© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een rij zonder regelmaat.
       
Een rekenkundige serie bestaat uit drie of meer getallen die een constant verschil hebben. Bijvoorbeeld  25 - 29 - 33.

Ik vraag me af of er een rij opklimmende gehele getallen bestaat zonder een rekenkundige serie erin. De rij van de priemgetallen (2,3,5,7,11,13,....) valt bijvoorbeeld af, want daar zien ik direct de serie  3-7-11 in.

Natuurlijk kan ik zon rij gaan maken door te beginnen met 0, 1, ... en dan elke keer te proberen het kleinst mogelijke getal toe te voegen. De rij zonder rekenkundige series wordt op deze manier:   0, 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, 27, 28,......

Is er een snellere manier te vinden om deze rij te maken?
       

Zit er regelmaat in deze rij zonder regelmaat?
       
Jazeker!!
Er blijkt een verrassende constructieregel voor deze rij te zijn:
 

Schrijf de getallen 0, 1, 2, 3, ... binair op een rij,
en doe daarna alsof ze geschreven zijn in het drietallig stelsel.

       
Dat geeft precies deze rij!!!!  Kijk maar:

0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000  wordt dan  0, 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, 27
       
Waarom werkt dit?
       
Laten A en B twee willekeurige getallen zijn met B > A. Eis verder dat A en B in het drietallig stelsel alleen uit enen en nullen bestaan. We gaan vervolgens het getal C berekenen dat een rekenkundige serie A - B - C geeft. Daartoe berekenen we het verschil van A en B en tellen dat bij B op:  C = B + (B - A) Þ  C = 2B  - A. Daarbij bestaat 2B uit tweeën en nullen en A uit enen en nullen. Als we nu 2B en A onder elkaar schrijven zijn er 4 mogelijkheden voor welke cijfers onder elkaar kunnen staan:
       
2B 2 0 2 0
A 0 1 1 0
       
Het blijkt nu, dat in 2B - A altijd wel wat tweeën staan!

Bewijs uit het ongerijmde:
   

Stel dat er géén twee staat in 2B - A:
Als onder een 0 een 1 staat, geeft dat na aftrekken een -1. Kies de meest rechtse -1. Als we het verschilgetal correct drietallig gaan schrijven zal deze -1 een 2 worden, want 3 lenen van links geeft  -1 + 3 = 2. Dus er is geen meest rechtse -1, dus er is helemaal geen -1. Dus mag nergens onder een 0 een 1 staan. ("Lenen mag niet")

Als onder een 2 een 0 staat  geeft dat een 2 (immers lenen mag niet, dus de 2 blijft een 2). Dat mag dus ook al niet.

Dus onder de tweeën moeten enen staan en onder de nullen weer nullen. Maar dan is 2B precies het dubbele van A, en dus B hetzelfde als A. Dat is in tegenspraak met de eis  B > A.
       
q.e.d.

Conclusie: in een rekenkundige serie staan altijd tweeën. Dus als we drietallige getallen met alleen enen kiezen is er gegarandeerd nooit een serie!
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)