HAVO WA12, 2003 - I

 

Duikeend.
Op het IJsselmeer overwinteren grote groepen duikeenden. Ze leven van mosselen die daar veel op de bodem voorkomen. Duikeenden slikken hun mosselen met schelp en al in. Bij elke duik slikt de eend behalve een mossel dus ook onverteerbaar schelpmateriaal en water in, allen bij elkaar ongeveer 6 gram. Zo'n hap bevat maar 5% mosselvlees. De dagelijkse behoefte van een duikeend is ongeveer 12 gram mosselvlees.
3p

1.

 Hoe vaak moet een eend duiken om zijn dagelijkse portie mosselvlees binnen te krijgen? Licht je antwoord toe.
Het gedrag van duikeenden is volledig gericht op het verzamelen van voedsel. Alle voedingsstoffen en energie die ze nodig hebben halen ze uit mosselen. De energiehuishouding van een duikeend is ingewikkeld. Aan de ene kant moeten de mosselen de benodigde energie opleveren,  aan de andere kant kost het opduiken en verteren van de mosselen energie.
Ook als een eend op een dag niet naar mosselen zou duiken gebruikt hij een vaste hoeveelheid energie voor zijn basisstofwisseling en het vliegen, samen ongeveer 850 kJ. In onderstaande figuur is te zien dat de totale hoeveelheid energie die een duikeend gebruikt afhankelijk is van het aantal uren dat hij naar mosselen duikt.

Als een eend op een dag bijvoorbeeld 5 uur lang naar mosselen duikt gebruikt hij die dag in totaal bijna 2000 kJ. Dat is de vaste hoeveelheid van 850 kJ, met daarbij opgeteld een hoeveelheid die afhankelijk is van het aantal uren dat de eend naar mosselen duikt: voor het duiken zélf en voor het verteren van de opgedoken koude mosselen daarna.
4p

2.

 Hoeveel energie gebruikt een duikeend per uur duiken voor alleen het verteren van de mosselen? Licht je antwoord toe.
Dicht aan de kust zitten de mosselen van hoge kwaliteit, met veel vlees. Halverwege de winter hebben de duikeenden al die mosselen opgegeten. Ze moeten dan verder het IJsselmeer op, waar het water dieper is en waar de mosselen vlezig zijn. Per duik krijgen ze dan minder mosselvlees binnen.
De vorige figuur ging over de energie die een duikeend gebruikt. De volgende figuur gaat over de energie die een duikeend opneemt uit de mosselen.

De getrokken lijn in deze figuur is overgenomen uit de vorige figuur en geeft het totale energiegebruik aan. De stippellijn geeft de energieopname uit mosselen van hoge kwaliteit aan. Om aan zijn dagelijkse energiebehoefte te voldoen moet een eend naar mosselen duiken. Door dat duiken neemt zijn energiebehoefte toe. Na een aantal uur duiken (bij het snijpunt van de lijnen) is er evenwicht: er wordt evenveel energie opgenomen als er wordt gebruikt. De eend moet dus ongeveer 3 uur duiken om aan zijn energiebehoefte te voldoen.

In het tweede deel van de winter verandert dat. De mosselen van lage kwaliteit die de eenden dan opduiken leveren minder energie. Eén uur duiken levert dan geen 500 kJ op, zoals bij mosselen van hoge kwaliteit, maar slechts 350 kJ.
5p

3.

 Onderzoek met behulp van de figuur hoeveel uur de eenden moeten duiken naar mosselen van lage kwaliteit om volledig in hun energiebehoefte te voldoen.

 

Met behulp van radar is gemeten hoe ver de eenden vliegen naar hun voedselplaatsen. Voor de maanden november tot en met januari staan die vliegafstanden in onderstaande figuur. Elke staaf geeft voor een bepaalde afstand het percentage eenden aan dat die afstand heeft afgelegd om bij de voedselplaats te komen. Voor de maanden februari tot en met april staan de gegevens in de tabel rechts.
februari tot en met april
afstand vlucht
(km)		 percentage
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13		 5
14
13
16
9
12
8
6
5
3
4
3
2
6p

4.

 Bereken het verschil tussen de gemiddelde afstand van de vluchten van november tot en met januari en de gemiddelde afstand van de vluchten van februari tot en met april.

 

 

Vaders en zonen.
De Engelsman Karl Pearson was een van de grondleggers van de moderne statistiek. Hij heeft zich vaak bezig gehouden met statistiek over biologische onderwerpen. Ongeveer een eeuw geleden onderzocht hij, samen met zijn collega Alice Lee, of in Engeland zonen gemiddeld langer zijn dan hun vaders. Zij vergeleken de lengtes van 1064 zonen en hun vaders. De zonen studeerden allen aan een Londense universiteit.
2p

5.

 Is hier sprake van een aselecte steekproef? Licht je antwoord toe.

 
In onderstaande figuur zie je een overzicht van de resultaten. Elke stip stelt één vader-zoon paar voor. De lengte van de vader staat op de horizontale as, de lengte van de zoon op de verticale as. De lengtes zijn gegeven in inches (1 inch = 2,54 cm).

In de figuur is een lijn getekend. Als een stip op deze lijn ligt, dan zijn de vader en de zoon precies even lang. We noemen een vader en zijn zoon ongeveer even lang als ze minder dan 2 inch in lengte verschillen.
4p

6.

 Teken in de figuur het gebied waarin de punten liggen die horen bij vaders en zonen die ongeveer even lang zijn. Licht je werkwijze toe.

 
3p

7.

 Kun je met behulp van het in vraag 6 getekende gebied concluderen dat de zonen gemiddeld langer zijn dan hun vaders? Licht je antwoord toe.
In de figuur hieronder zie je een boxplot van de lengtes van de 1064 vaders. De vijf kenmerkende getallen van de boxplot staan erbij.

In de bijlage vind je ook een lijst met de lengtes van alle 1064 zonen. De getallen in deze lijst staan op volgorde van grootte. Na iedere 10 getallen staat een streepje. Na iedere 50 getallen staat bij het streepje hoeveel getallen er tot dan toe staan.
5p

8.

 Teken de boxplot van de lengtes van de zonen bij de boxplot van de vaders in. Schrijf de vijf kenmerkende getallen van de boxplot erbij.

 
Het onderzoek dat bovenstaande getallen opleverde is ongeveer honderd jaar geleden gedaan. In die tijd hadden jonge mannen een gemiddelde lengte van 68,6 inch. Dat is niet zo groot want 68,6 inch is maar 174 cm (1 inch = 2,54 cm).
Tegenwoordig is de helft van de jonge mannen langer dan 182 cm.
Honderd jaar geleden was veel minder dan de helft van de jonge mannen zo lang. De lengte was toen normaal verdeeld met een gemiddelde van 68,6 inch en een standaardafwijking van 2,7 inch.
5p

9.

 Bereken hoeveel procent van de jonge mannen in die tijd langer was dan 182 cm.

 

 

Teddyberen.
Een speelgoedfabriek maakt onder andere teddyberen. Die teddyberen worden voor 6 euro per stuk verkocht aan de groothandel. In deze opgave bekijken we de productie en de winst van één dag.
Om de winst W te berekenen moeten de totale kosten voor het produceren van de teddyberen, TK, van de totale opbrengst, TO, worden afgetrokken:  W = TO - TK.

De totale kosten die gemaakt worden om de teddyberen te produceren hangen af van het aantal teddyberen dat geproduceerd wordt. De totale opbrengst hangt ook alleen af van het aantal geproduceerde teddyberen, want de prijs is steeds 6 euro.
Voor TO en TK gelden de volgende formules:

TK = 0,1q3 - q2 + 6q + 6
TO = 6q

Hierbij zijn TK de totale kosten en TO de totale opbrengst, beide in duizenden euro, en is q het aantal geproduceerde teddyberen in duizendtallen.

3p

10.

 Bereken de winst in euro bij een productie van 5000 teddyberen.
In de volgende figuur zijn de grafieken getekend van de totale kosten TK en de totale opbrengst TO.

De grafieken zijn getekend voor q = 0 tot q = 10, dus voor een productie tot 10000 teddyberen. In de figuur kun je zien dat er geen winst gemaakt wordt bij een te grote of een te kleine productie.
4p

11.

 Bereken bij welke aantallen geproduceerde teddyberen de speelgoedfabriek geen winst of verlies maakt. Geef je antwoord in een geheel aantal teddyberen.

 
De fabriek wil zoveel mogelijk winst maken. In bovenstaande figuur kun je nagaan door tekenen en aflezen bij welke productie de winst maximaal is.
3p

12.

 Gebruik de figuur om te schatten bij welke productie de winst maximaal is. Licht je werkwijze toe aan de hand van wat je in deze figuur hebt getekend.

 
Je kunt ook berekenen bij welke productie de winst maximaal is door de formule voor de winst W te differentiëren.
6p

13.

 Stel de afgeleide van W op en bereken daarmee de productie waarbij de winst maximaal is. Geef je antwoord in een geheel aantal teddyberen.

 

Vlippo's
Om de verkoop van zijn knabbelchips te bevorderen is een chipsfabrikant een reclameactie gestart waarbij in elke zak één vlippo wordt gestopt. Dat is een plastic schijfje waar een leuk plaatje op staat. Er worden twee verschillende vlippo's voor deze actie gebruikt. Sommige mensen proberen al deze vlippo's te verzamelen. De kans dat je een bepaalde vlippo in een zak knabbelchips aantreft is voor alle verschillende vlippo's even groot.

We gaan eerst uit van de situatie waarin de fabrikant maar twee verschillende vlippo's gebruikt. Een vlippoverzamelaar heeft 4 zakken knabbelchips gekocht.
4p

14.

 Bereken de kans dat de vlippo's in deze vier zakken allemaal hetzelfde zijn.

 
4p

15.

 Bereken de kans dat de vlippoverzamelaar pas bij het openen van de derde zak de twee verschillende vlippo's te pakken heeft.

 
We bekijken nu de situatie waarin de chipsfabrikant vijf verschillende vlippo's gebruikt. Een vlippoverzamelaar beweert dat hij dan maar vijf zakken knabbelchips hoeft te kopen om de vijf verschillende vlippo's daarin aan te treffen. Zijn vriend is het daar niet mee eens. De eerste zak levert natuurlijk altijd een vlippo op die je nog niet hebt, maar de kans dat er in de tweede zak ook een vlippo zit die je nog niet hebt is maar 4/5. Een daarna wordt de kans steeds kleiner.
4p

16.

 Bereken met behulp van bovenstaande redenering de kans dat je in vijf zakken de vijf verschillende vlippo's aantreft.

 
We bekijken nog een voorbeeld.
Als er in totaal 8 verschillende vlippo's zijn, dan zou het natuurlijk leuk zijn als je die alle 8 hebt na het kopen van precies 8 zakken knabbelchips. De kans dat zoiets gebeurt is klein.
Wiskundigen hebben uitgerekend dat de kans daarop is: 8!/88 ≈ 0,002
Er is ook een formule voor het algemene geval.
Er zijn dan n verschillende vlippo's.
De kans P dat je die alle n hebt na het kopen van precies n zakken knabbelchips wordt gegeven door de formule:


Hoe groter het aantal verschillende vlippo's n wordt, hoe kleiner de kans P.
De chipsfabrikant wil wel zo veel mogelijk verschillende vlippo's maar hij zorgt er voor dat de kans P groter is dan 0,00001.
4p

17.

 Hoeveel verschillende vlippo's kan de chipsfabrikant dan maximaal gebruiken? Licht je antwoord toe.
Bonus-malusladder
Iedereen die in Nederland een auto heeft is verplicht die te verzekeren. Verzekeringsmaatschappijen letten bij het vaststellen van de hoogte van de verzekeringspremie onder andere op de nieuwprijs van de auto. Hiermee stellen ze de basispremie voor de verzekering vast.
De basispremie is hoog, maar kan snel dalen wanneer de verzekeringsmaatschappij voor jou geen schades hoeft te betalen. Je krijgt dan het volgende jaar als beloning een korting op je premie, een bonus. Wanneer je de verzekeringsmaatschappij wel schade laat betalen wordt je premie het volgende jaar verhoogd met een boete, een malus.

In onderstaande figuur zie je hoe een verzekeringsmaatschappij dit systeem gebruikt om de premies vast te stellen. We noemen zo'n figuur een bonus-malusladder. In de figuur staan 4 grafieken. De onderste grafiek hoort bij een autobezitter voor wie de verzekeringsmaatschappij nooit een schade heeft betaald. Iedereen begint op deze grafiek. Elke keer dat je een schade door de verzekeringsmaatschappij laat betalen, maakt je premie in het volgende jaar een sprong naar de grafiek erboven. Je ziet hier dat iemand die twee schades heeft laten betalen in zijn 14e verzekeringsjaar 65% van de basispremie betaalt.

Karin heeft altijd zonder schade gereden maar veroorzaakt in het zevende verzekeringsjaar een aanrijding waarvoor zij haar verzekeringsmaatschappij de schade laat betalen. Daarom volgt zij vanaf haar achtste verzekeringsjaar grafiek 1. Haar basispremie is 710 euro.
3p

18.

 Hoeveel premie moet Karin in haar achtste verzekeringsjaar méér betalen dan in haar zevende? Licht je antwoord toe.
Albert is al zes jaar verzekerd bij de maatschappij van bovenstaande figuur. Zijn basispremie is 800 euro. De verzekeringsmaatschappij heeft in het vierde jaar voor Albert een schade betaald.
3p

19.

 Bereken de gemiddelde jaarlijkse verzekeringspremie die Albert in deze periode van zes jaar heeft betaald.

 
Sinds zij haar auto heeft verzekerd heeft Mirjam nog nooit een schade gehad. In het 13e verzekeringsjaar veroorzaakt zij een schade van 320 euro. Haar basispremie is 700 euro. Zij moet kiezen uit twee mogelijkheden:
I. ze betaalt de schade zelf en houdt nul schades bij de verzekering.
II. ze laat de verzekeringsmaatschappij de schade betalen en accepteert de hogere premie.
Ze gaat ervan uit dat zij de eerstvolgende vijf jaar geen schade zal hebben. Ze wil zo weinig mogelijk geld uitgeven.
5p

20.

 Adviseer je haar I of II? Licht je antwoord toe.

 
Je wilt een verzekering voor je auto afsluiten. Je vraagt bij verschillende maatschappijen een overzicht van hun premies bij het rijden zonder schade. Eén van de maatschappijen berekent voor jou een basispremie van 600 euro en geeft je een tabel met zogeheten cumulatieve premies. Zie onderstaande tabel. In de tabel lees je bijvoorbeeld af dat je voor een verzekeringsperiode van 2 jaar in totaal 1050 euro premie moet betalen. Voor 3 jaar kost het je in totaal 1410 euro, enzovoort.

cumulatieve premie in euro bij het rijden zonder schade
verzekeringsjaar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
cumulatieve premie 600 1050 1410 1710 1950 2130 2250 2370 2490 2610
Om deze verzekering met andere te kunnen vergelijken is het handig om met behulp van de gegevens van deze tabel een grafiek te maken zoals de onderste grafiek (0) in de figuur boven opgave 18.
4p

21.

 Teken zo'n grafiek in de figuur boven opgave 18. Licht je werkwijze toe.

 
OPLOSSING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. per hap  0,05 • 6 = 0,3 gram mosselvlees
dus 120/0,3 = 400 duiken nodig.
2. Bij bijv. 8 uur duiken wordt ongeveer 2700 - 1700 = 1000 kJ verbruikt
per uur is dat 1000/8 = 125 kJ.
3. De rode lijn geeft 350 kJ per uur aan (in 8 uur 2800 kJ).

We lezen af dat een eend iets meer dan 6 uur moet duiken.

4. februari tot en met april:
(1 • 5 + 2 • 14 + 3 • 13 + ... + 13 • 2)/100 = 5,38 km.

november tot en met januari:
daar hoort deze tabel bij:

afstand 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
percentage 16 29 19 13 8 6 4 2 1 0 1 1 0

gemiddeld:   (1 • 16 + 2 • 29 + 3 • 19 + ... + 13 • 0)/100 = 3,35 km

het verschuil is  5,38 - 3,35 = 2,03 km.
5. Nee.
• Het zijn alleen zoons uit de buurt van Londen.
• Het zijn alleen kinderen die studeren aan een universiteit.
6. Het gebied tussen beide rode lijnen hiernaast.
(die zijn op verticale afstand 2 vanaf de getekende zwarte lijn getrokken)
7. Ja; er lijken veel meer stippen boven het rode gebied dan eronder te liggen.
8. De mediaan (middelste) van 1064 is nummer 532-533. In de tabel lees je af dat dat 68,6 en 68,6 zijn, dus de mediaan is 68,6.
Het eerste kwartiel is het midden van de eerste 532 en dat ligt tussen nummer 266 en 267. In de tabel zie je dat dat 66,9 en 66,9 zijn, dus het eerste kwartiel is 66,9
Het tweede kwartiel is het midden van nummers 533 tm 1024 en dat ligt tussen nummers 798 en 799. In de tabel zie je dat dat 70,7 en 70,5 zijn dus het tweede kwartiel is 70,5.
De laagste waarde is 59,7 en de hoogste 78,6.
De vijf getallen van de boxplot zijn dus  59,7 - 66,9 - 68,6 - 70,5 - 78,6 en dat geeft de volgende boxplot:
9. 182 cm = 182/2,54 = 71,65 inch
normalcdf(71.65 , 10000... , 68.6 ,  2.7) = 0,129 dus dat is ongeveer 12,9% 
10. TK(5) = 23,5  en TO(5) = 30 dus W(5) = 6,5 ofwel 6500 euro.
11. W = 0  als  TO = TK dus  0,1q3 - q2 + 6q + 6 = 6q
Y1 =  0,1q3 - q2 + 6q + 6  en Y2 = 6q
window bijv.  Xmin = 0,  Xmax = 10,  Ymin = 0,   Ymax = 70
intersect geeft twee oplossingen:  X = 2,909 of X = 9,307
dus bij 2909 of 9307 beren is er geen winst of verlies.
12. De winst is maximaal als de grafieken van TO en TK dezelfde helling hebben. Schuif de lijn van TO omlaag totdat hij de grafiek van TK raakt.

Dat is bij ongeveer q = 6,7 dus een productie van 6700 beren.
13. W = 6q - (0,1q3 - q2 + 6q + 6) = -0,1q3 + q2 - 6
W'= -0,3q2 + 2q
W'= 0 ⇒    -0,3q2 + 2q = 0  ⇒  q(-0,3q + 2) = 0  ⇒  q = 0  of  q = 2/0,3 = 62/3.
Bij 6667 beren zal de winst maximaal zijn.
14. (0,5)4 = 0,0625
15. Pas bij de derde zak beide betekent dat de tweede zak verschilt van de eerste. De kans daarop is 1/2.
16. 1 • 4/5 • 3/5 • 2/5 • 1/5 = 0,0384
17. Y1 = X!/(X^X) kijk in TABLE wanner dit kleiner is dan 0,00001 (= 1 E-5)
Dat is voor het eerst zo bij n = 14.
De fabrikant kan dus maximaal 13 verschillende vlippo's gebruiken.
18. zevende jaar: 50% van 710 is 355 euro
achtste jaar: 75% van 710 is 532,50
dat scheelt  532,50 - 355 = 177,50 euro.
19. Hij betaalt achtereenvolgens (%):
100 - 85 - 75 - 65 - 125 - 100 en dat is gemiddeld 912/3%
912/3% van 800 is 733,33 euro.
20. "zo weinig mogelijk geld uitgeven" zal wel voor de komende 5 jaar gelden? (staat niet in de opgave)
Wat betaalt zij de komende 5 jaar:
plan I:  vijf keer 25% van 700 euro plus 320 schade is samen 1195 euro

plan II:  45 + 40 + 35 + 32,5 + 30 procent van 700 euro is 1277,50

plan I is goedkoper.

21.
jaar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
premie 600 450 360 300 240 180 120 120 120 120
procenten 100 75 60 50 40 30 20 20 20 20

Dat geeft de zwarte grafiek hieronder.