HAVO WA, 2015 - II

 

Beter spellen en rekenen.
       
De website beterspellen.nl werd in 2011 door duizenden deelnemers regelmatig bezocht. Op deze site kun je oefenen met de spelling van de Nederlandse taal. Elke week kun je een score van 100 punten behalen. Juliette was een van de deelnemers. Zij heeft van een aantal weken haar resultaten bijgehouden. In de figuur zijn de scores van Juliette aangegeven, evenals de gemiddelde score van alle deelnemers.
       

       
Er is een week waarin de score van Juliette procentueel het meest afwijkt van de gemiddelde score van alle deelnemers. Dit is het geval in week 17 of 22.
       
3p. 1. Onderzoek in welke van deze twee weken de procentuele afwijking het grootst is en bereken deze maximale procentuele afwijking.
     

 
Op basis van bovenstaande gegevens neemt Juliette het volgende aan: de kans dat in een willekeurige week haar score hoger is dan het gemiddelde van alle deelnemers is gelijk aan 7/11 . Zij vraagt zich af hoe groot de kans is dat zij dan in de komende periode van 11 weken weer precies 7 keer boven het gemiddelde scoort.
       
3p. 2. Bereken deze kans.
     

 
Juliette oefende in dezelfde weken ook met rekenen op de website beterrekenen.nl. Haar resultaten staan in de tabel.
       
week 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
gemiddelde score 82 77 86 85 81 87 75 83 80 84 84
score van Juli๋tte 95 85 80 95 85 95 85 80 85 80 90
       
3p. 3. Onderzoek in hoeveel weken Juliette bij rekenen onder het gemiddelde, maar tegelijkertijd bij spellen boven het gemiddelde scoorde.
       
Op de website beterrekenen.nl kunnen de deelnemers elke werkdag, dus 5 keer per week, een test maken die uit 4 vragen bestaat. Soms is zo’n vraag een open vraag, maar meestal is het een meerkeuzevraag. Er zijn dan 4 antwoorden mogelijk.

De wiskundeleraar van Lotte verplicht zijn leerlingen elke week de vragen op de website te beantwoorden. Hij verwacht van zijn leerlingen dat zij meer dan de helft van de vragen goed beantwoorden. In een bepaalde week zijn alle vragen meerkeuzevragen. Lotte vindt het beantwoorden van de vragen vervelend werk en besluit alle vragen van die week geheel op de gok in te vullen.
       
4p. 4. Bereken de kans dat zij meer dan de helft van de vragen correct beantwoordt.
     

  
Maagbandje.
       
In de periode 1981–2004 zijn volwassen Nederlanders gemiddeld een stuk dikker geworden. Vooral het aantal mensen met obesitas, extreem overgewicht, is enorm toegenomen. Zie de volgende tabel.
       

jaar

 aantal
volwassen
mannen		 % volwassen
mannen met
obesitas		 aantal
volwassen
vrouwen		 % volwassen
vrouwen met
obesitas
1981 5056000 4% 5033000 6%
2004 6211000 10% 6452000 12%
       
4p. 5. Bereken met hoeveel procent het aantal volwassen mannen met obesitas in 2004 is toegenomen ten opzichte van 1981.
     

 
De Body Mass Index (BMI) geeft aan of iemand een gezond gewicht heeft of niet. Bij een BMI van 18,5 tot 25 is er sprake van een gezond gewicht. Bij hogere waarden dan 25 is er sprake van overtollige BMI. Mensen met obesitas hebben een BMI vanaf 35, dus een overtollige BMI van minimaal 10.
Het is beter voor de gezondheid dat mensen met obesitas afvallen. Als dat niet lukt, kan plaatsing van een maagbandje een oplossing zijn. Door het maagbandje wordt de maag verkleind, zodat men minder kan eten.

Een ziekenhuis heeft bij 267 personen, 39 mannen en 228 vrouwen, een maagbandje geplaatst en het effect ervan onderzocht. Bij dit onderzoek berekende men voor alle personen het VOB (Verliespercentage Overtollige BMI) twee jaar na plaatsing van het maagbandje.
Bijvoorbeeld: een man met een BMI van 45 heeft een overtollige BMI van 20. Als zijn BMI na twee jaar gedaald is van 45 naar 40, is hij van zijn overtollige BMI 5 kwijtgeraakt. Zijn VOB is dan 5/20•100(%) = 25(%).
Het VOB kan ook negatief zijn; dan is de BMI gestegen. In onderstaande tabel staan de onderzoeksresultaten.
       
    mannen vrouwen
aantal personen 39 228
v๓๓r plaatsen
maagbandje		 laagste BMI 36,2 36,1
hoogsteBMI 60,1 69,0
twee jaar na plaatsen
maagbandje		 laagste VOB 9,4 (%) -10,0 (%)
hoogste VOB 80,4 (%) 97,8 (%)
       
De vrouw die v๓๓r plaatsing van het maagbandje de hoogste BMI had, bleek twee jaar daarna een VOB van 58(%) te hebben.
       
4p. 6. Bereken haar BMI twee jaar na plaatsing van het maagbandje.
     

 
Iemand concludeert op grond van de tabel: "Het is in deze groep mensen niemand gelukt om na twee jaar een gezond gewicht te hebben."
       
3p. 7. Leg uit of deze conclusie juist is.
     

 
We gaan ervan uit dat het VOB in deze groep normaal verdeeld is met een gemiddelde van 46 en een standaardafwijking van 21.

De personen worden op grond van hun VOB ingedeeld in verschillende klassen. De klasse met het hoogste VOB blijkt precies 35 van de 267 personen te bevatten.
       
4p. 8. Bereken vanaf welk VOB iemand in deze klasse valt.
     

 
Bij 7 personen uit het onderzoek is het VOB negatief. Volgens de normale verdeling zouden dit minder dan 7 personen moeten zijn.
       
4p. 9. Bereken hoeveel personen dit volgens de normale verdeling zouden moeten zijn.
     

  

 

Gordijnen.
       
Veel mensen hebben geplooide gordijnen voor de ramen hangen. Om zo’n gordijn te maken, heb je gordijnstof nodig. Deze wordt verkocht in verschillende stofbreedtes. In veel gevallen is de gordijnstof niet breed genoeg om er een passend gordijn mee te maken. Daarom wordt er vaak eerst een rechthoekige lap van gemaakt door meerdere banen gordijnstof aan elkaar te naaien. Daarna worden de plooien gemaakt en wordt het geheel afgewerkt tot een gordijn, waarbij de banen altijd verticaal komen te hangen. Zie de figuur.
       

       
Om een gordijn met een bepaalde breedte te kunnen maken, is het nodig dat de oorspronkelijke lap minimaal 2 en maximaal 2,5 keer zo breed is als het uiteindelijke gordijn. Deze verhouding noemen we de plooiverhouding.

Gerard maakt een gordijn van ้้n baan gordijnstof met een stofbreedte van 140 cm. Hij wil dat het gordijn zo breed mogelijk wordt.
       
2p. 10. Bereken de maximale breedte van het gordijn.
     

 
In de vorige vraag wordt geen rekening gehouden met het afwerken van de zijkanten van het gordijn. Toch is dat wel nodig. Ook bij het aan elkaar zetten van de banen gaat gordijnstof verloren. In de ateliers waar gordijnen worden gemaakt, gebruikt men de volgende formule om het aantal banen te berekenen:
       

       
Hierin is B het aantal banen, G de breedte van het gordijn in cm, S de stofbreedte in cm en P de plooiverhouding. In de ateliers rekent men altijd met een geheel aantal banen; men rondt B altijd naar boven af om niet te weinig te hebben.

In een atelier moet men een gordijn maken van 275 cm breed. De stofbreedte is 140 cm en men gebruikt de plooiverhouding 2,5.
       
3p. 11. Bereken het benodigde aantal banen.
     

 
Voor de afwerking van het gordijn aan de  boven- en onderkant wordt in totaal 30 cm per baan gerekend. Als het gordijn bijvoorbeeld 100 cm hoog moet worden, is er dus 130 cm gordijnstof per baan nodig.

Karen laat een gordijn maken met een breedte van 280 cm, een hoogte van 170 cm en een plooiverhouding 2. Ze heeft hiervoor een gordijnstof gekozen met een stofbreedte van 90 cm. Deze stof kost €12,95 per strekkende meter. Zie de figuur.

Het atelier rekent alleen de kosten van de gordijnstof, het maken is bij de prijs inbegrepen.

     
4p. 12. Bereken hoeveel Karen voor het gordijn moet betalen.
   

 
Bij een plooiverhouding van 2,5 kan de formule van B tot  G =  0,4B • (S - 7) worden herleid.
     
4p. 13. Geef deze herleiding.
   

  

  

 

Inzamelingsactie.
       
Steeds meer verenigingen moeten tegenwoordig zelf geld inzamelen. Voetbalvereniging Oranje Nassau heeft voor groot onderhoud een bedrag van 5000 euro nodig. De vereniging doet daarom een oproep om een inzamelingsactie te bedenken. Het B1-team heeft een kraskaartenactie bedacht. Hun kraskaart bevat 25 vakjes met in elk vakje een geldbedrag van € 0,50, € 1,00 of € 2,50. Welk bedrag er in een vakje staat, is niet te zien doordat elk vakje bedekt is met een kraslaagje waarop een voetbal staat afgebeeld. Zie de figuur.
Door een vakje open te krassen verschijnt er een geldbedrag. Een donateur kan een of meerdere vakjes openkrassen en betaalt vervolgens het totale bedrag dat hij opengekrast heeft.

 
Op alle kaarten staan de volgende bedragen onder de kraslaagjes: 4 ื € 2,50, 9 ื € 1,00 en 12 ื € 0,50. Wat de deelnemers niet weten, is dat de bedragen van € 2,50 op elke kaart in de vier hoekvakjes geplaatst zijn. De overige bedragen staan willekeurig verdeeld over de vakjes.

     
3p. 14. Bereken hoeveel verschillende kaarten gemaakt kunnen worden.
   

 
Joost is de keeper van het B1-team. Op zijn verjaardag legt hij de actie uit aan familieleden. Oma wil eerst wel eens weten wat het haar zou kunnen kosten als ze drie vakjes open zou krassen. Er zijn verschillende mogelijkheden voor het bedrag dat dit oma zou kunnen kosten.
       
3p. 15. Geef al deze mogelijkheden.
     

 
Opa vindt dat oma te lang treuzelt en besluit op een nieuwe kaart van Joost willekeurig vier vakjes open te krassen.
       
5p. 16. Bereken de kans dat opa na het openkrassen van vier vakjes precies € 4,00 moet betalen.
     

 
De aanwezige familieleden besluiten om mee te doen met de actie. Ze krijgen van Joost allemaal een nieuwe kaart en spreken af dat ze, ieder voor zich, net zo lang op een willekeurige manier vakjes open zullen krassen totdat ze een bedrag van ten minste € 4,00 bij elkaar gekrast hebben.
Sommigen zullen slechts twee of drie vakjes open hoeven krassen, anderen zullen wat meer vakjes open moeten krassen. Vaker dan acht keer is zeker niet nodig. In de tabel staat de kansverdeling van het aantal vakjes dat moet worden opengekrast totdat er een bedrag van ten minste € 4,00 bij elkaar gekrast is.
       
aantal vakjes 1 2 3 4 5 6 7 8
kans 0 0,020 0,287 0,230 0,215 0,202 ...... 0,002
       
De kans dat iemand 8 vakjes open moet krassen is heel klein. In de tabel kun je aflezen dat de kans hierop, afgerond op drie decimalen, 0,002 is.
       
4p. 17. Bereken deze kans in vier decimalen nauwkeurig.
     

 
Door eerst de ontbrekende kans in de tabel te berekenen, kun je vervolgens de verwachtingswaarde berekenen van het aantal vakjes dat door een familielid opengekrast wordt.
       
4p. 18. Bereken deze verwachtingswaarde. Rond je antwoord af op ้้n decimaal.
     

  

 

Flitsleningen.
       
Geld lenen kost geld. Soms kost het heel veel geld. Vooral als je direct een paar honderd euro nodig hebt. In dit soort situaties kun je een flitslening nemen. Je leent een niet al te groot geldbedrag en betaalt dit na een korte periode terug.

Er bestaan verschillende websites waar je geld kunt lenen. Op de website flitsmoney.nl staat dat er geen rente wordt berekend. Je hoeft alleen behandelingskosten te betalen. Zie de volgende tabel.
       
te lenen bedrag (in euro) behandelingskosten (in euro)
100,00 25,00
250,00 62,50
300,00 75,00
375,00 93,75
       
Als je bijvoorbeeld € 100,00 wilt lenen, krijg je dit geld binnen 10 minuten op je bankrekening. Dit bedrag moet samen met de € 25,00 behandelingskosten na 30 dagen worden terugbetaald.

Er is bij Flitsmoney een (recht) evenredig verband tussen het totaal terug te betalen bedrag en het te lenen bedrag.
       
4p. 19. Laat dit met berekeningen zien. Controleer hiervoor alle waarden in de tabel.
     

 
Iemand leent bij Flitsmoney een bedrag van €250,00. Hij heeft dus een schuld van €250,00. Na 30 dagen is die schuld opgelopen tot €312,50. Als je uitgaat van exponenti๋le groei, kun je berekenen dat de schuld dagelijks met ongeveer 0,75% groeit.
       
4p. 20. Bereken dit percentage in drie decimalen nauwkeurig.
     

 
Zo’n flitslening is duur. Een schuld die dagelijks 0,75% groter wordt, zou na een jaar fors gegroeid zijn.
       
4p. 21. Bereken het groeipercentage per jaar.
     

 
Op de website supersnelcash.nl kun je ook geld lenen. Het verschil met Flitsmoney is dat Supersnelcash het door jou aangegeven bedrag direct vermindert met de behandelingskosten. Je moet dus een hoger bedrag aangeven dan het bedrag dat je echt wilt lenen.
In onderstaande tabel zie je bijvoorbeeld dat je maar €243,90 op je bankrekening krijgt als je een bedrag van €300,00 aangeeft. Supersnelcash rekent hiervoor namelijk €56,10 aan behandelingskosten. Deze behandelingskosten zijn (recht) evenredig met het geleende bedrag. Daarnaast stuurt Supersnelcash je een sms’je ter bevestiging. Dat sms’je kost je nog eens €1,50. De totale kosten K zijn in dit voorbeeld dus €57,60.
       
aangegeven
bedrag
(in euro)		 bedrag L dat
geleend wordt
(in euro)		 behandelingskosten
(in euro)		 kosten sms'je
(in euro)
100,00 81,30 18,70 1,50
300,00 243,90 56,10 1,50
400,00 325,20 74,80 1,50
500,00 406,50 93,50 1,50
       
Er is bij Supersnelcash een lineair verband tussen de totale kosten K in euro en het geleende bedrag L in euro dat de klant op zijn bankrekening krijgt.
Er geldt dus: K =  a  • L  + b
       
4p. 22. Bereken a en b. Rond je antwoorden zo nodig af op twee decimalen.
     

  

 

UITWERKING
   
Het offici๋le (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. week 17:  Juliette 95,  gemiddelde 80 dus afwijking  15 en dat is  15/80 • 100% = 18,75%
week 22:  Juliette 90, gemiddelde 75 dus afwijking 15 en dat is  15/75 • 100% = 20%
Dus in week 22 is de procentuele afwijking het grootst.
   
2. Het aantal keren boven de gemiddelde score is binomiaal verdeeld met n = 11 en p = 7/11.
P(77 keer) = P(X = 7) = binompdf(11, 7/11, 7) = 0,2438

OF
้้n mogelijkheid is WWWWWWWNNNN  met kans  (7/11)7 • (4/11)4
er zijn  11 nCr 7 = 330 zulke rijtjes, dus de totale kans is  330 •  (7/11)7 • (4/11)4
   
3. De score bij Juliette voor rekenen is lager dan de gemiddelde score in de weken 14, 19 en 21.
In week 14 is de score bij spellen lager dan de gemiddelde, in de weken 19 en 21 is de score bijspellen hoger dan de gemiddelde score.
Dat zijn dus twee weken.
   
4. De kans op een goed antwoord bij willekeurig invullen is per vraag 1/4.
Het aantal goede antwoorden is binomiaal verdeeld met n = 20
P(X > 10) = 1 - P(X ≤ 10) = 1 - binomcdf(20, 0.25, 10) = 0,0039
   
5. 1981:  4% van 5056000 is  0,04 • 5056000 =202240 mannen
2004:  10% van 6211000 is  0,10 • 6211000 = 621100 mannen
Dat is een toename van 418860 en dat is  418860/202240 • 100% = 207,11%
   
6. De vrouw had een BMI van 69,1 dus haar overtollige BMI was  69,1 - 25 = 44,1
58% daarvan is  0,58 • 44,1 = 25,578
Haar nieuwe overtollige BMI is dus 25,578 dus haar BMI is 69 - 25,578 = 43,522
   
7. Voor een gezond gewicht zal het totale overtollige BMI weg moeten zijn
Dus moet er een afname van 100% zijn.
De hoogste afname is 97,8%, dus de conclusie klopt:  niemand heeft na 2 jaar een gezond gewicht.
   
8. 35 van de 267 personen is  35/267 = 0,1311ste deel
normalcdf(X, 1099, 46, 21) = 0,1311
Y1 = normalcdf(X, 10^99, 46,21)
Y2 = 0,1311
intersect levert X =  69,54
Met een gewicht vanaf 69,54 kg valt iemand in deze klasse.
   
9. normalcdf(-1099, 0, 46, 21) = 0,0142
Dat zouden dus  0,0142 • 267 = 3,8 mensen zijn, dus ongeveer 4 mensen.
   
10. Het gordijn wordt zon breed mogelijk als de plooiverhouding zo klein mogelijk is, dus gelijk aan 2.
Dan is de breedte 140/2 = 70 cm.
   
11. G = 275,  S = 140,  P = 2,5
invullen:  B = 275/(140 - 7) • 2,5 = 5,2
Er zijn dus 6 banen nodig.
   
12. G = 280, S = 90 en P = 2  geeft  B = 280/(90 - 7) • 2 = 6,74 dus er zijn 7 banen nodig.
Elke baan heeft hoogte 170 + 30 = 200 cm = 2 m
Dat kost dan  per baan  2 • 12,95 = 25,90
De totale kosten voor 7 banen zijn dan 7 • 25,90 = €181,30   
   
13. B = G/(S - 7) • 2,5
B = 2,5G/(S - 7)
B(S - 7) = 2,5G
1/2,5 • B(S - 7) = G
0,4B(S - 7) = G
   
14. Voor het plaatsen van de bedragen van 1,00 moet je dus 9 hokjes kiezen uit de 21 (de hoeken zijn al bezet)
Dat kan op  (21 nCr 9) = 293930 manieren
   
15. Ze kan 0,50 of 1,00 of 2,50 openkrassen
Het laagst mogelijke bedrag is  3 • 1,50 = 4,50
Het hoogst mogelijke bedrag is  3 • 2,50 = 7,50
Omdat ze vakjes van 0,50 kan openkrassen zijn alle tussenligende bedragen met stapjes van 0,50 mogelijk.
Dat zijn de bedragen 4,50 en 5,00 en 5,50 en 6,00 en 6,50  en  7,00 en 7,50
   
16. Precies 4,00 kan op de volgende twee manieren:
1,00 - 1,00 - 1,00 - 1,00
2,50 - 0,50 - 0,50 - 0,50

De kans op de eerste is  9/25 • 8/24 • 7/23 • 6/22 = 0,00996

De kans op de tweede is  4/25 • 12/24 • 11/23 • 10/22 = 0,01739 maar dat kan op  4 nCr 1 = 4 verschillende volgorden, dus dat geeft kans 4 • 0,01739 = 0,06956

De totale kans op 4,00 wordt dan  0,06956 + 0,00996 = 0,07952
   
17. Acht vakjes kan alleen als er eerst zeven keer 0,50 wordt opengekrast.
De kans daarop is  12/25 • 11/24 • 10/23 • 9/22 • 8/21 • 7/20 • 6/19 = 0,0016
   
18. Alle kansen samen moeten 1 zijn  (immers 100%)
Dus de overblijvende kans is 1 - 0,020 - 0,287 - 0,230 - 0,215 - 0,202 - 0,002 = 0,044

De verwachtingswaarde is dan
1 • 0 + 2 • 0,020 + 3 • 0,287 + 4 • 0,230 + 5 • 0,215 + 6 • 0,202 + 7 • 0,044 + 8 • 0,002  = 4,4 vakjes
   
19. Als het recht evenredig is, dan is y = ax  dus  y/x = a en is dus steeds constant.
De totale kosten zijn achtereenvolgens  125 - 312,50 - 375 - 468,75
Dat geeft voor y/x de waarden:  125/100 en  312,50/250  en  375/300 en 468,75/375
Dat is allemaal gelijk (aan 1,25) dus er is inderdaad sprake van een recht evenredig verband.   
   
20. Voor exponenti๋le groei geldt  y = B • gx
De gegevens invullen:   312,50 = 250 • g30
g30 = 312,50/250 = 1,25
g = 1,25(1/30) = 1,00747
Dat is een groei van 0,747%
   
21. g = 1,0075 en t = 365 (dagen)
Neem beginhoeveelheid 100
y = 100 • 1,00765365 = 1529,13
Van 100 naar  1529,13  dat is een groei van  1429,13 %
   
22. Kies twee koppeltjes van K en L die bij elkaar horen.
Bijvoorbeeld  K = 57,60 en L = 243,90  die al gegeven is.
L = 81,30 geeft  K = 18,70 + 1,50 = 20,20
We zoeken een rechte lijn door de punten (243.90, 57.60) en (81.30, 20.20)

a = Δy/Δx =  (57,60 - 20,20)/(243,90 - 81,30) = 37,40/162,60 = 0,23

bijv,  (81.30, 20.20) invullen geeft dan   20,20 = 0,23 • 81,30 + b
20,20 = 18,699 + b
b = 1,501
Dus   a = 0,23 en b = 1,50