HAVO WA, 2009 - I
 

 

Autobanden
     
Er bestaan veel verschillende merken autobanden en per merk zijn er banden in allerlei soorten en maten. De diameter van de band hangt af van de diameter van de velg en de hoogte van de band. Banden zijn er ook nog in verschillende breedtes. Zie  de volgende figuur.
     

 
Alle belangrijke eigenschappen worden op de zijkant van een band met behulp van een code aangegeven. Zie de volgende figuur.
     
   

     
Het eerste getal (185) is de breedte van de band in millimeters. Het tweede getal (65) is de verhouding van de hoogte van de band ten opzichte van de breedte van de band in procenten. Het volgende getal (14) is de diameter van de velg in inches (1 inch = 2,54 cm), daarna volgt het LI-getal van de band (86) dat het draagvermogen van de band aangeeft.

In de code op de band kun je de ‘bandenmaat’ aflezen. De bandenmaat bestaat uit 3 getallen. Voor de band uit deze figuur is dat 185, 65, 14. Dat betekent voor deze band dat de breedte van de band 185 millimeter is, dat de hoogte van de band 65% van de breedte is en dat de diameter van de velg 14 inch is.
     
4p. 1. Laat met een berekening zien dat de diameter van deze band ongeveer 60 cm is.
   

 
Een bepaald soort band is er in verschillende bandenmaten. Zo loopt de breedte van 145 tot en met 215 mm in stappen van 10 mm, en de verhouding van de hoogte van de band ten opzichte van de breedte van de band loopt van 65 tot en met 80 procent in stappen van 5 procent. De banden worden geleverd met een velgdiameter van 13, 14 en 15 inch.
     
4p. 2. Bereken hoeveel verschillende bandenmaten er van deze soort band zijn.
   

 
Het LI-getal (van Load-Index) geeft het draagvermogen van de band aan. Het LI-getal geeft aan welk gewicht (in kg) de band kan dragen. In de volgende tabel staat voor enkele LI-getallen het draagvermogen van de band.
     
LI-getal 65 70 75 80 85 90 95 100 105
Draagvermogen (kg) 290 335 387 450 515 600 690 800 925
     
Op een band staat LI-getal 103. Uitgaande van de tabelwaarden bij LI-getal 100 en bij LI-getal 105 kun je met
behulp van lineair interpoleren het draagvermogen van deze band berekenen.
     
3p. 3. Bereken het draagvermogen van deze band.
   

 
Het verband tussen het LI-getal en het draagvermogen is echter niet lineair, maar exponentieel.
     
4p. 4. Bereken het draagvermogen van de band met LI-getal 103 volgens het exponentiële verband.
   

 
Hoe breder een band, hoe beter de grip op de weg. Hoe hoger een band, hoe meer comfort. Maar een hogere band gaat ten koste van de stabiliteit. Bij sportieve auto’s wordt daarom gewoonlijk gekozen voor lage, brede banden. Iemand heeft een auto waarop banden van het type 205/60 R 16 zijn gemonteerd. Hij wil graag een sportievere uitstraling, en heeft zijn oog laten vallen op banden 245/45. De snelheidsmeter vereist dat de diameter van de band hetzelfde blijft. Hij heeft dus grotere velgen nodig.
     
5p. 5. Bereken de diameter van de grotere velgen in hele inches.
   

 
Hebben is schieten?
     
De regels omtrent het in bezit mogen hebben van vuurwapens zijn per land verschillend. Deze regels staan natuurlijk ook wel eens ter discussie. Tegenstanders van vuurwapenbezit beweren dat hoe makkelijker mensen aan vuurwapens kunnen komen, hoe meer die gebruikt worden. Voorstanders van vuurwapenbezit zeggen altijd dat het niet de wapens zijn die doden, maar de mensen. Zij vinden dat mensen vrij moeten zijn om een vuurwapen aan te schaffen, omdat meer vuurwapens niet betekent dat er dan ook meer gebruik van wordt gemaakt. Het vuurwapenbezit en het aantal dodelijke slachtoffers door vuurwapens is in een aantal landen onderzocht. De onderzoeksresultaten zie je in de volgende figuur.
     

     
Deze figuur geeft het verband weer tussen het jaarlijks aantal sterfgevallen door vuurwapens S (per 100 000 inwoners) en het aantal vuurwapens V (per 1000 inwoners). Behalve de gegevens van een aantal landen is in de figuur ook een trendlijn getekend. Voor landen op de trendlijn is er sprake van een evenredig verband tussen S en V. Zowel voorstanders als tegenstanders van vuurwapenbezit kunnen deze figuur gebruiken als steun voor hun standpunt.
     
4p. 6. Geef een argument dat voorstanders uit deze figuur kunnen halen en geef een argument dat tegenstanders uit de figuur kunnen halen.
   

 
Nederland heeft ongeveer 16 miljoen inwoners, de Verenigde Staten ongeveer 295 miljoen.
     
5p. 7. Bereken met behulp van bovenstaande figuur hoeveel keer zo groot het jaarlijks aantal sterfgevallen door vuurwapens in de Verenigde Staten is vergeleken met Nederland.
   

 
In 2005 heeft de bevolking van Brazilië zich in een referendum uitgesproken tegen het beperken van de verkoop van vuurwapens. En dat terwijl er in dit land met 180 miljoen inwoners jaarlijks zo’n 40 000 mensen sterven door
vuurwapengebruik. Ga ervan uit dat Brazilië op de trendlijn ligt, zodat je gebruik kunt maken van het
evenredige verband tussen S en V.
     
5p. 8. Bereken met behulp van dit evenredige verband het totaal aantal vuurwapens in Brazilië.
   

 
Motivatietest
     
Waarschijnlijk heb je wel eens een vragenlijst ingevuld om te bepalen hoe gemotiveerd je bent voor bijvoorbeeld je schoolwerkzaamheden. In zo’n vragenlijst kun je aangeven in hoeverre je het met een aantal stellingen over dit onderwerp eens bent. Je antwoorden kunnen variëren van ‘helemaal mee eens’ tot ‘helemaal mee oneens’. De antwoorden die je geeft worden omgezet in een score en die bepaalt hoe je motivatie is, bijvoorbeeld ‘iets boven gemiddeld’. De aldus verkregen scores zijn bij benadering normaal verdeeld. De scores zijn in negen categorieën verdeeld, van ‘zeer zwak’ tot ‘zeer sterk’. De categorieën zijn een halve standaardafwijking breed (behalve de buitenste twee), waarbij het gemiddelde in het midden van de 5e categorie ligt. Zie onderstaande figuur.
In deze figuur  staat m voor het gemiddelde en s voor de standaardafwijking. Aan je score kun je zien in welke categorie je zit, en daarmee weet je hoe gemotiveerd je bent.
     

     
In de figuur kun je bijvoorbeeld zien dat je in categorie 7 zit als je score meer dan 0,75 keer, maar minder dan 1,25 keer de standaardafwijking boven het gemiddelde zit. Je scoort dan ‘ruim boven gemiddeld’.

In deze opgave bekijken we een vragenlijst over motivatie, waarbij de gemiddelde score 7,8 is en de standaardafwijking 3,4. Dus m = 7,8 en s = 3,4.
Bas heeft bij deze vragenlijst een score van 4,2.
     
3p. 9. In welke categorie zit Bas? Licht je antwoord toe.
   

 
In de figuur staat dat 7% van de scores in categorie 8 ligt. Dit percentage is afgerond.
     
3p. 10. Bereken dit percentage in één decimaal.
   

 
Met behulp van de figuur is na te gaan welke score je minstens moet hebben om in de categorieën 8 of 9 te komen. Je zit dan bij de beste 11%. Welke score je minstens moet hebben om bij de beste 20% te zitten, kun je niet uit de figuur halen. Je kunt deze score wel berekenen.
     
4p. 11. Bereken deze score.
   

 
In verband met een item van een actualiteitenprogramma over de motivatie voor school onder de schooljeugd wordt aan 25 willekeurige scholieren gevraagd om de vragenlijst over dit onderwerp in te vullen. Uit de figuur is te herleiden dat de kans dat een willekeurige leerling ‘zwak’ of ‘zeer zwak’ scoort gelijk is aan 0,11.
     
3p. 12. Bereken de kans dat geen van deze scholieren ‘zwak’ of ‘zeer zwak’ scoort.
   

 
4p. 13. Bereken de kans dat 6 of meer leerlingen ‘zwak’ of ‘zeer zwak’ scoren.
   

 
Volumes
     
Een opgeblazen papieren zak heeft,  net als een kussen, een speciale vorm. Pas in 2004 is er een formule gevonden waarmee het volume van die vorm kan worden berekend.

Van een platte rechthoekige zak of kussen noemen we de kortste zijde a (in dm) en de langste zijde b (in dm). Zie de figuur hiernaast. Het volume V (in liter) van de opgeblazen zak of het kussen kan dan berekend worden met de formule:

V = a3 • (0,142 • 0,1r + 0,318 • r − 0,142)

Hierin is r de verhouding tussen de zijden: r = b/a

Een bedkussen heeft afmetingen van 4 dm bij 6 dm.

       
3p. 14. Bereken het volume van dit kussen.
     
Voor een vierkant kussen met zijden a kan bovenstaande formule vereenvoudigd worden tot V =  0,1902 • a3 .
     
3p. 15. Toon dit aan
   

 
Een kussen met een kortste zijde van 3,5 dm heeft hetzelfde volume als een vierkant kussen van 5 bij 5 dm.
     
5p. 16. Bereken de langste zijde van dat kussen.
   

 
Ook voor vuilniszakken bestaat er een formule om het volume te berekenen. Een volle vuilniszak wordt bovenaan dichtgeknoopt en krijgt daardoor ook een bijzondere vorm. Zie de foto hiernaast.
Het volume V (in liter) wordt berekend met:
 
 

Hierin zijn a en b de kortste en de langste zijde (in dm) van een platte, rechthoekige vuilniszak en is x de hoogte van de knoopstrook (in dm).

Een vuilniszak met een korte zijde van 6 dm en een knoopstrook van 0,5 dm heeft een volume van 52 liter.
     
4p. 17. Bereken de lange zijde b van de vuilniszak.
   

 
Voor vuilniszakken met een korte zijde van 5 dm en een lange zijde van 7,5 dm is het volume lineair afhankelijk van de knoopstrook x. De formule voor het volume van een vuilniszak is dus te schrijven in de vorm V = p • x + q.
     
4p. 18. Herleid de formule tot deze vorm.
   

 
Datingshow
     
In een datingshow op televisie maken drie jongens (Richard, Sander en Tim) en drie meisjes (Kathy, Lisa en Maaike) kennis met elkaar. Tijdens de show geven ze antwoord op allerlei vragen van de presentator. Op deze manier komen ze iets over elkaar te weten. Na beantwoording van de vragen kiest elke jongen één meisje en elk meisje één jongen, zonder te laten zien wie ze kiezen. Na afloop worden de keuzes bekendgemaakt en wanneer een jongen en een meisje elkaar hebben gekozen, hebben ze een kort, luxueus reisje gewonnen om elkaar (nog) beter te leren kennen.

In deze opgave gaan we ervan uit dat de jongens en de meisjes willekeurig kiezen, dus ieder heeft een even grote kans om gekozen te worden. Dan is de kans dat een jongen een bepaald meisje kiest dus 1/3 .

Maaike is bang dat alle televisiekijkers zien dat ze door niemand wordt gekozen. Ze vraagt zich af hoe groot de kans is dat minstens één van de drie jongens haar kiest.
     
4p. 19. Bereken deze kans.
   

 
De organisator van de datingshow moet de kosten van de show in de gaten houden. De luxueuze reisjes zijn erg duur. Toch is het mogelijk dat er in de show drie reisjes worden gewonnen, omdat er drie ‘stelletjes’ zijn die elkaar gekozen hebben. Dit kan op verschillende manieren gebeuren. Eén daarvan is: Richard en Kathy kiezen elkaar, Sander en Lisa kiezen elkaar en Tim en Maaike kiezen elkaar.
     
3p. 20. Schrijf alle mogelijke manieren op waarbij er precies drie stelletjes gevormd worden.
     
Het kost de organisatie elke keer 4000 euro wanneer er door een stelletje een reisje wordt gewonnen. Je kunt berekenen hoe groot de kans is dat er in de show stelletjes worden gekozen. Deze kansen staan in de volgende tabel.
     
aantal stelletjes 0 1 2 3
kans 156/729 423/729 144/729 6/729
     
4p. 21. Bereken de verwachtingswaarde van het bedrag dat de organisatie per show kwijt is aan reisjes.
   

 
Het is gunstig voor de kijkcijfers als er in elke show één of meer stelletjes worden gevormd. In de tabel zie je dat dit niet altijd het geval is.
     
4p. 22. Bereken de kans dat in de eerste drie shows van het seizoen in totaal slechts één stelletje wordt gevormd.
   

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. de diameter is 14 inch en dat is 14 • 2,54 = 35,56 cm.
de hoogte is 18,5 cm en de breedte is daar 65% van; dat is 0,65 • 18,5 = 12,025 cm.
de totale hoogte is de diameter van de velg plus tweemaal de bandhoogte, dus dat is 35,56 + 2 • 12,025 = 59,61 cm.
Dat is inderdaad ongeveer 60 cm.
   
2. 145 tm 215 in stappen van 10 zijn  8 mogelijkheden (145, 155, 165, 175, 185, 195, 205, 215)
voor de diameter zijn er 3 mogelijkheden
voor de breedte zijn er 4 mogelijkheden  (65, 70, 75, 80)
in totaal geeft dat 8 • 3 • 4 = 96 mogelijkheden.
   
3. een toename DLI van 5 geeft een toename van het draagvermogen van 125 (925 - 800)
hoeveel geeft dan een toename van DLI = 3? Maak een verhoudingstabel:
 
toename LI 5 3
toename draagvermogen 125 ??

?? = 3 • 125/5 = 75
Het draagvermogen is dus 800 + 75 = 875 kg.
   
4. De groeifactor bij 5 stapjes is gelijk aan 925/800  = 1,15625
De groeifactor bij 1 stapje is dan  (1,15625)1/5 = 1,029462
De groeifactor bij 3 stapjes (van 100 naar 103) is dan  1,0294623 = 1,091016
Dan is het draagvermogen bij LI = 103 gelijk aan  800 • 1,091016 = 872,8 kg.
   
5. De bandhoogte was  60% van  20,5 cm en dat is  0,60 • 20,5 = 12,3 cm.
De diameter van de band was dus  16 • 2,54 + 2 • 12,3 = 65,24 cm
 
De nieuwe bandhoogte is 45% van 24,5 cm en dat is 0,45 • 24,5 = 11,0 cm
de diameter van de nieuwe band is  65,24, dus de diameter van de velgen is 65,24 - 2 • 11,0 = 43,24 cm.
dat is  43,24/2,54 = 17 inch.
   
6. tegenstanders:  de trendlijn stijgt, dus gemiddeld hoe meer wapens, des te meer sterfgevallen.

voorstanders: er zijn genoeg uitzonderingen. Elk koppeltje landen waar het eerste land linksboven het tweede land ligt betekent dat er in het tweede land meer wapens zijn maar minder sterfgevallen dan in het eerste. Het meest extreme voorbeeld is misschien Finland en de Verenigde Staten (Noorwegen en Frankrijk kan bijv. ook)
   
7. Nederland heeft 1 sterfgeval per 100000 inwoners en 16000000 inwoners.
Dat zijn  16000000/100000 • 1 = 160 sterfgevallen

Verenigde Staten hebben 13,6 sterfgevallen per 100000 inwoners en 295000000 inwoners.
Dat zijn  295000000/100000 • 13,6 = 40120 sterfgevallen

Dus er zijn in de VS  40120/160 = 251 maal zoveel sterfgevallen.
   
8. Kies een willekeurig punt van de trendlijn, bijvoorbeeld (50, 10)
Dan is Δy/Δx = 10/50 = 0,2
De formule van de trendlijn is dus  S = 0,2V
In Brazilië zijn er 40000 sterfgevallen per 180000000 inwoners,
dus S = 40000/180000000 • 100000 = 22,22
22,22 = 0,2V  geeft  V = 22,22/0,2 = 111,1 per 1000 inwoners
Het aantal vuurwapens is dan  180000000/1000 • 111,1 = 20 miljoen
   
9. De afstand van Bas tot het midden is  7,8 - 4,2 = 3,6
Een standaarddeviatie is 3,4 dus zijn afstand is  3,6/3,4 = 1,06 standaarddeviaties.
Dat zit tussen de m + 0,75s  en  m + 1,25s  dus hij zit in categorie 3.
   
10. m + 1,25s = 7,8 + 1,25 • 3,4 = 12,05
m + 1,75s = 7,8 + 1,75 • 3,4 = 13,75
Dat geeft de klokvorm hiernaast (schaalverdeling klopt niet)
De gevraagde oppervlakte is 
normalcdf(12.05, 13.75, 7.8, 3.4) = 0,066
Dat is dus ongeveer 6,6%

   
11. De klokvorm hiernaast geldt.
Daarin zie je dat moet gelden 
normalcdf(?, 1000..., 7.8, 3.4) = 0,20

GR:  Y1 = normalcdf(X, 10000000, 7.8, 3.4)
Y2 = 0,20 en dan intersect.
Dat geeft  X =10,7

Je moet dus minstens 10,7 halen.

   
12. De kans dat je NIET zwak of zeer zwak scoort is  1 - 0,11 = 0,89
De kans op 25 NIET zwak of zeer zwak is dan  0,8925  = 0,054
   
13. Noem X het aantal leerlingen dan zwak of zeer zwak scoort.
Dan is X binomiaal verdeeld met n = 25
De kans op succes is per keer  p = 0,11
P(X ≥ 6) = 1 - P(X ≤ 5) = 1 - binomcdf(25, 0.11, 5) = 0,05
   
14. r  = 6/4 = 1,5
V = 43 • (0,142 • 0,11,5 + 0,318 • 1,5 - 0,142) = 21,73
Dat is ongeveer 22 liter
   
15. Als a = b  dan is  r = 1
invullen:  V = a3 • (0,142 • 0,11 + 0,138 • 1 - 0,142)
Het gedeelte tussen haakjes is gelijk aan 0,1902
   
16. Voor het vierkante kussen geldt:  V = 0,1902 • 53 = 23,775 liter
Voor het rechthoekige kussen geeft dat:
23,775 = 3,53 • (0,142 • 0,1r + 0,318 • r - 0,142)
Invoeren in de GR:  Y1 = 23,775  en Y2 = 3,53 • (0,142 • 0,1^X + 0,318X - 0,142)
Intersect levert dan X = 2,19
Als r = 2,19 dan is  b/a = 2,19 dus  b/3,5 = 2,19  dus  b = 2,19 • 3,5 = 7.7 dm
   
17. a = 6 en x = 0,5 en V = 52  invullen geeft  52 = 63 • ((b - 0,5)/3,142 • 6  - 0,159)
in de GR:  Y1 = 52  en  Y2 =     63 • ( (X - 0,5)/(3,142 • 6)  - 0,159)   (denk aan de haakjes om 3,142 • 6)
Intersect geeft X = b = 8,036  dm
   
18.

dat is gelijk aan 125 • 0,3184 - 125 • 0,0637x = 39,8 - 7,96x
   
19. P(een jongen kiest Maaike niet) = 2/3
P(niemand kiest Maaike) = (2/3)3 = 8/27
P(minstens één kiest Maaike wel) = 1 - 8/27 = 19/27
   
20. RK  SL  TM
RK  SM  TL
RL  SM  TK
RL  SK  TM
RM  SK  TL
RM  SL  TK
   
21. voor het aantal stelletjes is de verwachtingswaarde:
0 • 156/729  + 1 • 423/729 + 2 • 144/729 + 3 • 6/729 = 1
Dat betekent een verwachtingswaarde van 4000 euro.
   
22. dan moet er in één show 1 stelletje en in de andere twee shows geen stelletje komen.
één manier is  (één - nul - nul) met kans  423/729 • 156/729 • 156/729 = 0,02657
er zijn drie zulke mogelijkheden dus de totale kans wordt  3 • 0,02657 = 0,0797