Nieuwe pagina 1

Verdienen vrouwen minder?

In maart 2003 stond in de Volkskrant een artikel over de inkomensachterstand van vrouwen op mannen. Deze figuur stond erbij:



Figuur A gaat over het gemiddelde jaarinkomen van vrouwen.

3p	1.	Toon met een berekening aan dat het gemiddelde jaarinkomen van vrouwen tussen 1990 en 2000 met ruim 39% is gestegen.

Met behulp van de figuren A en B kun je het gemiddelde jaarinkomen van de mannen berekenen. Je weet namelijk het gemiddelde jaarinkomen van de vrouwen en hoeveel procent dat is van het gemiddelde jaarinkomen van de mannen.

4p	2.	Toon met berekeningen aan dat het gemiddelde jaarinkomen van de mannen tussen 1990 en 2000 met een kleiner percentage is toegenomen dan dat van de vrouwen.

Met de gegevens van 1990 en 2000 in figuur C is het mogelijk twee berekeningen uit te voeren die tot verschillende conclusies leiden over het gemiddeld uurloon van vrouwen vergeleken met dat van mannen. De ene berekening leidt tot de conclusie dat vrouwen niet zijn ingelopen op mannen. De andere berekening leidt tot de conclusie dat vrouwen wel zijn ingelopen op mannen.

4p	3.	Laat met berekeningen zien hoe deze twee verschillende conclusies getrokken kunnen worden.

Batterijen

Digitale fotocamera's werken op batterijen. Met standaard alkaline-batterijen kun je de camera slechts 15 minuten aan laten staan: de gebruikstijd is 15 minuten. Daarom gebruikt men voor deze camera's batterijen met een grotere gebruikstijd, meestal Lithium-batterijen of NiMH-batterijen (NiMH staat voor Nikkel Metaal Hydride).
Robbert fotografeert veel en is daarom geïnteresseerd in batterijen. Een tijdschrift over fotografie heeft NiMH-batterijen en Lithium-batterijen onderzocht. Als resultaat vonden de onderzoekers dat de gebruikstijd van beide soorten bij benadering normaal verdeeld is. Zij publiceerden over deze batterijen cumulatieve frequentiepolygonen. Zie onderstaande figuur.

Welke van deze twee soorten heeft de grootste gemiddelde gebruikstijd? Licht je antwoord toe.

We zeggen dat een type batterij betrouwbaarder is dan een ander type wanneer de standaardafwijking van de gebruikstijd kleiner is dan die van het andere type.

Welk van de twee typen uit bovenstaande figuur is betrouwbaarder? Licht je antwoord toe.

Robbert gaat regelmatig naar popconcerten en wil dan elk moment digitaal kunnen vastleggen: zijn camera moet steeds aan staan. Hij heeft daarvoor een nieuw type batterij gekocht. De gebruikstijd van zo'n batterij is normaal verdeeld met een gemiddelde van 155 minuten en een standaardafwijking van 15 minuten.

Robbert bezoekt een popconcert dat drie uur duurt.

Bereken de kans dat de gebruikstijd van de batterij voldoende is voor het hele popconcert.

Een fabrikant van batterijen maakt reclame met de volgende beweringen:

99% van mijn batterijen heeft een gebruikstijd van meer dan 2 uur.
De helft van mijn batterijen heeft een gebruikstijd van zelfs meer dan 2¹/₂ uur"

De fabrikant gaat kennelijk uit van een gemiddeld verbruik van 2¹/₂ uur. Ook van deze batterijen is de gebruikstijd bij benadering normaal verdeeld.

Bereken de standaardafwijking van de gebruikstijd van deze batterijen. Geef je antwoord in hele minuten.

NiMH-batterijen lopen langzaam, leeg, ook als ze niet worden gebruikt. Het leeglopen gebeurt exponentieel: elke dag verliest een batterij 4% van zijn energie als hij niet wordt gebruikt.

Bereken na hoeveel dagen een volledig opgeladen batterij nog 70% van zijn energie over heeft. Rond je antwoord af op één decimaal.

Verpakkingen

Een bedrijf maakt bijzondere verpakkingen. Het bedrijf heeft onderzocht hoe de kosten voor het maken van die verpakkingen samenhangen met het aantal verpakkingen.
Het verband tussen de totale kosten TK (in duizenden euro's) en het aantal geproduceerde verpakkingen q (in duizendtallen) zie je in onderstaande figuur. Daarin lees je bijvoorbeeld af dat bij een productie van 2000 verpakkingen de totale kosten 15000 euro zijn.

In de figuur hieronder zie je vier diagrammen A, B, C en D, waarin de toename ΔTK van TK is weergegeven. Eén van de vier diagrammen past bij de grafiek hierboven.

Welk toenamendiagram past bij de grafiek? Licht je antwoord toe.

De marginale kosten MK geven de verandering in de totale kosten weer.

Met behulp van bovenstaande grafiek kun je een schatting geven van het aantal verpakkingen waarbij de marginale kosten zo klein mogelijk zijn.

10.

Geef een schatting van dat aantal verpakkingen. Licht je werkwijze toe.

Bij de grafiek hierboven hoort de volgende formule:

TK = 0,12q³ - 1,77q² + 9,2q + 3,25

Hierin zijn TK en q nog steeds de totale kosten in duizenden euro's en het aantal geproduceerde verpakkingen in duizendtallen.

Je kunt met de formule precies berekenen bij welk aantal verpakkingen de marginale kosten zo klein mogelijk zijn. De afgeleide van TK geeft namelijk een goede benadering van de marginale kosten,
dus gebruik je hier MK = TK'

11.

Stel de formule op van de marginale kosten MK en bereken daarmee bij welk aantal verpakkingen MK minimaal is.

Hypotheek aflossen

De meeste mensen die een huis kopen lenen daarvoor geld bij een bank. Zo'n lening wordt een hypotheek genoemd. Er zijn verschillende hypotheekvormen. In deze opgave gaat het over een aflossingsvrije hypotheek. Je leent bij een bank voor 30 jaar een bedrag. Over dat bedrag betaal je elk jaar hypotheekrente aan de bank, maar je betaalt niets terug van het geleende bedrag.
Na afloop van de 30 jaar betaal je het bedrag in één keer terug. Daar moet je dus voor sparen in die 30 jaar.

Mevrouw Everts heeft lang geleden een huis van 250 000 euro gekocht. Ze heeft een aflossingsvrije hypotheek van 250 000 euro met een looptijd van 30 jaar tegen een rentepercentage van 5,4% per jaar.
Van de belastingdienst krijgt ze elk jaar een deel van de betaalde hypotheekrente terug.

Hoeveel je terugkrijgt hangt af van je inkomen. Mevrouw Everts krijgt 30% van de betaalde hypotheekrente terug.

12.

Bereken voor mevrouw Everts hoeveel euro de jaarlijkse hypotheekrente na belastingteruggave bedraagt.

Voordat zij het huis kocht had ze 40 000 euro gespaard. Dit bedrag heeft ze in een (belastingvrij) beleggingsfonds gestort. Ze hoopt dat dit bedrag na 30 jaar tot 250 000 euro is gegroeid, zodat ze in één keer het geleende bedrag kan aflossen.

13.

Bereken het percentage waarmee de 40 000 euro dan per jaar moet toenemen, uitgaande van exponentiële groei.

Stel dat mevrouw Everts 10 000 euro zal erven op 1 januari 2007. Haar hypotheek loopt op 1 januari 2015 af: dan moet ze dus nog 8 jaar hypotheekrente betalen en daarna de schuld aflossen. Ze twijfelt tussen de volgende twee mogelijkheden:

•

Sparen:
Ze zet de 10 000 euro op een spaarrekening met een jaarrente van 3,2%. Na 8 jaar staat er 12 865,82 euro op deze spaarrekening.
Haar schuld bij de bank blijft 250 000 euro.

•

Aflossen:
Ze verlaagt de schuld bij de bank tot 240 000 euro.
Omdat de schuld nu 10 000 euro minder is, betaalt ze jaarlijks minder hypotheekrente. Dit hypotheekrentevoordeel stort ze ieder jaar op een spaarrekening.
Het saldo op deze rekening wordt gegeven door de formule:

saldo = 11812,5 • (1,032^t - 1), met t in jaren vanaf 1 januari 2007.

14.

Geef mevrouw Everts een advies wat voor haar voordeliger is met de 10 000 euro: sparen of aflossen.

Daniël

Daniël staat achter twee vazen met ballen. Hij begint met 100 rode ballen vaas A en 100 groene ballen in vaas B. Uit beide vazen pakt hij tegelijk met zijn ogen dicht een bal, en doet die in de andere vaas.
Zo blijven er in beide vazen dus wel 100 ballen, maar dus niet meer alleen rode ballen in vaas A.
Daniël kan dit proces, het tegelijk aselect uit de twee vazen een bal pakken en in de andere vaas doen, zo vaak herhalen als hij wil.
We noemen dit proces een wisseling, omdat twee ballen van vaas wisselen.

In de volgende figuur zie je wat er kan gebeuren.

Links staat de beginsituatie: 100 rode ballen in vaas A en 100 groene ballen in vaas B.
Na één wisseling zit er uiteraard 1 groene bal in vaas A en 1 rode in vaas B. Met andere woorden: de kans op 99 rode ballen in vaas A na één wisseling is gelijk aan 1.
Bij de tweede wisseling kunnen er drie situaties ontstaan, in de figuur aangegeven met P, Q en R.

Situatie R is bijzonder: na de tweede wisseling is de beginsituatie terug.

15.

Beschrijf wat er bij de tweede wisseling in situatie R moet zijn gebeurd en toon aan dat de kans hierop gelijk is aan 0,0001.

Situatie Q is ook bijzonder. Hoewel er een tweede wisseling heeft plaatsgevonden is het aantal rode en groene ballen in de vazen hetzelfde als vóór die tweede wisseling.

16.

Beschrijf wat er hier bij de tweede wisseling is gebeurd en toon aan dat de kans hierop gelijk is aan 0,0198.

We zien in figuur 6 dat er na twee wisselingen 98, 99 of 100 rode ballen in vaas A zitten. We willen de verwachtingswaarde van het aantal rode ballen in vaas A na twee wisselingen berekenen.
In de volgende tabel staat een gedeeltelijk ingevulde kansverdeling.

aantal rode ballen in vaas A na twee wisselingen	98	99	100
kans		0,0198	0,0001

17.

Bereken de verwachtingswaarde van het aantal rode ballen in vaas A na twee wisselingen. Geef het antwoord in 2 decimalen.

Stel dat Daniël 20 keer begint met 100 rode ballen in vaas A en 100 groene ballen in vaas B, en dan telkens twee wisselingen uitvoert.

18.

Bereken de kans dat er minstens één keer na de twee wisselingen situatie Q is ontstaan.

Onderwijs

De OESO (Organisatie voor Economische Samenwerking en Ontwikkeling) doet jaarlijks onderzoek naar de onderwijsuitgaven van de landen die bij deze organisatie zijn aangesloten. In de volgende figuur is voor deze landen af te lezen hoeveel geld de overheid uitgeeft per leerling in het voortgezet onderwijs.



Op de horizontale as staat B, het bruto binnenlands product (bbp) per hoofd van de bevolking in euro. Verticaal staat U, de uitgaven per leerling per jaar in euro. Nederland staat in de figuur met NET aangegeven. In Nederland zijn de uitgaven per leerling per jaar voor alle schoolsoorten in het voortgezet onderwijs (vmbo, havo en vwo) gelijk. Een havo-leerling behaalt het diploma gemiddeld in 5,4 jaar.


3p	19.	Bereken hoeveel geld de Nederlandse overheid gemiddeld uitgeeft aan de havo-opleiding van een leerling die een havo-diploma behaalt.

In de figuur hierboven is een lijn getrokken die zo goed mogelijk bij de punten past. Een land dat op de lijn ligt en een bbp van 10 000 euro heeft, zou dan 2400 euro per leerling per jaar uitgeven. Een land op de lijn met een bbp van 25 000 zou dan 7200 euro per leerling per jaar uitgeven. De USA ligt op die lijn en heeft met 36 800 het hoogste bbp van alle landen. Door deze hoge waarde van B is de USA niet zichtbaar in de figuur hierboven.

5p	20.	Stel een vergelijking van de lijn op en bereken daarmee de uitgaven per leerling per jaar in de USA.

In een jaar behaalden 30 600 leerlingen hun havo-diploma. Slechts 918 deden er 7 jaar over. De overige 29 682 deden er 5 of 6 jaar over. Het aantal dat er 5 jaar over deed noemen de N. We zetten deze gegevens in een tabel:



Gemiddeld deden deze havo-leerlingen er 5,4 jaar over.

4p	21.	Bereken N.

UITWERKING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	De toename is 14,2 - 10,2 = 4. Dat is ⁴/_10,2 • 100% ≈ 39,2% en dat is ruim meer dan 39%.

2.	in 1990 is 10,2 gelijk aan 50%, dus is 100% gelijk aan 20,4 in 2000 is 14,2 gelijk aan 53% dus is 100% gelijk aan 100 • ^14,2/₅₃ = 26,79 de toename is 26,79 - 20,4 = 6,39 en dat is ^6,39/_20,4 • 100% = 31,3% Dat is minder dan de ruim 39% van de vrouwen.

3.	vrouwen zijn niet ingelopen: de toename van het uurloon van de vrouwen is 13,30 - 8,68 = 4,62 de toename van het uurloon van de mannen is 16,98 - 11,91 = 5,07 het uurloon van de mannen neemt meer toe dan het uurloon van de vrouwen. vrouwen zijn wel ingelopen: dat kan op twee manieren: • manier 1. de procentuele toename van vrouwen is ^{(13,30 - 8,68)}/_8,68 • 100% = 53,2% de procentuele toename van de mannen is ^{(16,98 - 11,91)}/_11,91 • 100% = 42,6% dus is de procentuele toename van de vrouwen groter. • manier 2. in 1990 was het inkomen van de vrouwen ^8,68/_11,91 • 100% = 72,9% van dat van de mannen in 2000 was het inkomen van de vrouwen ^13,30/_16,98 • 100% = 78,3% van dat van de mannen de vrouwen lopen dus in op de mannen.

4.	Bij de cumulatieve normale verdeling vind je het gemiddelde bij 50% Voor NiMH is dat 120 minuten, voor Lithium is dat 125 minuten. Lithium heeft dus de grootste gemiddelde gebruikstijd.

5.	De Lithium grafiek is smaller dus liggen de waarden daar dichter bij het gemiddelde dus is de standaardafwijking daar kleiner. Lithium is dus betrouwbaarder.

6.	3 uur is 180 minuten. normalcdf(180, 1000000..., 155, 15) ≈ 0,04779

7.	normalcdf(2, 10000..., 2.5, X) = 0,99 Y1 = normalcdf(2, 100000..., 2.5 , X) en Y2 = 0,99 window bijv. Xmin = 0, Xmax = 0.5, Ymin = 0.9, Ymax = 1.1 intersect geeft X ≈ 0,2149 dat is 0,2149 • 60 = 12,89 minuten dus ongeveer 13 minuten.

8.	de groeifactor is 0,96. 70 = 100 • 0,96^t Y1 = 70 en Y2 = 100 • 0,96 ^X window bijv. Xmin = 0, Xmax = 40, Ymin = 0, Ymax = 100 intersect geeft t ≈ 8,7 dagen

9.	Diagram A want in het midden stijgt de grafiek het minst.

10.	Dat is waar de grafiek het minst steil loopt, en dat is bij q ≈ 5 dus bij ongeveer 5000 verpakkingen

11.	TK' = 3 • 0,12q² - 2 • 1,77q + 9,2 = 0,36q² - 3,54q + 9,2 1e manier. Y1 = 0,36X² - 3,54X + 9,2 window bijv. Xmin = 0, Xmax = 11, Ymin = 0, Ymax = 10 calc - minimum geeft X = 4,916666... dat zijn dus 4916 of 4917 verpakkingen. q = 4,916 geeft MK = 0,49750016 en q = 4,917 geeft 0,49750004 het minimum is dus bij 4917 verpakkingen. 2e manier MK is minimaal als de afgeleide ervan nul is. MK'= 2 • 0,36q - 3,54 = 0,72q - 3,54 = 0 ⇒ q = ^3,54/_0,72 = 4,9166666... De rest gaat als bij de 1^e manier.

12.	De hypotheekrente is 0,054 • 250000 = 13500 70% moet ze betalen: 0,70 • 13500 = 9450

13.	250000 = 40000 • g³⁰ ⇒ g³⁰ = ²⁵⁰⁰⁰⁰/₄₀₀₀₀ = 6,25 ⇒ g = 6,25^1/30 » 1,06299... Dat is dus ongeveer 6,3%

14.	sparen: ze heeft nog 250000 - 12865,82 = 237134,18 te betalen. aflossen: saldo = 11812,5 • (1,032⁸ - 1) = 3385,25 ze heeft nog 240000 - 3385,25 = 236614,75 te betalen. Bij aflossen hoeft ze nog minder te betalen dus aflossen is voordeliger.

15.	de ene groene moet van A naar B zijn gegaan en de ene rode van B naar A. de kans dat die ene gekozen wordt is 0,01 (1 van de 100) kans dat beiden gekozen worden is dan 0,01 • 0,01 = 0,0001

16.	er zijn twee mogelijkheden: • de ene groene is uit A gekozen en ook een groene uit B: totale kans 1/100 • 99/100 = 0,0099 • de ene rode is uit B gekozen en ook een rode uit A: totale kans ook 0,0099 samen wordt dat een kans van 0,0099 + 0,0099 = 0,0198

17.	het ontbrekende getal in de tabel is 1 - 0,0198 - 0,0001 = 0,9801 de verwachtingswaarde is 98 • 0,9801 + 99 • 0,0198 + 100 • 0,0001 = 98,02

18.	P(minstens één keer) = 1 - P(geen keer) P(geen Q bij één wisseling) = 1 - 0,0198 = 0,9802 P(geen Q bij 20 wisselingen) = 0,9802²⁰ = 0,6703 P(minstens één Q) = 1 - 0,6703 = 0,3297

19.	U is ongeveer 5200 (erg slecht af te lezen) dus de kosten zijn 5,4 • 5200 ≈ 28080

20.	een rechte lijn door (10000, 2400) en (25000, 7200) de helling is a = ^{(7200 - 2400)}/_{(25000 - 10000)} = 0,32 2400 = 0,32 • 10000 + b ⇒ b = -800 de vergelijking is U = 0,32 • B - 800 B = 36800 geeft dan U = 10976

21.	het gemiddelde is ^{5 • N + 6 • (29682 - N) + 7 • 918} / ₃₀₆₀₀ = 5,4 ⇒ 5 • N + 6 • (29682 - N) + 7 • 918 = 5,4 • 30600 = 165240 ⇒ 5N + 178092 - 6N + 6426 = 165240 ⇒ -N = -19278 ⇒ N = 19278 (maar het kan natuurlijk ook met intersect...)

HAVO WA12, 2006 - I