HAVO WB1,   2000 - II
Temperatuurverloop
Het verloop van de temperatuur kan gedurende de 24 uren van de dag nogal grillig zijn. In vereenvoudigde vorm is het temperatuurverloop gedurende een dag redelijk te benaderen door een sinusoïde met een periode van 24 uur.
Het KNMI hanteert voor De Bilt voor de dagen in de maand juni de volgende waarden: de maximumtemperatuur is 21,0 ºC, deze wordt bereikt om 3 uur 's middags; de minimumtemperatuur is 12,2 ºC.
T is de temperatuur in graden Celsius op een dag in juni en u het aantal uren na middernacht.
4p 1. Teken de grafiek van het verband tussen T en u.
4p 2. Stel een formule op van het verband tussen T en u.

 
Voor een dag in april geldt bij benadering de volgende formule voor het verband tussen T en u:
5p 3. Bereken hoe lang het volgens deze formule op een dag in april warmer is dan 10 ºC. Rond je antwoord af op een geheel aantal minuten.
Op een bepaald moment op de dag is de temperatuurstijging het sterkst.
5p 4. Hoe groot is volgens de bovenstaande formule die sterkste stijging van de temperatuur? Geef je antwoord in ºC per minuut. Licht je antwoord toe.

 
Melkpakken vullen
In een zuivelfabriek worden literpakken melk gevuld.
Op een zekere dag wordt van alle pakken melk die het eerste kwartier worden geproduceerd de inhoud bepaald. De gegevens van deze metingen staan in onderstaande frequentietabel.

inhoud (ml) aantal pakken
980-985 1
985 - 990 12
990 - 995 43
995 - 1000 125
1000 - 1005 234
1005 - 1010 92
1010 - 1015 35
1015 - 1020 8
totaal 550
3p 5. Hoe groot is de gemiddelde inhoud van deze pakken? Rond je antwoord af op één decimaal.

 
Het bedrijf gebruikt ook een andere vulmachine. Van deze vulmachine is bekend dat hij de pakken vult met gemiddeld 1005 ml. De inhoud van deze pakken is normaal verdeeld met een standaardafwijking van 8 ml.
4p 6. Bereken hoeveel procent van de pakken minder dan een liter melk bevat.

 
Nieuwe richtlijnen schrijven voor dat maximaal 2% van de pakken minder dan een liter melk mag bevatten. Het gemiddelde van de machine is in te stellen in stappen van 1 ml, de standaardafwijking blijft bij elke instelling 8 ml.
5p 7. Bereken de waarde waarop het gemiddelde minstens ingesteld moet worden opdat aan de nieuwe richtlijnen voldaan wordt.

 
We gaan er bij de volgende vragen van uit dat bij een juist afgestelde machine de kans dat een pak minder dan 1 liter melk bevat 0,02 is.
Elke dag wordt er een steekproef van 10 pakken melk uit de productie van zo'n machine genomen om de instelling te controleren.
3p 8. Bereken de kans dat in zo'n steekproef precies één pak voorkomt dat minder dan een liter melk bevat. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

 
Worden in een steekproef van 10 pakken twee of meer pakken aangetroffen die minder dan een liter melk bevatten dan wordt de machine stilgezet, nagekeken en eventueel opnieuw afgesteld. Is er precies één pak met minder dan een liter melk dan wordt nog een tweede steekproef van 10 pakken genomen. Zitten er dan in de twee steekproeven samen twee of meer pakken met te weinig melk dan wordt de machine stilgelegd.

De ondernemer wil deze omslachtige manier van testen vereenvoudigen. Hij stelt voor direct een steekproef van 20 pakken te nemen. Zitten er twee of meer pakken met minder dan een liter bij dan moet de machine stilgelegd worden.
5p 9. Leidt de manier van testen die de ondernemer voorstelt vaker, minder vaak of even vaak tot het stilleggen van de machine? Licht je antwoord toe.

 
Hoge bomen
In Amerika zijn 576 verschillende soorten bomen onderzocht. Van elke soort is het hoogste exemplaar opgespoord en daarvan is de diameter van de stam op 1 meter boven de grond gemeten. Onderzocht is of er een verband bestaat tussen de diameter D (in meters) en de hoogte H (in meters) van deze bomen
Om van alle bomen de gegevens in één figuur duidelijk te kunnen weergeven is log D uitgezet tegen log H. Het resultaat is de puntenwolk van de figuur hieronder. Hierin is een rechte lijn k getekend die goed bij deze puntenwolk past.
Een van de exemplaren is in de figuur aangegeven met de letter P. Uit de figuur lees je bijvoorbeeld af dat voor deze boom geldt  log D ≈ 0,2
3p 10. Bereken de diameter op 1 meter boven de grond en de hoogte van deze boom. Rond de diameter af op een geheel aantal decimeters en de hoogte op een geheel aantal meters.
Voor een andere boom in de figuur geldt dat de hoogte 15,85 meter is en dat de diameter op 1 meter hoogte boven de grond gelijk is aan 25,1 centimeter.
4p 11. Geef in de figuur aan welke boom dit is. Geef een toelichting.
Het verband tussen D en H voor bomen in de puntenwolk kan grofweg benaderd worden door de formule die past bij lijn k. Een formule voor k is :  log D = -2 + 1,5 · log H

Een boom heeft op 1 meter hoogte een diameter van  2,5 meter.
4p 12. Bereken met behulp van de formule voor k de hoogte van deze boom. Geef je antwoord in gehele meters nauwkeurig.

 
In sommige gevallen is de hoogte van een boom met een bepaalde diameter het dubbele van wat de lijn k bij die diameter aangeeft. Voor die bomen geldt:

log D = -2,45 + 1,5 • log H
5p 13. Geef in de figuur aan bij welke bomen de hoogte meer is dan het dubbele van wat de lijn k aangeeft.

 
Niertransplantaties
Eurotransplant is een stichting die zich bezighoudt met het op elkaar afstemmen van vraag en aanbod van donororganen. Bij transplantaties ontstaan vaak afstotingsverschijnselen die onder controle gehouden moeten worden. Als iemand bijvoorbeeld een nier nodig heeft moet bij transplantatie gezorgd worden voor een donornier met weefselkenmerken die goed bij de ontvanger passen. Zo wordt de kans op afstotingsverschijnselen verminderd. Behalve op weefselkenmerken wordt ook op veel andere kenmerken gelet.

Zo worden donor en ontvanger bijvoorbeeld ook vergeleken op de volgende twee kenmerken van bloedcellen: het B-kenmerk en het L-kenmerk. Als donor en ontvanger voor een kenmerk goed bij elkaar passen zegt men dat ze 'matchen'  voor dat kenmerk.
Eurotransplant slaagt er bij niertransplantaties in om in 88% van de gevallen donor en ontvanger te matchen voor het B-kenmerk. Voor het L-kenmerk is dit 65%.

We gaan er bij de volgende vragen van uit dat de ontvanger van een donornier een kans van 0,88 heeft dat hij een nier krijgt met het juiste B-kenmerk en een kans van 0,65 dat hij een nier krijgt met het juiste L-kenmerk. Deze kenmerken komen onafhankelijk van elkaar voor.
4p 14. Toon aan dat de kans dat een ontvanger voor geen van beide kenmerken matcht met de donor ongeveer 4% is.

 
In een bepaalde maand worden in een bepaalde regio 20 niertransplantaties gepland.
5p 15. Bij hoeveel van deze niertransplantaties zal de ontvanger naar verwachting voor slechts één of geen van beide kenmerken met de donor matchen? Licht je antwoord toe.

 
5p 16. Bereken de kans dat in die maand 10 of meer van de ontvangers volledig matchen met de donoren.

 
Als donor en ontvanger voor beide kenmerken matchen is er toch nog kans dat er afstotingsverschijnselen optreden. De kans hierop is in deze situatie 25%. Als donor en ontvanger voor geen van beide kenmerken matchen is de kans op afstotingsverschijnselen 60%.

In een ziekenhuis zijn in een week vier niertransplantaties uitgevoerd. Bij twee ervan was sprake van volledig matchende donor en ontvanger; bij de twee andere was juist sprake van ontvangers die voor geen van beide kenmerken matchten met de donoren.
6p 17. Bereken de kans dat er in hoogstens één van deze vier gevallen sprake is van afstotingsverschijnselen.

 
Kelderluik
Een grote kelder kan worden afgesloten met een rechthoekig luik. De lengte AB van het luik is 5 meter. Het luik sluit het keldergat precies af. In de figuur hieronder is een model van de situatie in een zijaanzicht getekend. De uiteinden van het luik (A en B) lopen over rails CD en EC.
Bij het openen en sluiten wordt A aangedreven door een elektromotor, die A een constante snelheid geeft van 0,1 meter per seconde. We gaan er bij de volgende vragen steeds van uit dat deze snelheid onmiddellijk bij het openen en sluiten van het luik optreedt.
Het luik wordt vanuit geheel geopende stand (A valt dan samen met C en B valt dan samen met E) gesloten.
5p 18. Bereken, zonder gebruik te maken van onderstaande formule, hoeveel het punt B is gezakt 20 seconden nadat het sluiten is begonnen. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.

 
t is de tijd (in seconden) die verstreken is nadat het sluiten van het luik is begonnen. De afstand d (in meters) die het punt B dan heeft afgelegd is afhankelijk van t.
Het verband tussen d en t wordt voor elk tijdstip t met  0 < t < 50 gegeven door:
4p 19. Toon aan dat deze formule juist is.

 
Bij het sluiten van het luik is de snelheid v (in meter per seconde) van het punt B op tijdstip t gelijk aan de helling van de grafiek van d in het bijbehorende punt.
4p 20. Bereken de snelheid van het punt B op het tijdstip t = 25. Geef je antwoord in meter per seconde in twee decimalen nauwkeurig.

 
Hieronder is de grafiek van v als functie van t getekend, behorende bij het sluiten van het luik Na precies 15 minuten (op t = 900) wordt het luik vanuit de gesloten stand helemaal geopend. De snelheid v van punt B is dan weer een functie van t.
3p 21. Teken de grafiek van v die hoort bij dit openen van het kelderluik.

 
OPLOSSINGEN
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. De horizontale as verdeel je in 24 uren.
De maximum en minimum temperatuur zijn 21 en 12,2,
dus de evenwichtlijn is 16,6 ºC en de amplitude is 4,4 ºC
De minimale temperatuur wordt bereikt om 3 uur en de maximale om 15 uur, dus om 9 en om 21 uur gaat de grafiek door de evenwichtsstand.
De temperatuur om 0 uur moet gelijk zijn aan die om 24 uur.
2. De formule heeft de algemene vorm  T = a • sin b•(u - c)  + d
a = amplitude = 4,4
periode is 24 dus  b = 2π/24 = π/12
c = beginpunt = 9
d = evenwichtlijn = 16,6
Dat geeft samen  T = 4,4 • sin ((π/12)•(x - 9)) + 16,6
3. Plot de grafiek op de GR en gebruik INTERSECT om de snijpunten van deze grafiek met de lijn y = 10 te vinden.
Dat geeft u = 12,262  en  u = 19,738.
Daartussenin is u groter dan 10, dus dat is gedurende  19,738 - 12,262 = 7,476 uren.
Dat zijn 449 minuten.
4. De grafiek stijgt het snelst op de plaatsen waar zij stijgend door de evenwichtsstand gaat. dat is dus om 10 uur 's ochtends.
De helling om 10 uur 's ochtends bepaal je met de functie CALC - dy/dx van de GR.
Dat levert  1,126 ºC per uur en dat is ongeveer 0,02 ºC/min.
5. Neem van elke klasse het klassenmidden en doe alsof alle pakken in die klasse dat klassenmidden hebben.
Het gemiddelde wordt dan:  (982,5 • 1 + 987,5 • 12 + ... + 1017,5 • 8) / 550 = 1001,9 mL (afgerond)
6. Gemiddelde is 1005 mL, standaardafwijking is 8 mL. Bereken het deel met minder dan 1000 mL:
NORMALCDF(-1E99 , 1000 , 1005 , 8) = 0,2660. Dus 26,6% van de pakken bevat minder dan 1 liter.
7. Neem het gemiddelde X: Er moet nu gelden:  NORMALCFD(-1E99 , 1000 , X , 8) = 0,02
Plot op de GR  Y1 = NORMALCFD(-1E99 , 1000 , X , 8)  en  Y2 = 0,02.
Neem als WINDOW bijv.  Xmin = 1000 , Xmax = 1030,  Ymin = 0  en Ymax = 0,05
INTERSECT levert X = 1016,43
De machine moet dus minstens op 1017 ml afgesteld worden.
8. 1e opl. Het aantal te lichte pakken is binomiaal verdeeld met n = 10 en p = 0,02.
P(X = 1) = BINOMPDF(100 , 0.02 , 1) = 0,17
2e opl. Noem L te licht (kans 0,02) en G goed (kans 0,98).
Een mogelijkheid is de serie LGGGGGGGGG  met kans 0,02 • 0,989
Er zijn  10 nCr 1 = 10 zulke series dus de totale kans is 10 •  0,02 • 0,989 = 0,17
9. Methode 1 (steekproef van 10 pakken)
Noem het aantal pakken dat minder dan 1 liter bevat A. De machine wordt stilgelegd als:
  • De eerste steekproef 2 of meer te lichte pakken bevat.
    Kans P(A ≥ 2) = 1 - P(A ≤ 1) = 1 - BINOMCDF(10 , 0.02 , 1) = 1 - 0,983822... =  0,0161776....
  • De eerste steekproef 1 te licht pak bevat en de tweede steekproef minstens 1.
    De kans op 1 te licht pak in de eerste steekproef is  BINOMPFD(10 , 0.02 , 1) = 0,166749.....
    De kans dat de tweede minstens 1 te licht pak bevat is 
    P(A  ≥  1) = 1 - P(A = 0) = 1 - BINOMPDF(10 , 0.02 , 0) = 1 - 0,81707... = 0,18292....
    Samen geeft dat een kans  0,166749...• 0,18292... = 0,0305.
De totale kans op stilleggen wordt daarmee  0,0161776... + 0,0305... = 0,0467
Methode 2 (steekproef van 20 pakken)
Noem het aantal pakken dat minder dan 1 liter bevat B. De machine wordt stilgelegd als B ³ 2.
P(B ≥ 2) = 1 - P(B ≤ 1) = 1 - BINOMCDF(20 , 0.02 , 1) = 1 - 0,9401.... = 0,0599

Conclusie: de methode van 20 pakken leidt er toe dat de machine vaker wordt stilgelegd.
10. Voor punt P geldt ongeveer log D = 0,2 ⇒ D = 100,2 = 1,58 m dus ongeveer 16 dm.
Lees uit de grafiek af  logH = 1,85 dus  H = 101,85 = 70,8 m dus ongeveer 71 m.
11. H = 15,85  geeft  logH = 1,20
D = 0,251 geeft logD = -0,60
Het is de boom bij het punt (1.20  ,  -0.60)
12. log 2,5 = -2 + 1,5 • log H  ⇒  0,3979... = -2 + 1,5 • log H  ⇒  2,3979... = 1,5 • log H  ⇒  logH = 1,5986...
Daaruit volgt  H = 101,5986... = 39,685... dus de boom is ongeveer 40 meter hoog.
13. Een paar punten bij deze nieuwe formule staan in de volgende tabel:
log H 0 1 2
log D -2,45 -0,95 0,55

Een lijn door deze punten loopt evenwijdig aan k en onder k.
De bomen met meer dan twee maal zo grote hoogte liggen rechts van de nieuwe lijn.
14. P(B fout) = 0,12  en P(L fout) = 0,35
P(beide fout) = 0,12 • 0,35 = 0,042  dus ongeveer 4%
15. P(minstens één van beide fout) = 1 - P(beide goed) = 1 - 0,88 • 0,65 = 1 - 0,572 = 0,428
Beide 20 transplantaties verwacht je dus 20 • 0,428 = 8,56 keer  minstens één van beiden fout.
Dat is dus 8 à 9 keer
16. Het aantal volledig matchende ontvangers is binomiaal verdeeld met n = 20.
P(volledig matchen) = 0,88 • 0,65 = 0,572 en dat is de p van de binomiale verdeling.
P(X  ≥ 10) = 1 - P(X ≤ 9) = 1 - BINOMCDF(20 , 0.572 , 9) =  1 - 0,189856... = 0,8101
17. Noem de matchende ontvangers M en de niet-matchende N.
Laten we hen in volgorde  MMNN hun nier geven en kijken of er afstoting optreedt.
P(hoogstens één afstoting) = P(0 afstotingen ) + P(1 afstoting)

P(0 afstotingen) = 0,75 • 0,75 • 0,40 • 0,40 = 0,09

P(1 afstoting) = P(eerste afgestoten) + P(tweede afgestoten) + P(derde afgestoten) + P(vierde afgestoten) =
=  0,25 • 0,75 • 0,40 • 0,40 + 0,75 • 0,25 • 0,40 • 0,40 + 0,75 • 0,75 • 0,60 • 0,40 + 0,75 • 0,75 • 0,40 • 0,60 =
= 0,03 + 0,03 + 0,135 + 0,135 = 0,33

Samen is de kans op hoogstens één afstoting dus  0,09 + 0,33 = 0,42
18. Na 20 seconden heeft A 2 meter afgelegd.
AC = 2 en AB = 5  geeft met Pythagoras:  BC = √(52 - 22) = √21
B is dus gezakt over  5 - √21 ≈ 0,42 meter ofwel  42 cm.
19. Na t seconden heeft A  0,1•t meter afgelegd.
AC = 0,1t  en AB = 5 geeft met Pythagoras:  BC =  √(52 - (0,1t)2) = √(25 - 0,01t2)
B is dus gezakt over  5 - √(25 - 0,01t2) meter en dat is precies de gevraagde formule.
20. Voer de formule Y1 = 5 - √(25 - 0,01t2) in de GR in.
Bereken met CALC - dy/dx de helling op t =25. dat geeft helling 0,0577
Afgerond op twee decimalen is de snelheid dus 0,06 m/s
21. Punt A legt afstand DC af in 50 seconden, dus op t = 950 is  v = 0
Verder daalt de snelheid tussen t = 900 en t = 950 precies zoals hij steeg tussen t = 0 en t = 50. Het is deze grafiek gespiegeld: