1

		© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

1.	a.



	b.	Na 4 jaar komt de bevolkingshoeveelheid van na 1 jaar er weer uit! Dat betekent dat er om de drie jaar hetzelfde zal gebeuren. Deze drie bevolkingsopbouwen blijven elkaar afwisselen/opvolgen.

	c.	Stel dat de aantallen 200 - X - 100 zijn Dan zijn de aantallen over een jaar 200 - 160 - 0,625X Dus moet gelden X = 160 Dan is inderdaad 0,625X = 100 De vogelliefhebber moet dus 40 volwassen vogels toevoegen.

	d.	noem de aantallen J, V, B dan zijn de nieuwe aantallen 2B, 0,8J en 0,625V dus moet gelden: J = 2B dus B = 0,5J V = 0,8J Het totaal is dan J + V + B = J + 0,5J + 0,8J = 2,3J = 345 Dan is J = 150 en B = 75 en V = 120

2.	De lesliematrix is de volgende (als 10 Jongen één volwassenen voortbrengen, dan brengt één Jonge gemiddelde 0,1 volwassenen voort):

	Over 6 weken vermenigvuldigen met L⁶ :

	Dat zijn er in totaal 123580.

3.	a.	¹/₃ blijft middelgroot, ¹/₆ wordt groot dus er verdwijnt 1 - ¹/₃ - ¹/₆ = ¹/₂. Hij verkoopt de helft.

	b.	"van m naar m" is niet nul, en dat moet bij een Lesliematrix wél. Diersoorten kunnen niet even oud blijven.

	c.
		Dit zijn de aantallen bomen per categorie over een jaar.

	d.
		Dus moet gelden ¹/₃x + 400 = 1200 ⇒ x = 2400 De kweker moet 2400 kleine bomen hebben Omdat ¹/₃x = 800 moet hij elk jaar 1600 kleine bomen bijplanten.

4.	a.
		J = 1000 in 200 geeft V = 800 in 2005, dus a = 0,8 V = 500 in 2000 geeft O = 250 in 2005 dus b = 0,5 V = 500 en O = 500 in 2000 geeft J = 1100 in 2005 dus 500c + 500d = 1100 .....(1) V = 800 en O = 250 in 2005 geeft J = 715 in 2010 dus 800c + 250d = 715 ......(2) Uit (1) en (2) kun je c en d berekenen: (2) geeft 1600c + 500d = 1430 trek daar (1) van af: 1100c = 330 dus c = 0,3 Dan volgt uit (1) of (1) dat d = 1,9


	b.	Stel de evenwichtsaantallen J, V en O Dan moet gelden 0,3V + 1,9O = J 0,8J = V ofwel J = 1,25V 0,5V = O tweede en derde invullen in de eerste: 0,3V + 1,9 • 0,5V = 1,25V en dat klopt Er is dus evenwicht mogelijk, en de verhoudingen J - V - O zijn 1,25 - 1 - 0,5 Dat klopt met de vorm van piramide B OF: het zelfde verhaal met de gegeven matrix: 0,5V + 1,5O = J 0,8J = V ofwel J = 1,25V 0,5V = O invullen: 0,5V + 1,5 • 0,5V = 1,25V en dat klopt. de verhoudingen dan hetzelfde, dus ook B

	c.	Splits de groep ouderen in twee groepen O1 en O2 en maak er een 4 × 4 matrix van. O1 en O2 gaan alleen naar J (zelfde getal als nu van O naar J), verder nullen. Van V gaat de helft naar O1 en de helft naar O2

5.	a.	Omdat de bevolkingsgroepen 5 jaar breed zijn betekent elke vijf jaar dat je één keer met M moet vermenigvuldigen:




	b.	Stel die hoeveelheden J, V en B, dan geldt: 1 • V + ³/₄ • B = J ²/₃ • J = V ²/₃ • V = B Uit de tweede volgt J = 1,5V en uit de derde B = ²/₃V en die kun je samen invullen in V + B + J = 400 Dat geeft ²⁵/₆V = 400 dus V = 96 Dan is B = 64 en J = 144

	c.
		Dat betekent dat om de drie jaar de hoeveelheid in elke leeftijdsgroep wordt vermenigvuldigd met ²_/9. Dus de totale hoeveel ook om de drie jaar.

	d.	De groeifactor van het totale aantal is ²/₉ per 3 jaar (zie vraag c) 30000 • (²/₉)^x = 50 geeft x = 4,25 Dat is na 4,25 • 3 = 13 jaar.

6.	a.	de 1210 exemplaren van 1-2 maanden oud zijn een periode later veranderd in de 1030 exemplaren van 2-3 maanden oud. De kans dat een exemplaar nog leeft is dus ¹⁰³⁰/₁₂₁₀ = 0,85

	b.

	c.
		De laatste kolom is afgerond op gehelen. De totale populatie is 2960.

7.	a.	VAN jonge vlieg NAAR oude vlieg is factor 2k, maar dat kan nooit meer dan 1 zijn, immers het zijn degenen die overleven. Dus 2k ≤ 1 dus k ≤ 0,5.

	b.	Dat waren de 773 eitjes bij telling 22. Die zijn één telling later allemaal jong (en alle exemplaren die in telling 22 'jong' waren zijn een week later oud geworden)

	c.	van eitje naar jong: alle 773 Dus bij telling 23 waren er 773 jonge vliegen en 994 -773 = 221 ouden Stel dat er bij telling 22 x jongen waren en dus 926 - x ouden Dat geeft bij telling 23 dan 7kx + 4k(926 - x) eitjes en dat moet gelijk zijn aan 887 Verder geeft dat bij telling 23 ook 2kx ouden en dat moet gelijk zijn aan 221 7kx + 4k(926 - x) = 887 ⇒ 7kx + 3704k - 4kx = 887 ⇒ 3kx + 3704k = 887 2kx = 221 geeft x = ²²¹/_2k en dat kun je invullen in de vorige vergelijking: 3k • ²²¹/₂_k + 3704k = 887 331,5 + 3704k = 887 3704k = 555,5 k ≈ 0,15 en dat geeft voor telling 24:

		Dat geeft 944 eitjes en 887 + 232 = 1119 vliegen, en dat klopt precies met de werkelijke aantallen.

8.	a.

	b.	De 302 km² klasse 1 op t = 0 is op t = 1 overgegaan in 300 km² klasse 2, dus g₁ = ³⁰⁰/₃₀₂ = 0,993 en dan is dus b₁ = 0,007 De 284 km² klasse 2 op t = 0 is op t = 1 overgegaan in 278 km² klasse 3, dus g₂ = ²⁷⁸/₂₈₄ = 0,979 en dan is b₂ = 0,021

	c.	Uiteindelijk zal de vegetatie stabiel worden, en bestaan uit 19% klasse 1, 19% klasse 2, 18% klasse 3 en 44% klasse 4.

	d.

9.	a.	Elk exemplaar heeft per periode gemiddeld 0,25 nakomelingen

	b.