  x = -2    
de kleinste functiewaarde is f(0) = 0
de grootste functiewaarde is  f(2) = 17
       
  b. f(x) = 8 geeft:
 8(x4 + 16) = 136x2
8x4 + 128 - 136x2 = 0
x4 - 17x2 + 16 = 0
(x2 - 16)(x2 - 1) = 0
x2 = 16  ∨  x2  = 1
x = 4  ∨  x = -4  ∨  x = 1  ∨  x = -1
aflezen uit de grafiek dat  f  ³ 8  geldt voor x uit:  [-4, -1]  of  [1,4]
       
4. a.
    dat is nul als  450 - 15x2 = 0
x2 = 30
x = √30  x = -√30
Op het getekende deel is het maximum  (√30, 5/22√30) dat is ongeveer  (5.48, 1.24)
       
  b. zie hiernaast.
symmetrisch in de oorsprong.
       
  c. f '(3) = (450 - 15 · 9)/(9 + 30)2  = 35/169 
f (3) = 1
1 = 35/169 · 3 + b
b = 64/169
       
  d. 3/4 = 15x/(x2 + 36)
60x = 3(x2 + 36)
60x = 3x2 + 108
0 = 3x2 - 60x + 108
0 = x2 - 20x + 36
0 = (x - 2)(x - 18)
x = 2 ∨  x = 18
Aflezen uit de grafiek:  f(x) > 3/4  voor x  in het interval    α2, 18ρ
       
  e. a · b = 26  ⇒   b = 36/a  
   
   
       
5. a. f(x) = 0
2x = 0
x = 0 en het nulpunt is  (0,0)
     
   
    f ' = 0
2 - 2x2 = 0
x2 = 1
x = 1 ∨  x = -1
(1, 1) is een maximum
(1, -1) is een minimum

de grafiek heeft horizontale asymptoot de x-as
    De grafiek staat blauw hiernaast.

2x/(x2 + 1) = 2x/(x2 - 1)
2x(x2 - 1) = 2x(x2 + 1)
2x3  - 2x = 2x3 + 2x
-2x = 2x
x = 0
Het enige snijpunt is (0,0)
       
  b.
    Dat is nul als  2p - 2x2 = 0
x2 = p
x = √p   ∨   x = -√p
Dat is inderdaad op de verticale asymptoten van g

x = ±√p geeft  y =  ±2√p/(p + p) = ±√p/p = ±1/√p = 1/x
Dus dat ligt inderdaad ook op y = 1/x
       
6. a. Stroomopwaarts is de snelheid 20 - 8 = 12 km/u, dus dat duurt 42/12 = 3,5 uur.
Stroomafwaarts duurt de tocht 42/28 = 1,5 uur.
Samen is dat 5 uur.
       
  b. Ten opzichte van de wal is de snelheid  v - 8
   
   
    B'= 0  ⇒  84v3 - 1008v2 = 0 
⇒  v2 • (84v - 1008) = 0 
⇒  v = 0  ∨  v = 1008/84 = 12
Het minimum van B is bij v = 12
       
7. a.  
    Dat is nul als de teller nul is:    16(190t2 + 60) - 16t • 380t = 0
3040t2 + 960 - 6080t2 = 0
-3040t2 + 960 = 0
3040t2 = 960
t2 = 960/3040 = 0,315789...
t = √(0,315789..) = 0,562 uur en dat is  0,562 • 60 = 33,7 minuten
       
  b. C2' = 0  geeft  0,0848(-1,92-t + 6 • 1.92-6t) = 0
Voer in de GR in Y1 = 0,0848(-1,92 ^(-X) + 6 • 1.92 ^(-X))
Calc - zero geeft dan  X = 0,55
Dat is minder dan de 0,56 uit de vorige vraag, dus het maximum van C2 wordt eerder bereikt dan dat van C1.
       
8. snijden:

(4x - 3)/(x2 + 1) = 4,5x - 3
4x - 3 = (4,5x - 3)(x2 + 1)
4x - 3 = 4,5x3 + 4,5x - 3x2 - 3
4,5x3 + 0,5x - 3x2 = 0
x(4,5x2 - 3x + 0,5) = 0
x = 0  ∨  4,5x2 - 3x + 0,5 = 0
x = 0 ∨  ABC-formule:  x = (3 ±√(9 - 9))/9
x = 0  ∨ x = 1/3
       
9. a. Uit de figuur volgt  sinα = overstaand/schuin = x/r
Invullen, samen met c = 650,  levert   V = 650 • 1/r • x/r  = 650x/r2    .....(1)
Pythagoras levert  x2 + 32 = r2  ofwel  r2 = x2 + 9
De r2 in formule  (1)  hierdoor vervangen geeft het gevraagde resultaat.
       
  b. 100 = 650x/(9 + x2)
⇒ 100(9 + x2 ) = 650x
⇒  900 + 100x2 = 650x 
⇒   100x2 - 650x + 900 = 0
Het kan nu met de ABC-formule (a = 100, b = -650,  c = 900) of zσ:
x2 - 6,5x + 9 = 0  ή  (x - 4,5) • (x - 2) = 0  ⇒  x = 4,5  of  x = 2

Voor de hoogte van de balk moet dus gelden  2 ≤ x ≤ 4,5
       
  c. Als V maximaal is moet gelden V'= 0.
Met de quotiλntregel:

Dat is nul als de teller nul is:  650 • (9 + x2) - 650x • 2x = 0  ή  5850 + 650x2 - 1300x2 = 0
⇒  5850 - 650x2 = 0  ⇒  650x2 = 5850  ⇒  x2 = 9  ⇒  x = 3  (of x = -3 maar dat is gezien de context onmogelijk).
Conclusie:  de hoogte x = 3 m
       
10. a.

   

    Dat is nul als  6px - 24 = 0  dus  x = 4/p.
y is dan  (4 - 2)/(4/p)³ = 2 • (p/4)3 = 1/32• p3

y = x als   4/p = 1/32 • p3 
128 = p4
p = 1281/4    
       
  b. f ' = g '  geeft:    (-8x + 6)/x4  = -a/x²
-8x + 6 = -ax2

f = g  geeft:  (4x - 2)/x³  = a/x
4x - 2 = ax2

Samen geeft dat  4x - 2 = -(-8x + 6)
4x - 2 = 8x - 6
4 = 4x
x = 1

Dan is  4 • 1 - 2 = a • 12   ⇒  a = 2
Het raakpunt is het punt  (1, 2)  
       
  c. fp '(x) = 0  ⇒  -2px + 6 = 0   ⇒  x = 3/p
Dan is  y = 1/(3/p)³ = 1/27 • p3
OT = √(x2 + y2) = √(9/p² + 1/729• p6)
Dat is minimaal als dat deel onder de wortel minimaal is.

9/p² + 1/729• p6  is minimaal
De afgeleide daarvan is dan nul:    -18/p³ + 6/729 • p5 = 0
-18 + 6/729 • p8  = 0
6/729• p8 = 18
p8 = 18 • 729/6 = 2187
p = 21871/8 = 2,62
       
11. Zie de grafiek hiernaast.

     
    Alle lijnen y = p(x - 3) gaan door (3, 0)
Alle lijnen in het blauwe gebied hebben 3 snijpunten met de grafiek van f
De grenzen zijn de x-as en de raaklijn in (3, 0)
   

    f '(3) =  4
Dus moet gelden   0 < p < 4
       
12. a. in 100 km neemt de actieradius 86 af, dus hij heeft 14 km gewonnen.
       
  b. x = 0  geeft  A(0) = 5000 •  5000/40000 = 625

A = 0  als  5000 - 7,2x = 0  en dat is bij  x = 694,44

Hij rijdt dus  694,44 - 625 = 69,44 km meer.
       
  c.

    Plot de grafiek van S', dan zie je voor x tussen 0 en 500 een grafiek die geheel boven de x-as ligt
S' > 0  betekent dat S stijgt, 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)