HAVO WA12  2005 - I

 

Er zijn nog drie wachtenden voor u...
Een callcenter verleent telefonische diensten voor bedrijven zoals het opnemen van bestellingen of het afhandelen van vragen. het aantal telefoontjes en de gespreksduur per telefoontje vari๋ren in een callcenter. Als je zo'n callcenter belt kun je soms direct geholpen worden. Het is ook mogelijk dat je te horen krijgt: "Er zijn nog drie wachtenden voor u". Er is dan een rij van wachtenden ontstaan.

Je belt naar een callcenter. De kans K dat je moet wachten hangt af van het aantal telefonisten T en van het product a • g. In dit product is:
a het gemiddeld aantal telefoontjes per minuut
g de gemiddelde gespreksduur in minuten.
De kans K dat je moet wachten vind je in de tabel hieronder.

Je ziet dat de tabel maar voor de 'helft' is ingevuld. We bekijken in deze opgave namelijk alleen de situatie dat er meer telefonisten beschikbaar zijn dan er gemiddeld in gesprek zijn, want anders ontstaat er altijd een rij wachtenden.
Daarom moet gelden T > a • g.

In callcenter DirectCall zijn 's ochtends 11 telefonisten aanwezig. Er komen per minuut gemiddeld 2 telefoontjes binnen. De gespreksduur van die telefoontjes is gemiddeld 4 minuten.
3p

1.

 Laat zien dat de kans dat een beller 's ochtends moet wachten ongeveer 0,25 is.
Voor een beller is de wachttijd belangrijker dan de kans op wachten. Een wiskundige heeft een formule gemaakt voor de gemiddelde wachttijd in minuten:
3p

2.

 Bereken hoe lang een beller 's ochtends gemiddeld moet wachten.
Geef het antwoord in hele seconden
's Middags zijn er bij DirectCall 14 telefonisten aanwezig. Er komen per minuut gemiddeld 8 telefoontjes binnen, die gemiddeld 1,5 minuut duren.
Een van de telefonisten doet de volgende uitspraak:
"Als het aantal binnenkomende telefoontjes halveert en het aantal telefonisten ook, dan verandert de gemiddelde wachttijd niet".
5p

3.

 Onderzoek met behulp van de formule voor de gemiddelde wachttijd of deze uitspraak juist is.

 
Bij DirectCall komen 's avonds per minuut gemiddeld 4 telefoontjes binnen, die elk gemiddeld 3 minuten duren. DirectCall krijgt veel klachten over de wachttijd 's avonds. Daarom wil de directie dat er zoveel telefonisten zijn dat de gemiddelde wachttijd kleiner is dan 15 seconden.
Je kunt dit aantal telefonisten bepalen door te onderzoeken wanneer  (K • 3) /(T - 12)  < 0,25 is.
3p

4.

 Leg dit uit.
5p

5.

 Hoeveel telefonisten zijn er 's avonds minimaal nodig? Licht je antwoord toe.

 

 

Geld uit de muur.
In Nederland staan ongeveer zevenduizend geldautomaten. Bij deze automaten kun je contant geld opnemen van je betaalrekening. De geldautomaten verstrekken uitsluitend biljetten van  10, 20 en 50 euro. De automaat laat je kiezen uit een aantal vaste bedragen of voor de optie 'ander bedrag', waarbij je inderdaad een ander bedrag kunt kiezen.

Wanneer je 60 euro wilt opnemen, kan de geldautomaat dat op verschillende manieren uitkeren. Zo kun je bijvoorbeeld 1 biljet van 50 euro en 1 van 10 euro krijgen.
Dat is ้้n manier.
Maar ook is mogelijk: 3 biljetten van 20 euro of 6 biljetten van 10 euro.
4p

6.

 Op hoeveel verschillende manieren kan de geldautomaat een bedrag van 70 euro uitkeren? Licht je antwoord toe.
In een bepaalde geldautomaat in Gouda zijn van elke soort voldoende biljetten aanwezig. In dat geval geeft de automaat de biljetten volgens de volgende regels:
• Bedragen onder 50 euro:
้้n of twee biljetten van €10
eventueel aangevuld met een biljet van €20.
(bijvoorbeeld: 40 euro:  2 ื €10 en 1 ื €20)
• Bedragen boven 50 euro die geen veelvoud van 50 euro zijn:
zoveel mogelijk biljetten van €50
้้n of twee biljetten van €10.
eventueel aangevuld met een biljet van €20
(bijvoorbeeld:  170 euro:  3 ื €50 en 2 ื €10)
• Bedragen van 50 euro en veelvouden hiervan:
altijd ้้n biljet van €10 en twee biljetten van €20
eventueel aangevuld met biljetten van €50
(bijvoorbeeld:  350 euro:  1 ื €10,  2 ื €20 en  6 ื €50)
In de tabel hiernaast staan de bedragen die op zekere dag bij deze geldautomaat in Gouda zijn opgenomen.
bedrag
in euro		 aantal
keer
10 13
20 47
30 2
50 89
60 1
70 48
100 14
120 1
150 12
200 2
250 5
450 1
750 1
5p

7.

 Bereken hoeveel biljetten van €20 de geldautomaat op deze dag heeft uitgekeerd.
Het aantal biljetten van 10 euro dat per dag uit deze automaat gehaald wordt, is bij benadering normaal verdeeld  met een gemiddelde van 326 en een standaardafwijking van 41.
De geldautomaat wordt dagelijks (ook op zon- en feestdagen) aangevuld tot 400 biljetten van 10 euro.
Het kan natuurlijk gebeuren dat alle biljetten van 10 euro op zijn voordat de automaat weer wordt aangevuld.
3p

8.

 Bereken op hoeveel dagen van een jaar dat naar verwachting zal gebeuren.

 
Ook het aantal biljetten van 50 euro dat per dag uit deze automaat gehaald wordt is bij benadering normaal verdeeld. Het gemiddelde aantal dagelijks uitgekeerde biljetten is 140 en de automaat wordt dagelijks aangevuld tot 175 biljetten van €50. Op 1,5% van de dagen is dat niet voldoende.
4p

9.

 Bereken de standaardafwijking van het dagelijks aantal uitgekeerde biljetten van 50 euro. Rond af op ้้n decimaal.

 
Het aantal geldopnames en de grootte van de opgenomen bedragen vari๋ren van geldautomaat tot geldautomaat. Het maakt natuurlijk uit waar de geldautomaat staat. Zo zal een geldautomaat in een stadscentrum dagelijks meer geldopnames hebben dan een geldautomaat in een dorp met weinig inwoners.
Hieronder staan twee boxplots die betrekking hebben op de opgenomen bedragen op een zekere dag bij twee geldautomaten in twee verschillende steden.

Hieronder staan drie uitspraken over deze boxplots.
a. Bij geldautomaat II is er die dag in totaal meer geld opgenomen dan bij geldautomaat I.
b. Het kleinste en het grootste bedrag dat die dag bij beide geldautomaten zijn opgenomen zijn hetzelfde.
c. Bij geldautomaat I worden relatief meer kleine bedragen opgenomen dan bij geldautomaat II.
5p

10.

 Geef van elke uitspraak aan of deze is af te leiden uit de figuur. Licht je antwoorden toe.

 

 

DVD-spelers bestellen.
Een winkelier verkoopt per jaar 1200 dvd-spelers, gelijkmatig over het jaar verspreid. E้n groothandel levert die dvd-spelers aan de winkelier. Elke keer als de groothandel een bestelling dvd-spelers aflevert, is de voorraad precies op. Voor iedere bestelling rekent de groothandel 400 euro bestelkosten, onafhankelijk van het bestelde aantal dvd-spelers.
Het in voorraad houden van een dvd-speler kost de winkelier 16 euro per jaar.

Er is niet genoeg magazijnruimte om alle 1200 dvd-spelers in ้้n keer te bestellen. Dat is ook duur, want het zou betekenen dat er in dat jaar een gemiddelde voorraad zou zijn van 1/2 • 1200 dvd-spelers.
Dat zou 1 ื 400 + 1/2 ื 1200 ื 16 = 10000 euro kosten voor het bestellen en in voorraad houden.
Het lijkt goedkoper als de winkelier vaker per jaar een klein aantal dvd-spelers bestelt.

De winkelier overweegt om 100 dvd-spelers per maand te bestellen.
3p

11.

 Bereken op de hierboven beschreven manier de totale kosten per jaar voor het bestellen en in voorraad houden.
Het aantal dvd-spelers dat de winkelier per keer bestelt noemen we x. De winkelier bestelt elke keer evenveel dvd-spelers. De totale kosten in euro per jaar voor het bestellen en in voorraad houden van de dvd-spelers noemen we K.
Met de volgende formule kan de winkelier K berekenen:
5p

12.

 Leid deze formule af uit de gegevens over bestelkosten en voorraadkosten van de 1200 dvd-spelers.

 

In deze figuur staat de grafiek van K. Hierin lees je bijvoorbeeld af dat bij x = 1200 de waarde K = 10000 euro hoort: als de 1200 dvd-spelers in ้้n keer worden besteld zijn de kosten voor bestellen en in voorraad houden 10000 euro.

De formule voor K is ook te schijven als  K = 480000 • x-1 + 8x
5p

13.

 Stel de afgeleide van K op en toon met behulp van die afgeleide aan dat de kosten K minimaal zijn bij een bestelling van 245 dvd-spelers per keer.

 
Een bestelling van 245 dvd-spelers per keer is wel mogelijk, maar is onhandig voor de groothandel. De groothandel wil liever op vaste tijden leveren, bijvoorbeeld eens per maand of eens per twee maanden. Als de winkelier per een geheel aantal maanden bestelt krijgt hij van de groothandel 10% korting op de bestelkosten.
5p

14.

 Welke manier is voor de winkelier het voordeligst? Licht je antwoord toe met een berekening.

 

 

De Notenclub
Op de Vlaamse en de Nederlandse televisie is heel vaak het programma de Notenclub uitgezonden, een spel met muziek. In dat programma moeten twee teams de titel van een song raden aan de hand van ้้n zin uit de tekst. De zin bestaat uit zes woorden. Die woorden zijn in het begin niet te zien, maar worden tijdens het spel ้้n voor ้้n zichtbaar. Tussendoor wordt door de teams gezongen.

Twee van de zes woorden staan op een rood vak. Vier woorden staan op een blauw vak. Bij de start van een ronde staan er zes vakken met de getallen 1 tot en met 6. Het woord en de kleur van het vak kun je niet zien.

De twee rode en de vier blauwe vakken kunnen in elk spel een andere volgorde hebben.
3p

15.

 Hoeveel verschillende volgorden zijn er mogelijk met twee rode en vier blauwe vakken? Licht je antwoord toe.

 
Een team kiest ้้n van de getallen 1, 2, 3, 4, 5 of 6. Er verschijnt een woord in het gekozen vak en dit vak kleurt rood of blauw.
Het vak is rood:  de beurt gaat naar het andere team.
Het vak is blauw: het team zingt een lied waarin het gevonden woord voorkomt. Het team houdt de beurt en kiest nog een getal uit de overgebleven mogelijkheden.

Zodra een team de zin herkent en de songtitel raadt, is de ronde afgelopen. In deze opgave gaan we ervan uit dat een team altijd de titel van een song raadt wanneer er vier blauwe vakken zijn gekozen en niet eerder of later. We nemen verder aan dat het kiezen van de getallen 1 tot en met 6  aselect gebeurt.

Een team begint. Het is mogelijk dat dit team wint omdat de teamleden achter elkaar de vier blauwe vakken kiezen.
3p

16.

 Bereken de kans op deze gebeurtenis.
Team A en team B spelen tegen elkaar.
Team A begint.
Team A kiest vak 4. Hierin verschijnt het woord "love" in een blauw vak. Ze zingen een lied en kiezen daarna vak 2. Daar verschijnt het woord "my" in een rood vak. Zie de volgende figuur:

Omdat vak 2 rood is gaat de beurt nu naar team B.
Er is ้้n rood en ้้n blauw vak gekozen. Dus zijn er nog drie blauwe vakken en ้้n rood vak over. Als team B nu het rode vak zou kiezen wint team A. Ook als team B niet meteen het rode vak kiest, kan team A de ronde nog winnen. Als team B bijvoorbeeld eerst een blauw vak kiest en daarna een rood vak, wint team A ook.
Zo zijn er verschillende mogelijkheden met team A als winnaar van de ronde.
5p

17.

 Bereken de kans dat team A deze ronde wint.

 

 

De Wet van Moore
Het Amerikaanse bedrijf Intel is een zeer grote producent van computerchips.
Gordon Moore was in 1968 een van de oprichters van het bedrijf.
Deze opgave gaat over het aantal transistoren in een computerchip (een transistor is een electronische schakeling). In 1865 deed Moore daar een voorspelling over:
"Het aantal transistoren in een computerchip zal tussen 1965 en 1975 exponentieel groeien"
Moore heeft meer dan gelijk gekregen: de voorspelling is zelfs tot het jaar 2000 uitgekomen! Zijn voorspelling is men de Wet van Moore gaan noemen.

In de volgende tabel zie je hoeveel transistoren er in de chips van Intel zitten. Ook zie je in welk jaar die chips op de markt zijn gebracht.
introductiejaar naam chip aantal transistoren
1971 4004 2 250
1972 8008 2 500
1974 8080 5 000
1978 8086 29 000
1982 286 120 000
1985 386 275 000
1989 486 DX 1 180 000
1993 Pentium I 3 100 000
1997 Pentium II 7 500 000
1999 Pentium III 24 000 000
2000 Pentium 4 42 000 000
In de tabel zie je dat het aantal transistoren tussen 1971 en 1972 met 250 toeneemt. Stel dat het aantal transistoren in de jaren daarna lineair  toe zou nemen met 250 per jaar.
3p

18.

 In welk jaar zou dan het aantal van 5000 transistoren per chip zijn bereikt? Licht je antwoord toe.

 
In werkelijkheid was de toename dus exponentieel. Zo is in de periode van 1971 tot 2000 het aantal transistoren per chip toegenomen van 2250 tot 42 miljoen.
3p

19.

 Bereken hiermee de groeifactor per jaar in vier decimalen nauwkeurig.

 
De Wet van Moore in formulevorm is:
A = 2250 • 1,404t
Hierin is A het aantal transistoren per chip en t de tijd in jaren met t = 0 in 1971.

In onderstaande figuur is een rechte lijn getekend die weergegeven is als stippellijn. Dit is de grafiek van A. Merk opdat de schaalverdeling op de verticale as logaritmisch is. In de figuur staat ook de grafiek getekend van de gegevens uit de tabel.

In de figuur hoort het derde punt van boven bij de Pentium-II chip uit het jaar 1997. Het is duidelijk zichtbaar dat het aantal transistoren in deze chip nogal afwijkt van de voorspelling volgens de Wet van Moore.
In de Pentium-II chip zitten volgens de tabel 7 500 000 transistoren.
4p

20.

 Bereken hoeveel procent dit aantal afwijkt van de voorspelling volgens de formule van de Wet van Moore.
Met behulp van de formule kunnen we voorspellen wanneer er 1 miljard transistoren in een computerchip zitten.
4p

21.

 Bereken hoeveel jaar na 1971 dit het geval is.

 
UITWERKINGEN
Het offici๋le (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Het geeft wel de onderverdeling van de punten.
1. a • g = 2 • 4 = 8, T = 11 en de tabel levert 0,245.
2. wachttijd = (0,245 • 4)/(11 - 2 • 4) = 0,98/3 = 0,326666 ป 0,32666 • 60 = 19,6 ≈ 20 seconden
3. T = 14, a = 8, g = 1,5 levert  a • g = 12 en K = 0,482 en wachttijd =  0,723/2 = 0,3615 minuut
T = 7, a = 4, g = 1,5 levert a • g = 6 en K = 0,614 en wachttijd = 0,921/1 = 0,921 minuut
De gemiddelde wachttijd verandert dus WEL.
4. a • g = 4 • 3 = 12 en g = 3 verklaren het linkerdeel.
0,25 minuut is 0,25 • 60 = 15 seconden, dus dat verklaart het rechterdeel.
5. Bereken  de wachttijd  K•3/(T - 12) voor enkele waarden van T  (Bedenk dat a • g = 12):
T 13  14 15 16
K 0,704 0,482 0,319 0,205
wachttijd 2,112 0,723 0,319 0,154
Vanaf T = 15 wordt de wachttijd kleiner dan 0,25, dus zijn minimaal 15 telefonisten nodig.
6. 10-10-10-10-10-10-10
10-10-10-10-10-20
10-10-10-20-20
10-20-20-20
50-10-10
50-20

Dat zijn 6 manieren.
7.
bedrag 10 20 30 50 60 70 100 120 150 200 250 450 750
biljetten 20 0 0 1 2 0 0 2 0 2 2 2 2 2
aantal keer 13 47 2 89 1 48 14 1 12 2 5 1 1
1 • 2 + 2 • 89 + 2 • 14 + 2 • 12 + 2 • 2 + 2 • 5 + 2 • 1 + 2 • 1 = 250 biljetten van 20.
8. Ook bij precies 400 is de automaat leeg voordat hij wordt bijgevuld.
normalcdf(400, 10000..., 326, 41) = 0,0355
Dat zijn dus naar verwachting 0,0355 • 365 = 12 แ 13 dagen per jaar (12,97...)
9. Het is niet voldoende als er 176 of meer biljetten uit worden gehaald
normalcdf(176, 100000..., 140, X) = 0,015
Y1 = normalcdf(176, 100000..., 140, X) en Y2 = 0,015
window bijv.  Xmin = 0,  Xmax = 50,  Ymin = 0, Ymax = 0,03
intersect levert X ≈ 16,589 dus de standaardafwijking is ongeveer 16,6
10. a. niet; uit een boxplot kun je nooit absolute aantallen aflezen.
b. wel: kijk naar de buitenste twee streepjes van de boxplot. Die staan bij hetzelfde bedrag.
c. wel; als de boxplot 'smaller' is zal de frequentie groter zijn (immers binnen een kleiner interval ligt toch 25% van de metingen). Boxplot I is inderdaad smaller bij kleinere bedragen.
11. 12 bestellingen kosten  12 • 400 = 4800 euro
de voorraad is gemiddeld 100/2 = 50 dvd's, dus dat kost  50 • 16 = 800 euro
samen is dat 5600 euro.
12. x dvd's per keer betekent 1200/x bestellingen en dat kost 400 • 1200/x euro.
Dat is 480000/x euro
x dvd's per keer betekent een gemiddelde voorraad van 1/2x en dat kost 1/2x • 16 = 8x euro.
Samen geeft dat de gevraagde formule.
13. K ' = -1 • 480000 • x-2 + 8
vul in x = 245:  K ' = -1 • 480000 • 245-2 + 8 ≈ 0
als de afgeleide nul is heeft de functie een minimum of een maximum.
aan de grafiek kun je zien dat het een minimum is.
14. 245 spelers per keer geeft K = 3919,18

245 per keer is ongeveer 4 แ 5 keer per jaar, dus eens in de 2 แ 3 maanden
10% korting op 400 euro is 360 euro per bestelling

eens in de 2 maanden:
bestelling is 1200/6 = 200 per keer, en moet 6 keer per jaar.  Bestelkosten 6 • 360 = 2160 euro
gemiddelde voorraad is 0,5 • 200 = 100 en dat kost 100 • 16 = 1600 euro
samen is dat 3760 euro

eens in de 3 maanden:
bestelling is 1200/4 = 300 per keer, en moet 4 keer per jaar. Bestelkosten 4 • 360 = 1440 euro
gemiddelde voorraad is 0,5 • 300 = 150 en dat kost 150 • 16 = 2400 euro
samen is dat 3840 euro.

Conclusie: eens in de 2 maanden is de goedkoopste manier.
15. kies 2 van de 6 vakken om rood te maken. Dat kan op 6 nCr 2 = 15 manieren.
16. P(blauw,blauw,blauw,blauw)= 4/6 • 3/5 • 2/4 • 1/3 = 1/15.
17. P(B kiest rood) = 1/4
P(B kiest blauw, B kiest rood) = 3/4 • 1/3 = 1/4
P(B kiest blauw, B kiest blauw, B kiest rood) = 3/4 • 2/3 • 1/2 = 1/4
optellen geeft  totale kans 3/4.
18. er moeten nog 5000 - 2500 = 2500 transistoren bij.
250 per jaar kost dan 2500/250 = 10 jaar.
Dat zou zijn in 1972 + 10 = 1982
19. Noem 1971 t = 0 dan is 200 t = 29 en dan geldt:
42000000 = 2000 • g29  ⇒  g29 = 21000  ⇒  g = 210001/29 ≈ 1,4094
20. de formule geeft  A = 2250 • 1,40426 = 15266073
het waren er 7500000 dus dat is een verschil van 7766073
dat is  7766073/15266073 • 100% = 50,87%
21. 1000000000 = 2250 • 1,404t
Y1 = 1000000000  en Y2 = 2250 • 1,404 ^X
window bijv. Xmin = 0,  Xmax = 50,  Ymin = 0,  Ymax = 2000000000
intersect geeft X = 38,32
dus 38,32 jaar na 1971 zal dat het geval zijn.