HAVO WA12, 2006 - II
Fooien.
In de Verenigde Staten is het gebruikelijk dat je in een restaurant een flinke fooi geeft aan degene die je bedient. Het basisloon is er zeer laag en daardoor is het bedienend personeel veel meer afhankelijk van fooien dan in Nederland.
In de Verenigde Staten bestudeerde een onderzoeker welke fooien er gegeven werden bij bijna duizend rekeningen in twee restaurants.

In de onderstaande cumulatieve relatieve frequentiepolygonen zijn de fooien van de twee restaurants A en B verwerkt.

3p

1.

 In welk restaurant worden er relatief meer fooien tussen de 6 en de 8 dollar gegeven? Licht je antwoord toe.

 
Met behulp van de klassenmiddens kun je een schatting geven van de gemiddelde fooi in de twee restaurants.
4p

2.

 Bereken op deze manier de gemiddelde fooi in restaurant A.

 
Hoe hoger de rekening, hoe hoger de fooi, was een resultaat van het onderzoek. Restaurant C is veel duurder dan de restaurants A en B. De rekeningen zijn daar dan ook een stuk hoger en de fooien dus ook. Een fooi onder de 6 dollar komt in restaurant C niet voor, fooien van meer dan 20 dollar komen af en toe voor.
4p

3.

 Teken in de figuur een mogelijk cumulatief relatief frequentiepolygoon voor restaurant C.
Uit het onderzoek bleek dat er tussen de fooi F en de hoogte van de rekening R een lineair verband bestaat. De onderzoeker vond de volgende gegevens:
• bij een rekening van 20 dollar hoort een fooi van 3,75 dollar
• bij een rekening van 85 dollar hoort een fooi van 12 dollar
4p

4.

 Stel een formule op voor dit lineaire verband.

 

 

Wiel.
Bij het wielrennen zie je soms dat wielen van fietsen dicht zijn. Op het normale wiel met spaken is dan een plastic schijf aangebracht.
Op een racefiets met dichte wielen kun je harder fietsen dan op een racefiets met open wielen: de luchtwrijving is bij een dicht wiel minder dan bij een open wiel. Dat is onderzocht op de volgende manier:
Men laat een dicht wiel en een open wiel vrij draaien. Door de luchtwrijving gaan ze steeds langzamer draaien. Met behulp van een fietscomputer wordt de snelheid van de wielen gemeten.
In de volgende tabel staan enkele meetgegevens voor een open wiel.

open wiel
t 0 20 40 60 80 100 120
V 30,0 23,5 18,4 14,5 11,3 8,9 7,0
Hierin is t de tijd en seconden en V de snelheid in kilometer per uur.
Het wiel heeft een beginsnelheid van 30 km/uur gekregen.
De snelheid neemt bij benadering exponentieel af.
5p

5.

 Bereken met behulp van de tabel het percentage waarmee de snelheid per 10 seconden afneemt.
Een dicht wiel en een open wiel krijgen een beginsnelheid  van 20 km/uur. We laten de wielen drie minuten draaien. Hierbij passen de volgende formules:
Dicht wiel:  Vdicht = 20 • 0,9920t
Open wiel:  Vopen = 20 • 0,9879t

In beide formules is t in seconden en V in kilometer per uur.
In onderstaande figuur zijn de grafieken getekend van deze formules voor de eerste twee minuten.

Op een zeker moment is de snelheid van een wiel half zo groot geworden. Bij het dichte wiel is dat wat later dan bij het open wiel. In de figuur is met een pijl aangegeven hoe groot het verschil in de tijd is.
5p

6.

 Bereken met behulp van de formules dit verschil in tijd in seconden.

 
Beide wielen krijgen op hetzelfde moment een snelheid van 20 km/uur en we laten ze weer drie minuten draaien. Het dichte wiel heeft steeds een hogere snelheid.
4p

7.

 Bereken met behulp van de formules het grootste verschil in snelheid tussen de twee wielen.

 

 

Muntenrij.
Je gooit vijf keer een muntstuk. Als je kop gooit schrijf je een K op en als je munt gooit een M. Je kunt dan een rijtje krijgen zoals hieronder. Zo'n rijtje met de letters M en K noemen we een muntenrij.

Ga er in deze opgave steeds van uit dat de kans op kop gooien en de kans op munt gooien even groot zijn.

Tom denkt dat vijf keer achter elkaar kop gooien (dus de muntenrij KKKKK) veel onwaarschijnlijker is dan de muntenrij KMMKM van de figuur.
3p

8.

 Is de kans op de muntenrij KKKKK kleiner dan de kans op de muntenrij KMMKM?
Licht je antwoord toe.
In de muntenrij van de figuur hierboven komt twee keer K en drie keer M voor. Er zijn verschillende muntenrijen mogelijk met twee keer K en drie keer M.
3p

9.

 Bereken hoeveel verschillende mogelijkheden er zijn
Tom gooit net zo lang met een muntstuk tot hij drie keer achter elkaar munt heeft gegooid. In de muntenrij van de figuur hieronder lukte dat pas na elf keer gooien.

Tom begint met een nieuwe muntenrij. Hij stopt zodra hij MMM heeft gegooid, dus zodra hij drie keer achter elkaar munt heeft gegooid.
4p

10.

 Bereken de kans dat Tom na vijf keer gooien voor het eerst MMM achter elkaar ziet staan in zijn muntenrij.

Herma komt op bezoek bij Tom. Herma daagt Tom uit voor een spelletje. Eerst mag Tom een rijtje met drie letters (bestaande uit K's en/of M's) kiezen. Daarna kiest Herma een ander rijtje met drie letters. Dan wordt er met een muntstuk gegooid. Degene wiens rijtje van drie het eerst voorkomt in de muntenrij wint het spelletje. Het muntstuk wordt net zo lang gegooid tot er iemand gewonnen heeft.

Tom kiest het rijtje MMM want dat valt makkelijk op in een lange muntenrij. Herma kiest daarna het rijtje KMM. Dat is heel slim van Herma, want zodra er kop is gegooid kan Tom nooit meer winnen.
3p

11.

 Leg uit dat Tom nooit meer kan winnen zodra er kop is gegooid.

De enige mogelijkheid voor Tom om te winnen is dus dat er meteen vanaf het begin van het spelletje drie keer munt wordt gegooid
4p

12.

 Toon aan dat de kans dat Herma het spelletje wint zeven keer zo groot is als de kans dat Tom het spelletje wint.

 

Voorraadkosten.
Fuelmaster produceert benzinepompen, die gebruikt worden door tankstations. In elke benzinepomp zit een pomp. Fuelmaster heeft elk jaar 40 000 pompen nodig voor zijn productie. Fuelmaster bestelt zijn pompen bij PumpTech. De bestelkosten bedragen 0,50 euro per pomp plus 300 euro per bestelling.
3p

13.

 Bereken de jaarlijkse bestelkosten als er 4000 pompen per bestelling geleverd worden.
Fuelmaster wil altijd minimaal 1600 pompen in voorraad hebben (dat is een reservevoorraad voor zo'n twee weken productie). Voor het aantal pompen dat Fuelmaster op enig moment in voorraad heeft is een model opgesteld. Zie daarvoor de schets in de figuur hieronder. De productie en dus ook het verbruik van de pompen is gelijkmatig over het jaar verdeeld. Elke bestelling wordt afgeleverd op het moment dat de voorraad nog 1600 stuks groot is. Het aantal pompen dat Fuelmaster per keer bij PumpTech bestelt noemen we A.

Voor het in voorraad houden van de pompen heeft Fuelmaster ook kosten. Het in voorraad houden van ιιn pomp kost 6 euro per jaar. De jaarlijkse voorraadkosten kunnen berekend worden door de gemiddelde voorraadpompen te vermenigvuldigen met de jaarlijkse kosten per pomp.

We gaan er nog even van uit dat er 4000 pompen per bestelling geleverd worden.
3p

14.

 Laat zien dat de jaarlijkse voorraadkosten dan 21600 euro bedragen.

De afdeling inkoop van Fuelmaster onderzoekt bij welke bestelgrootte de jaarlijkse kosten voor het bestellen en in voorraad houden zo laag mogelijk zijn. Men heeft daarvoor de volgende formule opgesteld:

Hierin is K het totaal van de jaarlijkse bestel- en voorraadkosten en euro en A het aantal pompen dat per keer besteld wordt.

Zoals je aan de formule kunt zien zijn de jaarlijkse kosten altijd hoger dan 29600 euro.
3p

15.

 Onderzoek uit welke vaste bedragen deze 29600 euro is opgebouwd.

De formule voor K kan ook geschreven worden als:
K = 29600 + 12000000 • A-1 + 3A

Voor een zekere waarde van A zal K een minimum hebben.
5p

16.

 Stel de afgeleide van K op en bereken met behulp daarvan de bestelgrootte A waarbij K minimaal is.
Platvissen.
Er bestaan diverse soorten platvissen, bijvoorbeeld schollen en tongen. In de afbeelding hiernaast zie je een schol.

De lengte van 8 jaar oude, vrouwelijke schollen is bij benadering normaal verdeeld. De gemiddelde lengte is 30,8 cm en de standaardafwijking is 4,6 cm.

3p

17.

 Bereken hoeveel procent van deze 8 jaar oude vrouwtjesschollen langer is dan 33 cm.

De lengte van de mannetjesschollen van 8 jaar oud is ook bij benadering normaal verdeeld. Ze hebben een gemiddelde lengte van 27,4 cm. Deze mannetjesschollen zijn kleiner dan de 8 jaar oude vrouwtjesschollen. Slechts 5% van deze mannetjes is langer dan 33 cm.
4p

18.

 Bereken de standaardafwijking van de lengte van de 8 jaar oude mannetjesschollen. Rond je antwoord af op 1 decimaal.

In de Beringzee is het onderzoekers van het Alaska Fisheries Science Center gelukt de groei en ontwikkeling van vrouwelijke schollen over een lange periode te volgen. Deze schollen kunnen maar liefst 30 jaar oud worden. Hieronder staan twee grafieken met informatie over deze schollen.
Links zie je het verband tussen de leeftijd en de lengte.
Rechts zie je het verband tussen de lengte en het gewicht.

Door deze grafieken te combineren is te achterhalen wat het gewicht is van een vrouwtjesschol als je de leeftijd kent.
3p

19.

 Wat is het gewicht van een vrouwtjesschol van 14 jaar oud? Licht je antwoord toe met behulp van de grafieken.
Ook bij de tong neemt het gewicht toe met de leeftijd. De onderzoekers in Alaska vonden dat het gewicht van de tong wordt benaderd door de formule:
W = 2,867 • (1 - 0,93 • 0,9094t)3 


Hierin is W het gewicht in kilogram en t de leeftijd in jaren.
3p

20.

 Bereken de leeftijd in jaren van een tong van 1,5 kg.

Een cohort vissen is een groep vissen van ιιn soort die vrijwel tegelijk zijn geboren. De biomassa B van een cohort vissen is het totale gewicht (in kg) van die vissen.

Voor het cohort van 1000 tongen is een formule opgesteld voor het aantal nog levende tongen N na t jaren:

N = 1000 • 0,9048t

Voor de biomassa B geldt dus  B = N • W.

Het aantal tongen in het cohort neemt ieder jaar af, maar de tongen zelf worden steeds zwaarder. Na 7 jaar ligt de biomassa van dit cohort in de buurt van 200 kg.
3p

21.

 Toon dit met een berekening aan.
Naarmate de tijd verstrijkt neemt het aantal tongen dus af, maar neemt hun gewicht toe. De biomassa zal eerst toenemen maar later weer afnemen.
4p

22.

 Bereken de maximale biomassa van het cohort tongen.

OPLOSSING
Het officiλle (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1 restaurant A:  90 - 80 = 10%  en restaurant B:  35 - 20 = 15%
Dus relatief het meest in restaurant B.
2 Voor B geldt:
klassemidden 1 3 5 7 9 11 13
frequentie 5 5 10 15 25 25 15

Het gemiddelde is (1 • 5 + 3 • 5 + ... + 13 • 15)/100 = 8,70
3 Er zijn vele mogelijkheden, maar ze moeten allemaal voldoen aan de volgende voorwaarden:

• begint pas bij 6. (later mag ook!)

• loopt door voorbij de 20, maar niet erg steil meer (in het vb hiernaast 5% meer dan 20: wat is 'af en toe'?)

• alsmaar stijgend (evt. horizontaal)

• beginnen bij 0, eindigen bij 100

Hiernaast staat een voorbeeld.
4. Lijn door (20, 3.75) en (85, 12)
hellinggetal is  (12 - 3.75)/(85 - 20) = 0,127
dus F = 0,127 • R + b
Vul bijv. (85, 12) in:  12 = 0,127 • 85 + b  geeft  b = 1,21
Dus F = 0,127 • R + 1,21
5. De factoren zijn  23,5/30,0 en 18,4/23,5 en 14,5/18,4 enz.  
Dat is allemaal ongeveer 0,78, maar dat is per 20 seconden, dus dat is g2 
g2 = 0,78  ⇒  g = √0,78 = 0,88
Dat is een afname van 12%
6. Y1 = 20 • 0,9920X  en Y2 = 20 • 0,9879X  en Y3 = 10
window bijv.  Xmin = 0,  Xmax = 120,  Ymin = 0,  Ymax = 20
intersect geeft de snijpunten van Y1+Y3 en Y2+Y3:  X ≈ 86,30  en  X ≈ 56,9
Het verschil is  86,3 - 56,9 = 29,4
7. Het verschil is Vdicht - Vopen = 20 • 0,9920t - 20 • 0,9879t 
plot deze grafiek en gebruik calc - maximum
window Xmin = 0, Xmax = 180, Ymin = 0, Ymax = 10
Dat geeft grootste verschil 3,04 km/uur (bij t = 100,4)
8. Nee:  beiden hebben kans 0,55 
9. 5 nCr 2 = 10
10. Dan moet de rij zijn  XKMMM waarbij X beiden mag zijn.
De kans daarop is 1 • 0,5 • 0,5 • 0,5 • 0,5 = 0,0625
11. Drie keer munt kan alleen via het uiteinde .....KMMM  (want als die K er niet staat was er al eerder drie keer munt)
Maar dan heeft Herma gewonnen want er staat KMM vσσr MMM:   .......KMMM
12. P(Tom wint) = P(MMM) = 0,5 • 0,5 • 0,5 = 1/8.
P(Herma wint) = "de rest van de gevallen" = 1 - 1/8 = 7/8
Dat is inderdaad zeven keer zo groot.
13. 4000 pompen betekent 40000/4000 = 10 bestellingen.
Dat kost 40000 • 0,50 + 10 • 300 = 23000
14. De voorraad varieert tussen 4000 + 1600 = 5600  en 1600 en is gemiddeld 3600
dat kost 3600 • 6 = 21600
15. A per keer is een voorraad tussen  1600 en 1600 + A en dat is gemiddeld 1600 + 0,5A
Dat kost  6 • (1600 + 0,5A) = 9600 + 3A
bestelkosten per pomp zijn altijd  40000 • 0,5 = 20000

De 29600 is opgebouwd uit 20000 + 9600
20000 is bestelkosten per pomp, 9600 is kosten vanwege vaste basisvoorraad van 1600 
16. K '= -1 • 12000000 • A-2 + 3
K '= 0  geeft  -12000000 • A-2 + 3 = 0
⇒  12000000 • A-2 = 3  ⇒  A-2 = 3/12000000  ⇒  A = (3/12000000)(1/-2) = 2000  
17. normalcdf(33, 1000..., 30.8, 4.6) = 0,3162 dus 31,62%
18. normalcdf(33, 1000..., 27.4, X) = 0,05
Y1 = normalcdf(33, 1000..., 27.4, X)  en Y2 = 0,05
window bijv.  Xmin = 0,  Xmax =10,   Ymin = 0,  Ymax = 0,1
intersect geeft X ≈ 3,4 
19.

Dat gewicht is iets minder dan 1000 gram, zoals je hierboven ziet.
20. Y1 = 2,867 • (1 - 0,93 • 0,9094X )3  en Y2 = 1,5
window  bijv. Xmin = 0,   Xmax = 20,   Ymin = 0, Ymax = 3
intersect levert  X ≈ 16
21. t = 7 geeft  N = 496,44  en  W = 0,41
Dat geeft  B = 496,44 • 0,41 = 203,5 kg en dat ligt inderdaad in de buurt van 200 kg.
22. Plot Y1 = 2,867 • (1 - 0,93 • 0,9094X )3  • 1000 • 0,9048X
window Xmin = 0,  Xmax = 50,  Ymin = 0,  Ymax = 500
calc - maximum geeft  t » 13,42 en een maximale massa van ongeveer 303,43 kg.