© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
De Centrale Limietstelling.
   
Vandaag heb ik zin om dingen bij elkaar op te gaan tellen.
Zomaar....

Ik ga een aantal willekeurige dingen bij elkaar optellen, en kijken wat dat oplevert.
Laten we beginnen met het gooien met een dobbelsteen en het aantal ogen te tellen. De kans op elk aantal is uiteraard 1/6 dus de kansverdeling ziet eruit als hieronder:
 
 

Tot zover nogal een saai begin.

 
Als tweede experiment gooien ik een muntstuk op en tel het aantal keer kop. Dat is uiteraard 0 of 1, met beiden kans 1/2.

Het wordt al ietsje leuker als we die twee dingen (aantal kop en aantal ogen) bij elkaar optellen. Dat geeft de kansverdeling hiernaast.

Nog maar een experiment erbij dan. Ik zet de TV aan en kijk naar de eerste twee gezichten die ik in beeld krijg. Ik tel het aantal mannen daarbij en tel dat op bij de ogen van de dobbelsteen en het aantal kop van de munt. Er vanuit gaande dat de kans op man of vrouw 50% is, krijg ik de kansverdeling hiernaast.

Dan schud ik een kaartspel en draai één voor één de kaarten om net zolang tot ik een kaart krijg die geen plaatje is (dus een 2 tm 10). De kans op elke is dus 1/9. Ook de waarde van die kaart tel ik bij mijn som op.
Dat geeft de volgende kansverdeling:

 
Ik zou zo nog een tijdje door kunnen gaan met willekeurige dingen bij mijn som op te tellen. De histogrammen die ik krijg vormen altijd zo'n soort filmpje als hiernaast:

Dit soort filmpjes eindigt vreemd genoeg op den duur altijd met eenzelfde soort klokvormachtige figuur.
 

 
"Ja, hoor eens", hoor ik je al denken, "Die formule is natuurlijk wel mooi gevonden, maar dat dat zo'n soort  symmetrische vorm wordt, met een top in het midden en aflopend naar de zijkanten, dat lijkt me nogal logisch! Met twee dobbelstenen gooi je bijvoorbeeld vaker 7 dan 12 omdat 7 gewoon op veel meer manieren kan voorkomen. Zo apart is die vorm eigenlijk helemaal niet..."

Toch is dat niet waar. Die vorm is wél apart....

Laten we een valse dobbelsteen nemen waarvan de kansverdeling helemaal niet symmetrisch is, maar helemaal scheef naar één kant:
 
 

Misschien verwacht je nu dat, omdat de kansverdeling van het aantal ogen van deze ene steen scheef naar rechts oploopt (kansen  1/6 - 2/6 - 3/6), dat de verdeling als je een groot aantal van deze worpen bij elkaar optelt ook wel scheef naar rechts zal zijn. Maar dat is niet zo!
Kijk maar naar de serie afbeeldingen hiernaast. Bij één keer gooien is het uiteraard wel scheef, maar bij vaker gooien wordt dat steeds minder en verschijnt toch weer de rood getekende klokvorm! Tuurlijk, aan de linkerkant zit een langere "staart" dan aan de rechterkant, maar de kansen daar zijn te verwaarlozen (ongeveer nul). Het gedeelte "waar het om gaat"  heeft weer die mooie symmetrische klokvorm.
Kijk maar in de figuur hieronder hoe voor deze scheve oorspronkelijke kansverdeling de somverdeling langzaam naar rechts wandelt en tijdens dat wandelen een steeds mooiere klokvorm gaat aannemen:

 
 

De laatste verdeling moet je nog maar even rustig bekijken. Hieronder zie je hoe de som van 20 zulke worpen met zo'n supervalse dobbelsteen eruit ziet:

   
Inderdaad toch weer een aardig mooie klokvorm, maar wel met aan de linkerkant een veel grotere staart (die er niet toe doet) dan aan de rechterkant.
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)