Nieuwe pagina 1

HAVO WB1, 2001 - II

Derdegraadsfunctie

In de figuur hiernaast is de grafiek getekend van de functie f (x) = (x² - 1) · (x - 2)

4p	1.	Los op voor welke waarden van x geldt f(x) < 0

3p	2.	Toon langs algebraïsche weg aan dat voor de afgeleide functie f ' geldt: f '(x) = 3x² - 4x - 1

Lijn l raakt de grafiek van f in het punt A(-3,-40).

4p	3.	Stel langs algebraïsche weg een vergelijking op van l.

Er is één horizontale lijn boven de x-as die met de grafiek van f precies twee punten gemeenschappelijk heeft. Die twee punten worden B en C genoemd.

7p	4.	Bereken de lengte van BC. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

Potgrond

Een tuincentrum heeft een partij van 500 zakken potgrond
Deze zakken hebben een gewicht dat normaal verdeeld is met een gemiddelde van 11,7 kg en een standaardafwijking van 0,3 kg.

Iemand koopt bij dit tuincentrum twee zakken potgrond van de genoemde partij..

Bereken de kans dat deze beide zakken meer dan 11,7 kg wegen.

De stichting Regeling Handels Potgronden eist dat minimaal 98% van alle zakken 11,0 kg of meer weegt.

Onderzoek of de genoemde partij van 500 zakken aan deze eis voldoet.

Een compostbedrijf vult de zakken machinaal.
De machine kan men op een vulgewicht instellen. Bij iedere instelling zijn de vulgewichten normaal verdeeld met een standaardafwijking van 0,3 kg.

De machine wordt zo ingesteld dat 32% van de zakken minder dan 11,0 kg weegt.

Bereken op welk gemiddeld vulgewicht de machine ingesteld moet worden. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

Het compostbedrijf levert de potgrond in 25-liter zakken, 50-liter zakken en 80-liter zakken. De zakken worden uitsluitend geleverd op volle pallets (laadborden). Op een pallet liggen steeds zakken met gelijke inhoud. Zie de volgende tabel.

soort zakken	50 liter	25 liter	80 liter
aantal zakken per vol pallet	51	90	33

Het tuincentrum bestelt een partij potaarde bij het compostbedrijf. Men wil meer pallets met 50-liter zakken dan pallets met 25-liter zakken. Ook wil men meer pallets met 25-liter zakken dan pallets met 80-liter zakken. Van elk van de drie soorten zakken moet minstens één pallet geleverd worden.

Het tuincentrum wil een levering van 25000 liter potaarde of, als dit niet mogelijk is, een levering van een hoeveelheid die er zo dicht mogelijk bij ligt.

Onderzoek hoeveel pallets er van elke soort zakken moeten worden geleverd. Noteer alle stappen die je bij de aanpak van dit probleem maakt.

Windenergie

De laatste jaren wordt een steeds grotere hoeveelheid stroom opgewekt door wind.
Voor het omzetten van windenergie in elektriciteit gebruikt men windturbines. De energieproductie per tijdseenheid wordt het vermogen genoemd. De eenheid van vermogen is watt.
In de figuur hiernaast is een windturbine getekend. Het vermogen van een windturbine hangt hoofdzakelijk af van:

de ashoogte
de windsnelheid
de rotordiameter.

Uit metingen blijkt:
Een toename van de ashoogte met 1 meter levert 1% meer vermogen op.

Laat met een berekening zien dat een toename van de ashoogte met 15 meter ongeveer 16% meer vermogen oplevert.

Voor een bepaald type windturbine met vaste ashoogte en vaste rotordiameter geldt:

de turbine treedt in werking bij windsnelheden vanaf 4 m/s.
bij windsnelheden van 4 tot en met 15 m/s geldt voor het vermogen P (in kilowatt) P = 0,195 · V³ , waarbij V de windsnelheid is in m/s.
bij windsnelheden van 15 tot 235 m/s laat men de draaisnelheid van de turbine om veiligheidsredenen niet verder toenemen: het geleverde vermogen blijft daardoor op een constant peil.
bij windsnelheden vanaf 25 m/s wordt de turbine uitgeschakeld.

10.

Teken de grafiek van het vermogen als functie van de windsnelheid V voor windsnelheden van 0 m/s tot 30 m/s.

Voor het vermogen van een windturbine van het type Eolus geldt de volgende formule:

P = 0,0001 · V³ · D²

P is het vermogen in kilowatt; V is de windsnelheid in m/s; D is de rotordiameter in m.

Een bepaalde windturbine van het type Eolus heeft een rotordiameter van 47 meter.

11.

Bereken bij welke windsnelheid deze turbine een vermogen van 750 kilowatt geeft. Geef je antwoord in gehele m/s.

Windturbines van het type Eolus kunnen ook een vermogen van 750 kilowatt leveren bij andere combinaties van V en D.
Met behulp van de grafische rekenmachine kan dit in een grafiek worden weergegeven.
Neem hierbij voor D waarden van 40 tot en met 80 meter.

12.

Teken deze grafiek en geef aan welke formule je daartoe in de grafische rekenmachine hebt ingevoerd.

Bevolkingsgroei

Op 1 januari 1985 telde een land 12,9 miljoen inwoners. Door het hoge geboortecijfer en het steeds lager wordende sterftecijfer bleef de bevolking de jaren daarna sterk groeien.

In de grafiek hieronder is voor de jaren 1985 tot en met 1990 de ontwikkeling van het aantal inwoners weergegeven.
Op de verticale as is log N uitgezet, waarbij N het aantal inwoners is.
Op de horizontale as is de tijd t uitgezet, waarbij t de tijd in jaren is, gerekend vanaf 1 januari 1985.

De zes stippen in de grafiek staan voor het getelde aantal inwoners per 1 januari van de betreffende jaren. De stippen liggen bij benadering op een rechte lijn.
Uit de grafiek kun je bijvoorbeeld aflezen dat voor t = 0 geldt dat log N = 7,11, waaruit volgt dan N = 10^7,11 ≈ 12,9 miljoen.

De grafiek mag je gebruiken bij het beantwoorden van de vragen 13 en 14.

Voor de periode van 1-1-1985 (t = 0) tot 1-1-1990 (t = 5) geeft de grafiek het werkelijke aantal inwoners weer.

In de vragen 13 en 14 veronderstellen we dat de groei van dit aantal vanaf 1-1-1990 zich voortzet als in de vijf voorafgaande jaren.

13.

Toon met behulp van deze grafiek aan dat de bevolking in de periode van 1-1-1985 tot en met 1-1-1995 met ongeveer 32% zou zijn toegenomen.

14.

In welk jaar zou het aantal inwoners zijn verdubbeld ten opzichte van 1-1-1985? Licht je antwoord toe.

De bevolking van twee andere landen (land A en land B) groeit vanaf 1-1-1985 (t = 0) volgens de formules:

N = 9300000 • 1,024^t (land A)
N = 6200000 • 1,036^t (land B)

15.

Onderzoek vanaf welk jaar land B meer inwoners zal hebben dan land A.

Powerbead-armbanden

Powerbead-armbanden zijn armbanden, gemaakt van speciale steensoorten. Van deze armbanden wordt beweerd dat ze, afhankelijk van de steensoort, aan bepaalde uitwerking hebben. Een reformwinkel verkoopt acht soorten van deze armbanden. Hieronder zie je een bestelformulier waarop de steensoort en de bijbehorende werking zijn vermeld.

Werking Powerbead-armbanden
O O O O	Amethyst:Intelligentie Prikkelt een rationale geest en scherpt het verstand Aragoniet: Concentratie Helpt bij concentratie en vermindert onrust en nervositeit. Aventurijn: Succes Vereffent de weg naar succes Bergkristal: Kracht. Geeft de kracht om alle uitdagingen van het leven aan te kunnen.		O O O O	Labradoriet: Gevoel Bevordert het gevoel en het herinnerings- vermogen. Geeft een realistische blik. Onyx: Wilskracht. Helpt om genomen beslissingen daadwerkelijk uit te voeren. Parelmoer: Geld Zorgt voor een gelukkige hand als het geld betreft. Roze Kwarts: Liefde Helpt om relaties te verdiepen of nieuwe vriendschappen te beginnen.

16.

Bereken het totaal aantal bestellingen dat je kunt doen van drie verschillende armbanden.

Marjolein heeft vier armbanden, namelijk van Aventurijn, Labradoriet, Onyx en Roze kwarts. Ze staan voor Succes, Gevoel, Wilskracht en Liefde.

Marjolein draagt altijd één of meer van deze armbanden.

17.

Bereken hoeveel verschillende mogelijkheden ze heeft om dat te doen.

Marjolein doet aselect vier verschillende armbanden om haar linkerarm.

18.

Bereken hoe groot de kans is dat Liefde en Succes naast elkaar om haar arm zitten.

De ervaring leert dat 20% van de verkochte armbanden roze kwarts armbanden (Liefde) zijn.

19.

Bereken de kans dat van 500 verkochte armbanden er 90 of minder van het soort "roze kwarts" zijn. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.


OPLOSSINGEN

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	f(x) = 0 als x² - 1 = 0 of x - 2 = 0 Dus dat is voor x = 1 of x = -1 of x = 2 In de grafiek is nu af te lezen dat f(x) < 0 als x < -1 of 1 < x < 2

2.	Haakjes wegwerken geeft f(x) = x³ - 2x² - x + 2 De afgeleide is dus 3x² - 4x - 1

3.	De helling bij x= -3 vinden we door f '(-3) = 3•(-3)² - 4•(-3) - 1 = 38 De raaklijn heeft dus de vorm y = 38x + b Punt (-3,-40) invullen geeft -40 = 38•-3 + b dus b = 74 en de vergelijking wordt y = 38x + 74

4.	Het moet de lijn zijn die precies door het maximum van de grafiek gaat. Voer de formule in in de GR en zoek het maximum met CALC - MAXIMUM. Dat geeft x = - 0,2152... en y = 2,1126.... Teken de lijn Y2 = 2,1126..... en snijd die met de grafiek van f met INTERSECT. Dat geeft x = 2,4305... De afstand tussen de punten is dan 2,4305... - - 0,2152... = 2,6457... dus BC = 2,65

De gewichten van de 500 zakken zijn normaal verdeeld met een gemiddelde van 11,7 kg.
De kans dat een zak meer weegt dan 11,7 kg is dus 0,5.
De kans dat beide zakken meer dan 11,7 kg wegen is 0,5 • 0,5 = 0,25

NORMALCDF(11 , 1E99 , 11.7 , 0.3) = 0,9902

Noem het gemiddelde X. Dan moet gelden NORMALCDF( -1E99 , 11 , X , 0.3) = 0,02
Voer in in de GR: Y1 = NORMALCDF( -1E99 , 11 , X , 0.3) en Y2 = 0,02
INTERSECT (met WINDOW bijv. Xmin = 5, Xmax = 15, Ymin = 0, Ymax = 0,05) geeft x = 11,616124...
Het gemiddelde vulgewicht van de machine moet op 11,62 kg worden afgesteld.

Een pallet met zakken van 50 liter bevat 50 • 51 = 2550 liter
Een pallet met zakken van 25 liter bevat 25 • 90 = 2250 liter
Een pallet met zakken van 80 liter bevat 80 • 33 = 2640 liter

Begin met zo weinig mogelijk pallets. Dat is 1 van 80 liter, 2 van 25 liter en 3 van 50 liter. Ga dan pallets toevoegen zolang het totaal onder de 20000 blijft. Dat geeft de volgende tabel:

aantal pallets met 50-liter zakken à 2550 kg	aantal pallets met 25-liter zakken à 2250 kg	aantal pallets met 80-liter zakken à 2640 kg	totaal gewicht in kg	afwijking van 20000
3 4 4 4 5	2 2 3 3 2	1 1 1 2 1	14790 17340 19590 22230 19890	5210 2660 410 2230 110

Nog meer pallets heeft geen zin omdat de laatste mogelijkheid nog slechts 110 kg afwijkt van de 20000.
de beste bestelling is daarom: 5 pallets met 50-liter zakken, 2 pallets met 25-liter zakken en 1 pallet met 80-liter zakken.

Toename van 1% is vermenigvuldigen met factor 1,01.
Toename van 15 meter is dus 15 keer vermenigvuldigen met factor 1,01
dat is hetzelfde als vermenigvuldigen met 1,01¹⁵.
1,01¹⁵ = 1,1609... en vermenigvuldigen met 1,1609... is een toename van ongeveer 16%

10.

de lijn y = 0 van x = 0 tot x = 4

de lijn y = 0,195x³ van x = 4 tot x= 15

0,195•15³ = 658,125

de lijn y = 658,125 van x = 15 tot x = 25

de lijn y = 0 van x = 25 tot x = 30.

11.

750 = 0,0001 • V³• 47² dus V³ = 750 / (0,0001 • 47²) = 3395,201.... dus V = (3395,201...)^1/3= 15,0298...
Dus de gezochte windsnelheid is 15 m/s
(de vergelijking hierboven kan uiteraard ook opgelost worden door beide zijden van het =teken in te voeren in de GR en de knop INTERSECT te gebruiken)

12.

Neem WINDOW Xmin = 40 en Xmax = 80 en bijv. Ymin = 0 en Ymax = 20. Dat geeft de grafiek hieronder (met V op de y-as en D op de x-as)


13.	op 1-1-1985 is logN = 7,11 dus N = 10^7,11 = 12882496 op 1-1-1995 is logN = 7,23 dus N = 10^7,23 = 16982437 de groeifactor is ^16982437/_12882496 = 1,318 en dat is een toename van ongeveer 32%

14.	De groeifactor per 10 jaar is 10^0,12 = 1,3182.... dus de groeifactor per jaar is 1,3182...^0,1 = 1,02801... Er is verdubbeling als 1,02801...^t = 2 ofwel t = ^{log 2}/_{log 1,02801...} = 25,0858... Na iets meer dan 25 jaar, dat is in 2010 is de wereldbevolking verdubbeld ten opzichte van 1985.

15.	Voer de formules Y1 = 9300000 • 1,024^t en Y2 = 6200000 • 1,036^t in in de GR Gebruik INTERSECT om het snijpunt te vinden. Dat geeft X = t = 34,8 en Y = N = 21152927. Dus vanaf 34,8 jaar, dat is aan het einde van 2019 heeft land B meer inwoners dan land A.

16.	Je moet 3 elementen kiezen uit een verzameling van 8. (het is zonder terugleggen en de volgorde is niet van belang). Dan kan dat op 8 nCr 3 = 56 manieren gedaan worden.

17.	1^e opl.	Het aantal mogelijkheden om 1 of 2 of 3 of 4 armbanden te kiezen is 4 nCr 1 + 4 nCr 2 + 4 nCr 3 + 4 nCr 4 = 15 mogelijkheden.
	2^e opl.	Voor elke armband moet ze kiezen: WEL of NIET omdoen. In totaal geeft dat 2⁴ = 16 mogelijkheden, maar eentje valt af (NIET-NIET-NIET-NIET) dus blijven 15 over.

18.	De 4 armbanden kunnen in totaal op 4! = 24 manieren gedragen worden. Als je L en S als één armband ziet zijn er nog 3! = 6 manieren om de "drie" armbanden om te doen. Maar omdat je de volgorde van L en S nog kunt kiezen geeft dat in totaal 6 • 2 = 12 manieren. De kans is dus 12 van de 24, ofwel 0,5.

19.	Het aantal verkochte roze kwarts armbanden is binomiaal verdeeld met n = 500 en p = 0,2 (20%) P(X ≤ 90) = BINOMCDF(500 , 0.2 , 90) = 0,14.