|
|||||
| 1. | a. | y'' + 2y = 2x met y(0) = -1 en y' (0) = 0 | |||
| L(y'' + 2y)
= L(2x) s2L - sy(0) - y'(0) + 2L = 2/s² s2L + s - 0 + 2L = 2/s² L(s2 + 2) = 2/s² - s L = 2/(s²(s² + 2)) - s/(s² + 2) eerste deel breuksplitsen (een verkorte poging): A/s + B/(s² + 2) = 2/(s²(s² + 2)) A(s2 + 2) + Bs2 = 2 s2(A + B) + 2A = 2 geeft A = 1 en B = -1 L = 1/s - 1/(s² + 2) - s/(s² + 2) Dat eerste deel zal bij terugtransformeren x worden, die andere twee lijken op cosax en sinax L = 1/s - 1/√2 • √2/(s² + (√2)²) - s/(s² + (√2)²) terugtransformeren: f(x) = x - 1/√2 • sin(x√2) - cos(x√2) |
|||||
| b. | y'' - y' = x2
met y(0) = y' (0) = 1 L(y'' - y') = L(x2) s2L - sy(0) - y'(0) - sL + y(0) = 2/s³ L(s2 - s) - s - 1 + 1 = 2/s³ L(s2 - s) = s + 2/s³ L = s/(s² - s) + 2/s4(s - 1) L = 1/(s - 1) + 2/(s4(s - 1)) breuksplitsen tweede term: 2/(s4(s - 1)) = C/s^4 + D/s³ + E/s² + F/s + G/(s - 1) C(s - 1) + Ds(s - 1) + Es2(s - 1) + Fs3(s - 1) + Gs4 = 2 Cs - C + Ds2 - Ds + Es3 - Es2 + Fs4 - Fs3 + Gs4 = 2 s4(F + G) + s3(E - F) + s2(D - E) + s(C - D) - C = 2 Dat geeft C = -2 en C = D = E = F = -2 en G = 2 L = 1/(s - 1) - 2/s^4 - 2/s³ - 2/s² - 2/s + 2/(s - 1) L = 3/(s - 1) - 2/s^4 - 2/s³ - 2/s² - 2/s L = 3/(s - 1) - 1/3 • 6/s^4 - 2/s³ - 2 • 1/s² - 2 • 1/s terugtransformeren: f(x) = 3ex - 1/3x3 - x2 - 2x - 2 |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||