Nieuwe pagina 1

Waarom is (Ax + B) • e^λ^x een oplossing?

We hadden te maken met het geval dat λ² + pλ + q = 0 één oplossing l gaf. Dat is zo als b² - 4ac = 0 en de oplossing die je krijgt is dan λ = ^-b/₂_a= ^-p/₂ De enige oplossing die we vonden is y = e^λx Probeer of er misschien een andere oplossing y = f(x)• e^λx is. Dan vinden we: (om een boel x-en te voorkomen schrijven we f(x) als f ). y' = f ' e^λx + f λe^λ^x y'' = f '' e^λx + f ' λ e^λx + f ' λ e^λx + f λ²e^λx Vul deze in in de differentiaalvergelijking: f '' e^λx + f ' λ e^λx + f ' λ e^λx + f λ²e^λx + p( f ' e^λx + f λe^λ^x ) + q f e^λ^x = e^λx • (f '' + 2f ' λ + f λ² + pf ' + f pλ + q f) = e^λx • ( f (λ² + pλ + q) + (f '' + 2f ' λ + p f ' )) Het eerste stuk tussen de haakjes is nul omdat λ voldoet aan de karakteristieke vergelijking. Omdat λ de enige oplossing van deze vergelijking was, gold λ = ^-p/₂ Maar dan is 2f ' λ + pf ' = f ' • (2λ + p) = 0. Dan blijft er over: e^λx • f '' en dat moet gelijk zijn aan nul om te voldoen aan de oorspronkelijke differentiaalvergelijking. We zoeken dus een functie f waarvoor geldt f '' = 0 Twee keer primitiveren: f ' = A en f = Ax + B Dus is y = (Ax + B) • e^λx óók een oplossing.