HAVO WB1,  2001 - I
Jus d'orange
Een restaurant van een warenhuis bestelt een grote partij perssinaasappels voor de bereiding van verse jus d'orange. De sinaasappels worden aangevoerd in volle dozen van 50 stuks.

De ervaring leert dat ongeveer één van de honderd sinaasappels beschimmeld is. Ga er bij de vragen 1, 2  en 3 van uit dat de kans op een beschimmelde sinaasappel 0,01 is.

Voor een groot glas jus d'orange zijn drie sinaasappels nodig. Een medewerker pakt aselect drie sinaasappels.
4p 1. Bereken de kans dat er precies één beschimmelde sinaasappel bij zit. Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.
De kans op een doos sinaasappels zonder schimmel is ongeveer gelijk aan 0,605.
3p 2. Laat met een berekening zien dat dit zo is.
Bij een kwaliteitscontrole worden vijf volle dozen sinaasappels gecontroleerd. Een doos is "in orde" als er geen enkele beschimmelde sinaasappel in zit. Als vier of vijf van de dozen niet in orde zijn wordt de partij afgekeurd.
5p 3. Bereken de kans dat de partij wordt afgekeurd. Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.

 
Een sinaasappel levert bij het persen gemiddeld 8 cL sap op. De hoeveelheid sap per sinaasappel is normaal verdeeld met een standaardafwijking van 1,5 cL.
4p 4. Bereken hoeveel procent van de sinaasappels in een volle doos een hoeveelheid sap geeft die minder dan 1 cL van het gemiddelde afwijkt. Rond je antwoord af op een geheel getal.

 
Weerstand
Een wielrenner moet op de vlakke weg twee soorten weerstand overwinnen om vooruit te komen: de luchtweerstand en de rolweerstand. De rolweerstand hangt voornamelijk af van het soort wegdek, maar verder ook van het gewicht van de renner en van het type band dat gebruikt wordt: een brede noppenband geeft meer weerstand dan een smalle raceband.
Een maat voor de inspanning om deze weerstanden te overwinnen is het vermogen.  Vermogen is de hoeveelheid arbeid die per seconde wordt verricht. De eenheid van vermogen is Watt.
Voor een wielrenner van 75 kg die op een fiets met trainingsbanden rijdt gelden bij windstil weer bij benadering de volgende formules:
Prol = 0,75v    en    Plucht = 0,004v3

Prol is het vermogen nodig om de rolweerstand te overwinnen (in Watt)
v is de snelheid van de renner (in km/uur)
Plucht is het vermogen nodig om de luchtweerstand te overwinnen (in Watt)
4p 5. Bereken bij welke snelheden de luchtweerstand groter is dan de rolweerstand. Geef je antwoord in km/uur, afgerond op één decimaal.

 
Ptot is het totale vermogen (in watt) dat door de wielrenner moet worden geleverd om met snelheid v vooruit te komen:
Ptot = Prol + Plucht

In de figuur hiernaast is de grafiek getekend van het verband tussen het geleverde vermogen Ptot van de renner en zijn snelheid v.

Voor het handhaven van een snelheid van 26 km/uur moet de renner meer vermogen leveren dan voor het handhaven van een snelheid van 25 km/uur.
3p 6. Bereken hoeveel meer vermogen hij moet leveren.
4p 7. Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van v geldt dat dPtot/dv = 10. Geef je antwoord in km/uur, afgerond op een geheel getal.
De wielrenner stapt over op een ligfiets omdat hij gehoord heeft dat:
  • Het vermogen dat nodig is om de luchtweerstand te overwinnen 25 procent minder is, zodat Plucht gelijk is aan  0,003v3.
  • De rolweerstand van een ligfiets dezelfde is als van een racefiets.
  • Je op een ligfiets door de speciale houding anderhalf keer zoveel vermogen levert als op een racefiets.
Neem aan dat deze drie effecten inderdaad optreden.

De wielrenner rijdt tijdens trainingen op zijn racefiets 30 kilometer per uur.
6p 8. Toon aan dat de wielrenner in dat geval op de ligfiets met dezelfde inspanning als op zijn racefiets ruim 38 km/uur fietst.

 
Cosinus
Gegeven zijn de functies  f1(x) = 3 • cos(x)  en  f2(x) = 2 • cos(x + π/3)
4p 9. Onderzoek met behulp van de grafische rekenmachine voor welke waarden van x tussen 0 en 2π geldt  f1(x) < f2(x). Rond de getallen in het antwoord af op twee decimalen.
Hieronder zijn enkele transformaties vermeld:
  • horizontale verschuiving  .... naar links of ..... naar rechts
  • verticale verschuiving .... omhoog of .... omlaag
  • vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met factor ......
  • vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met factor ......

In plaats van vermenigvuldiging spreekt men ook wel van horizontale of verticale uitrekking of inkrimping.
4p 10. Welke van deze transformaties kunnen achtereenvolgens worden uitgevoerd om uit de standaardgrafiek van y = cos x de grafiek van f2 te krijgen? geef daarbij ook de getallen die op de plaats van de puntjes behoren te staan. (Er zijn verschillende goede antwoorden mogelijk; geef niet meer dan één antwoord).

 
Voor de somfunctie s geldt:  s(x) = f1(x) + f2(x)

De somfunctie s kan geschreven worden in de vorm  s(x) = a • cos(x + b)
5p 11. Leid met behulp van de grafische rekenmachine uit de grafiek van s de waarden van a en b af. Geef je antwoorden in twee decimalen nauwkeurig.

 
Lootjes trekken
Ans, Bert, Cor de Dorien willen samen een surpriseavond organiseren.
Het is de bedoeling dat elk van hen een surprise maakt voor één van de andere drie. Om te beslissen wie een surprise voor wie zal maken schrijft ieder zijn naam op een papiertje. Alle papiertjes worden verzameld en vervolgens, zonder op de namen te letten, weer uitgedeeld. Dit heet "lootjes trekken".
Krijgt iemand zijn eigen naam dan wordt het lootje strekken voor iedereen herhaald.

Het gaat erom dat er een situatie ontstaat waarbij niemand zijn eigen naam heeft.
Ze vragen zich af of dit snel zal lukken en gaan daarom het lootjes trekken uitproberen.
Als Ans, Bert, Cor of Dorien de naam hebben getrokken van respectievelijk Bert, Ans, Cor en Dorien dan geven ze dit aan met BACD. Op die manier gaan ze vaststellen hoeveel verdelingen er mogelijk zijn.
4p 12. Laat zien bij welke zes van die verdelingen precies twee van hen hun eigen naam trekken.
In de tabel hieronder is een gedeelte van de kansverdeling voor deze groep van vier personen gegeven.

aantal personen die hun eigen naam trekken 0 1 2 3 4
kans   8/24     1/24
5p 13. Bereken met behulp van deze tabel de kans dat deze vier personen het lootjes trekken opnieuw moeten doen.

De kans dat niemand zijn eigen naam trekt hangt af van het aantal personen in  de groep. Wiskundigen hebben voor verschillende groepsgrootten de regelmaat aangetoond zoals die is weergegeven in de tabel hieronder.

aantal personen in de groep

kans dat niemand zijn eigen naam trekt
2 1/(2!)
3 1/(2!) - 1/(3!)
4 1/(2!) - 1/(3!) + 1/(4!)
5 1/(2!) - 1/(3!) + 1/(4!) - 1/(5!)
6 1/(2!) - 1/(3!) + 1/(4!) - 1/(5!) + 1/(6!)
enzovoort  
3p 14. Bereken met behulp van deze tabel de kans dat bij lootjes trekken in een groep van zeven personen niemand zijn eigen naam trekt. Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.
Iemand beweert dat de kans dat er opnieuw lootjes moeten worden getrokken bij 13 personen groter is dan bij 12 personen.
4p 15. Onderzoek of dit waar is.

Een klas van 30 leerlingen gaat lootjes trekken voor een surprise-avond. Ga er van uit dat de kans dat niemand zijn eigen naam trekt precies gelijk is aan 0,368.
4p 16. Bereken hoe groot de kans is dat in deze klas het lootjes trekken pas bij de vijfde poging lukt (dus dat niemand zijn eigen naam trekt). Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.

Lawaaitrauma
Als je langdurig harde geluiden hoort kunnen klachten ontstaan, zoals stress of gehoorbeschadiging. Men spreekt dan van een lawaaitrauma

In Noorwegen bleek het aantal militairen met een lawaaitrauma tussen 1 januari 1982 en 1 januari 1988 te zijn verdubbeld.
Op 1  januari 1982 hadden 4500 van hen een aantoonbaar lawaaitrauma.
Neem aan dat het aantal militairen met zo'n trauma in de periode 1982 - 1988 exponentieel toenam.
5p 17. Bereken het aantal militairen dat op 1 januari 1985 een lawaaitrauma had. Rond je antwoord af op honderdtallen.

In de Verenigde Staten heeft men rond 1990 vastgesteld dat geluidssterktes van meer dan 30 dB (decibel) waaraan iemand langer dan 8 uur per dag (een werkdag) wordt blootgesteld, een lawaaitrauma kunnen opleveren.
Ter bescherming van de werknemers is daarom de volgende norm ingevoerd:
  • bij een voortdurende geluidssterkte van 90 dB bedraagt de maximale werktijd 8 uur
  • bij elke toename van de geluidssterkte met 5 dB moet de maximale werktijd gehalveerd worden.
In het assenstelsel van de figuur hieronder is een lijn getekend. Deze lijn geeft het verband weer tussen de geluidssterkte en de maximaal toegestane werktijd zoals die gebruikt wordt voor industrielawaai in de VS.
L is de geluidssterkte in dB en t is de maximale werktijd in uren.
De Europese norm is sinds enkele jaren strenger dan de norm in de VS:
  • bij een voortdurende geluidssterkte van 80 dB bedraagt de maximale werktijd 8 uur.
  • bij elke toename van de geluidssterkte van 3 dB moet de maximale werktijd gehalveerd worden.
3p 18. Teken in het assenstelsel hierboven de lijn die bij de Europese norm hoort.

De formule die hoort bij de lijn van de VS is:  L = -16,6 · log(t) + 105

In Amerika en Europa staan twee fabrieken met voor de werknemers precies dezelfde geluidssterkte. In de Amerikaanse fabriek mag men vanwege de geluidssterkte maximaal 6 uur per dag werken.
5p 19. Onderzoek hoeveel uur per dag men in de Europese fabriek maximaal zou mogen werken.

 

 
OPLOSSINGEN
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. 1e opl. Het aantal beschimmelde sinaasappels is binomiaal verdeeld met n = 3 en p = 0,01
P(1 beschimmeld) = BINOMPDF(3 , 0.01 , 1) = 0,029
2e opl. Noem B = beschimmeld (kans 0,01)  en N = niet-beschimmeld (kans 0,99)
1 beschimmeld kan bijv. via de serie BNN en de kans daarop is  0,01 • 0,992
Er zijn  3 nCr 1 = 3 zulke series, dus de totale kans wordt  3 • 0,01 • 0,992 = 0,029
2. 1e opl. Het aantal beschimmelde sinaasappels in een doos is binomiaal verdeeld met n = 50 en p = 0,01
De kans op en doos zonder beschimmelde sinaasappels is dan  BINOMPDF(50 , 0.01 , 0) = 0,605
2e opl. Dan moeten alle sinaasappels goed zijn en de kans daarop is  0,9950 = 0,605
3. De kans op een doos die niet in orde is is  1 - 0,605 = 0,395.
Het aantal dozen dat niet in orde is is binomiaal verdeeld met n = 5 en p = 0,395.
P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 1 - BINOMCDF(5 , 0.395 , 3) = 1 - 0,917 = 0,083
4. Het gemiddelde is 8 cL. Sinaasappels die minder dan 1 cL afwijken leveren dus tussen de 7 en 9 cL sap.
NORMALCDF(7 , 9, 8, 1.5) = 0,495
Dus het betreft bijna 50% van de sinaasappels.
5. 1e opl. Met de grafische rekenmachine  Y1 = 0,75v  en Y2 = 0,004v3
Dan INTERSECT geeft  v = 13,7
Aflezen dat Plucht > Prol voor v ³ 13,7
2e opl. 0,75v = 0,004v3  ⇒  0,57v - 0,004v3 = 0  ⇒  v•(0,75 - 0,004v2) = 0  ⇒ v = 0  of 0,75 - 0,004v2 = 0
De tweede oplossing levert  0,004v2 = 0,75  dus  v2 = 187,5  dus  v = 13,69...
Plucht > Prol voor v ≥ 13,7
6. Ptot (26) = 89,804  en  Ptot(25) = 81,25
Het extra te leveren vermogen is dus  89,804 - 81,25 = 8,554 Watt
7. Ptot = 0,75v + 0,004v3  dus  Ptot' = 0,75 + 0,012v2
1e opl. Ptot'  invoeren in de rekenmachine, evenals Y2 = 10.
INTERSECT levert  v ≈ 28 km/uur
2e opl. 0,75 + 0,012v2 = 10  dus  0,012v2 = 9,25  dus  v2 = 770,833...  dus  v = 27,763...  ≈ 28 km/uur
8. Het vermogen van de racefiets bij 30 km/uur is  130,5
Het vermogen op de ligfiets is  1,5 • 130,5 = 195,75
Bij 38 km/uur is het vermogen op de ligfiets 193
Dus de snelheid is iets meer dan 38 km/uur.
9. Een plot van de grafieken voor x tussen 0 en 2π staat hiernaast.
De snijpunten van de grafieken kunnen worden berekend met INTERSECT.
Dat geeft  x =  2,28  en  x = 5,34.
Aflezen uit de grafiek levert als oplossing  2,28 < x < 5,34.
10. Er zijn meerdere goede antwoorden.
Twee mogelijkheden zijn bijv.:
  • horizontale verschuiving p/3 naar links, daarna vermenigvuldiging tov de x-as met factor 2.
  • vermenigvuldiging tov de x -as met factor 2, daarna horizontale verschuiving p/3 naar links
11. Plot de somfunctie s op de GR en bereken met CALC- maximum, minimum de coördinaten van de toppen.
Je vindt een minimum (2.37 , -4.36)  en een maximum (5.87 , 4.36)
Daaruit volgt dat de amplitude gelijk is aan a = 4,36.
De cosinus begint bij een periode in de top (5.87 , 4.36) dus deze is 5,87 opzij geschoven. dat geeft  b = -5,87.
12.
persoon A B C D
naam op het lot A
A
A
D
C
B		 B
D
C
B
B
A		 D
C
B
C
A
C		 C
B
D
A
D
D
13. Met 4 loten zijn er in totaal 4! = 24 mogelijke volgorden.
We hebben zojuist in vraag 12 gezien dat in 6 gevallen 2 personen hun eigen naam trekken.
De kans daarop is dus 6/24.

De kans dat precies. 3 personen hun eigen naam trekken is 0, immers dan moet ook de vierde wel zijn eigen naam hebben getrokken.

Voor 0 personen hun eigen naam blijft dan nog over  1 - (8/24) - (6/24) - 0 - (1/24) = 9/24

Het lootjes trekken moet opnieuw gebeuren als minstens één persoon zijn eigen naam trekt. De kans daarop is 15/24.
14. 1/(2!) - 1/(3!) + 1/(4!) - 1/(5!) + 1/(6!) - 1/(7!) = 0,368.
15. Het verschil tussen de kans bij de 12e persoon en de 13e persoon is dat er bij de 13e persoon een term 1/(13!) bij is gekomen.
Maar die term is  -1/(13!) want alle oneven faculteiten hebben een minteken.
De kans bij 13 is inderdaad dus kleiner dan bij 12.
16. De kans dat niemand zijn eigen naam trekt is 0,368
De kans dat minstens één persoon zijn eigen naam trekt is dus 1 - 0,368 = 0,632.
De kans dat de eerste vier trekkingen mislukken en dat de vijfde wel lukt is dan:
0,6324 • 0,368 = 0,059
17. De groeifactor per 6 jaar is  2, dus de groeifactor per jaar is  21/6
De beginwaarde is 4500, en de tijd 3 jaar. Dat geeft   4500•(21/6)3 ≈ 6400
18. Dat wordt een rechte lijn.
De lijn moet door (8,80) gaan.
Elke 3 dB wordt de tijd gehalveerd, dus de lijn gaat ook door bijv. (4,83) en (2, 86) en (1, 89)  enz.
19. In Amerika is de toegestane geluidssterkte  L = -16,6 • log(6) + 105 = 92,082...dB
1e opl. 92 dB is 4 keer 3dB boven de norm van 80.
De werktijd van 8 uur moet dus vier keer gehalveerd worden. Dat levert 0,5 uur.
2e opl. Voor Europa geldt de formule  t = 8 • 0,5(L-80)/3
Dus als L = 92,082... dan geeft dat  t = 8 • 0,54,027 = 0,49 uur en dat is ongeveer 0,5 uur.