1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

f '(x) = 4 · 3^x · ln3 dus f '(2) = 4 · 3² · ln3 = 39,55

g ' = -2^x·ln2 = -9
2^x = ^-9/_-ln2 = 12,98
x = ²log12,98 = ^log(12,98)/_log(2) = 3,7
Dat geeft y = 5 - 2^3,7 = -7,98
Dat is het punt (3.70, -7.98)

y' = 8 - 3^x · ln3 = 0
8 = 3^x · ln3
3^x= ⁸/_ln3 = 7,28
x = ³log 7,28 = ^log(7,28)/_log(3) = 1,8
Dat geeft y = 8 · 1,8 - 3^1,8 = 7,2
Het maximum is (1.8, 7.2)

h' = -0,5^x·ln0,5
h '(-1) = -0,5^-1 · ln0,5 = 2ln2
(-1, 0) invullen: 0 = 2ln2 · -1 + b geeft b = 2ln2
De raaklijn is dan y = xln2 + 2ln2

3 • 4^{6
- 2x} • ln4 • -2 = -6ln4•4^{6 - 2x}

2 + 3^√x • ln3 • 0,5 • x^-0,5

4(2^x + 3)³ • 2^x • ln2

1 • 5^x + x • 5^x • ln5 = 5^x• (1 + xln5)

0,5(x + 3^x)^-0,5 • (1 + 3^x • ln3)

-12 • 0,5^{4x
- 2} • ln0,5 • 4 = -48ln0,5 • 0,5^{4x - 2}

4^x • ln4 + 5^2x • ln5 • 2

De oppervlakte van de driehoek is 0,5 • OQ • OP
Stel dat de x-coördinaat van P gelijk is aan p
Dan is OQ = p
Dan is OP = 4 • 0,5^p immers dat is de y die bij x = p hoort.
Dan is de oppervlakte O = 0,5 • p • 4 • 0,5^p = 2p • 0,5^p
Die is maximaal als de afgeleide ervan nul is:
O ' = 2 • 0,5^p + 2p • 0,5^p • ln0,5 = 0
0,5^p• (2 + 2p • ln0,5) = 0
0,5^p = 0 of 2 + 2p ln0,5 = 0
2pln0,5 = -2
p =^-2/_2ln0,5 = ^-1/_ln0,5 = ¹/_ln2= 1,44
dan is y = 4 • 0,5^p = 1,47

Een rechte lijn door (6, 12) en (14, 350)
a = ^Δy/_Δx = ^{(350 - 12)}/_{(14
- 6)} = 42,25
punt invullen: 12 = 42,25 • 6 + b geeft b = -241,5
De vergelijking is dan L = 42,25t - 241,5

Exponentiële functie door (6, 12) en (14,350)
De groeifactor is ³⁵⁰/₁₂ = 29,17 en dat is g⁸ dus g = 29,17^1/8 = 1,524
punt invullen: 12 = B • 1,524⁶ ⇒ 12 = B • 12,55 Þ B = 0,956
De vergelijking is dan L = 0,956 • 1,524^t

De groeisnelheden zijn de afgeleides, dus die moeten gelijk zijn;
42,25 = 0,956 • 1,524^t • ln1,524
42,25 = 0,403 • 1,524^t
104,9 = 1,524^t
t = ^log(104,9)/_log(1,524) = 11,0

aantal meisjes 8000 × 1,04^xaantal jongens: 23000 × 0,95^x
8000 × 1,04^x= 23000 × 0,95^x
2,875 = (^1,04_{/ 0,95})^x2,875 = 1,0947^x
x = ^1,0947log(2,875) = 11,66
Dat is in 2014

Tot = 8000 × 1,04^x + 23000 × 0,95^x
T '= 8000 × ln(1,04) × 1,04^x+ 23000 × ln(0,95) × 0,95^x
313,765...1,04^x - 1179,745... 095^x = 0
313,765...1,04^x = 1179,745... 095^x = 0
3,76 = (^1,04/_0,95)^x
3,76 = 1,0947^x
x = ^1,0947log(3,76) = 14,6 maanden

lengte L (in cm)	46,4	44,1	41,9	39,8	37,8
na wasbeurt nr.:	5	6	7	8	9

de factoren zijn ^44,1/_46,4 = 0,95 en ^41,9/_44,1 = 0,95 en ^39,8/_41,9 = 0,95 en ^37,8/_39,8 = 0,95
Dat is allemaal gelijk dus het verloop is exponentieel met groeifactor g = 0,95
Punt invullen: 46,4 = B · 0,95⁵ geeft B = 60
Dat geeft dus L = 60 · 0,95ⁿ

Het krimpt met 0,4 cm als de afgeleide gelijk is aan -0,4.
L ' = 60 · 0,95ⁿ · ln0,95 = -0,4
0,95ⁿ = 0,13
n =^log(0,13)/_log(0,95) = 40

Er moet gelden L(n) - L(n - 1) = -0,4
60 ·0,95ⁿ - 60 · 0,95ⁿ ^-¹ = -0,4
0,95ⁿ - 0,95ⁿ · 0,95^-1 = -0,006667
0,95ⁿ (1 - 0,95^-1) = -0,006667
0,95ⁿ = 0,12667
n = ^log(0,12667)/_log(0,95) = 40

5^2x = (5²)^x = 25^x

afgeleide van 5^2x is 5^x • ln5 • 2
afgeleide van 25^x = 25^x • ln25
Dat moet gelijk zijn, dus ln5 • 2 = ln25

g^ax   heeft als afgeleide g^ax• lng • a
g^ax= (g^a)^x   dus de afgeleide is gelijk aan (g^a)^x • lng^a = g^ax• lng^a
Dat moet gelijk zijn, dus lng • a = ln(g^a)

Bij het maximum is de afgeleide nul. Met de quotiëntregel:

Een breuk is nul als de teller nul is: 2t • 2^t - t² • 2^t • ln2 = 0
2^t • t • (2 - tln2) = 0
2^t = 0 ∨ t = 0 ∨ 2 - tln2 = 0
de derde is de gezochte: t = ²/_ln2 = 2,89
dan is K = 2,127 dus dat zijn 2127 kakkerlakken

500 = 1250 • 2^-0,02t² - 50
550 = 1250 • 2^-0,02t²
0,44 = 2^-0,02t²
-0,02t² = ^log(0,44)/_log(2) = -1,18
t² = 59,22
t = 7,7 minuten (of -7,7 maar dat stelt niets voor)

De snelheid van uitstromen is de afgeleide.
L '(t) = 1250 • 2^-0,02t² • ln2 • -0,04t
L'(5) = 1250 • 2^{-0,02 • 25} • ln2 • -0,04 • 5 = -122,5 liter per minuut

Dat is als L' maximaal is.
L' = -50ln2 • 2^-0,02t² • t
L'' = -50ln2 • (2^-0,02t² • -0,04t • ln2 • t + 2^-0,02t²• 1) = 0
delen door -50ln2 en dan 2^-0,02t²buiten haakjes zetten:
2^-0,02t²• (-0,04ln2 • t² + 1) = 0
-0,04ln2 • t² + 1 = 0
t² = ¹/_(0,04ln2) = 36,07
t = 6,0 minuten

10.

500 = 1250 • 2^-0,02t² -50
550 = 1250 • 2^-0,02t²
0,44 = 2^-0,02t²
-0,02t² = ^log(0,44)/_log(2) = -1,18
t² = 59,22
t = 7,7 minuten (of -7,7 maar dat stelt niets voor)

De snelheid van uitstromen is de afgeleide.
L '(t) = 1250 • 2^-0,02t² • ln2 • -0,04t
L'(5) = 1250 • 2^{-0,02 • 25} • ln2 • -0,04 • 5 = -122,5 liter per minuut

11.

a/.

aantal advertenties (A)	456	725	827	989	1297	1392	1697
gemiddelde prijs (P)	41,6	29,0	25,3	20,4	13,5	11,9	7,9

Als P van A afhangt, dan is P = y en A = x

van 41,6 naar 29,0 is factor ^29,0/_41,6 = 0,697 en dat is g^{(725 - 465)} = g²⁶⁰ dus g = 0,697^1/260 = 0,9986
van 29,0 naar 25,3 is factor ^25.3/_29,0 = 0,872 en dat is g^{(827 - 725)} = g¹⁰² dus g = 0,872^1/102 = 0,9987
van 25,3 naar 20,4is factor ^20,4/_25,3 = 0,806 en dat is g^{(989 - 827)} = g¹⁶² dus g = 0,806^1/162 = 0,9987
van 20,4 naar 13,5 is factor ^13,5/_20,4 = 0,662 en dat is g^{(1297 - 989)} = g³⁰⁸ dus g = 0,662^1/308 = 0,9987
van 13,5 naar 11,9 is factor ^11,9/_13,5 = 0,881 en dat is g^{(1392 - 1297)} = g⁹⁵ dus g = 0,881^1/95 = 0,9987
van 11,9 naar 7,9 is factor ^7,9/_11,9 = 0,664 en dat is g^{(1697 - 1392)} = g³⁰⁵ dus g = 0,664^1/305 = 0,9987

Dat is allemaal ongeveer gelijk dus het verband is exponentieel.

(700,30) en (1600,9)
van 30 naar 9 is factor ⁹/₃₀ = en dat is g^{(1600 - 700)} = g⁹⁰⁰ dus g = 0,3^1/900 = 0,9987
punt (700, 30) invullen: 30 = B • 0,9987⁷⁰⁰ ⇒ 30 = B • 0,402 ⇒ B = 74,6
De formule is dan P = 74,6 • 0,9987^A
A = 600 geeft dan P = 74,6 • 0,9987⁶⁰⁰ = 34,2 duizend euro

omzet = aantal advertenties * prijs per advertentie
O = A • 76 • 2^-0,00193A
O is maximaal als de afgeleide ervan nul is: (met de productregel)
O' = 1 • 76 • 2^-0,00193A + A • 76 • 2^-0,00193A • ln2 • -0,00193 = 0
2^-0,00193A • 76 • (1 - A•ln2•0,00193) = 0
A • ln2 • 0,00193 = 1
A = 748 advertenties.