HAVO WB1   2002 - II
Pompen of....
Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm3) en is geheel gevuld met water. Aan de kraan onder aan het vat (zie de figuur hiernaast) wordt een pomp aangesloten. Hiermee wordt per minuut 60 liter water uit het vat gepompt.
Daardoor zal de waterspiegel met constante snelheid dalen. De hoogte h in decimeter van de waterspiegel is afhankelijk van de tijd t in minuten vanaf het moment waarop de pomp wordt aangezet.
Op tijdstip t = 0 geldt dus  h = 32.
4p 1. Teken een grafiek die het verband weergeeft tussen de hoogte h en de tijd t bij het leegpompen van het vat.
Men kan ook de kraan opendraaien zonder de pomp aan te sluiten. Het vat stroomt dan leeg. Tijdens het leegstromen geldt voor de hoogte h van de waterspiegel op tijdstip t bij benadering de formule:
h(t) = 0,0008t2 - 0,32t + 32

Hierin is t de tijd in minuten vanaf het moment dat de kraan wordt opengedraaid en h de hoogte van de waterspiegel in decimeter.

De snelheid waarmee de waterspiegel daalt neemt voortdurend af. Volgens bovenstaande formule valt het tijdstip waarop deze snelheid gelijk aan 0 is samen met het tijdstip waarop het vat leeg is.
5p 2. Toon dit met behulp van differentiλren aan.

 
Op een gegeven moment is het vat geheel gevuld met water en laat men het leegstromen.
De tijd die nodig is om de eerste 4000 liter te laten wegstromen is korter dan de tijd die nodig is voor de tweede 4000 liter.
5p 3. Bereken hoeveel minuten korter het laten wegstromen van de eerste 4000 liter duurt dan het laten wegstromen van de tweede 4000 liter. Geef je antwoord in gehele minuten nauwkeurig.

 
In de figuur hieronder is de grafiek van h als functie van t getekend als men het vat leeg laat stromen.
Als men het vat leegpompt daalt de waterspiegel met een constante snelheid.
Als men het vat leeg laat stromen neemt de snelheid waarmee de waterspiegel daalt voortdurend af.
5p 4. Geef in bovenstaande grafiek het grafiekdeel aan waar geldt dat de waterspiegel bij leeg stromen sneller daalt dan bij leeg pompen. Licht je werkwijze toe.
Balansspel
Dit is een spel dat in het kader van beroeps- en studiekeuze in het voortgezet onderwijs gespeeld wordt.

Het doel van dit spel is je ideale tijdsbesteding te bereiken in drie levensgebieden:
A.  gezin/zorg
B.  school/beroep
C.  engagement/ vrije tijd.

Uit een klas van 20 jongens en 10 meisjes worden door loting zes leerlingen gekozen om het spel te spelen.
5p 5. Bereken de kans dat vier jongens en twee meisjes gekozen worden. Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.

Voordat het spel begint moet iedere speler een wensenlijst "Later wil ik..." invullen. Hieronder is deze lijst afgedrukt.

Later wil ik...
Gebied A
gezin/zorg		 1.  mijn kinderen zelf opvoeden
2.  mijn huis zelf inrichten en onderhouden
3.  in mijn tuin van alles zelf kweken.
4.  elke week het huis poetsen
5.  koken voor mijn familie of vrienden
Gebied B
school/beroep		 1.  veel geld verdienen
2.  overwerken als mijn baas dat vraagt.
3.  opklimmen in een bedrijf
4.  in mijn beroep kwaliteitswerk afleveren
5.  cursussen volgen om bij te blijven
Gebied C
engagement/vrije tijd		 1.  tijd nemen voor sport, muziek, toneel,...
2.  op vakantie gaan
3.  mij inzetten voor vrede, rechtvaardigheid, milieu,...
4.  met vrienden uitgaan
5.  actief zijn in een vakbond, in de politiek,...
Iedere speler moet acht wensen uit deze lijst kiezen, van elk gebied tenminste ιιn.

Pieter kiest alles van gebied A (gezin/zorg). Verder kiest hij aselect twee wensen uit gebied B (school/beroep) en ιιn wens uit gebied C (engagement/vrije tijd)
4p 6. Bereken de kans dat hij "veel geld verdienen", "opklimmen in een bedrijf" en  "met vrienden uitgaan" heeft gekozen.

Anouk kiest willekeurig ιιn wens uit gebied A.
Myrthe kiest willekeurig twee wensen uit gebied A.
4p 7. Bereken de kans dat ze beiden "mijn kinderen zelf opvoeden" hebben gekozen.

Bas zou het liefst acht wensen willen kiezen uit de gebieden A en C (en dus geen wens uit B)
Volgens Pieter zou hij dan 45 keuzemogelijkheden hebben voor zijn acht wensen.
3p 8. Toon aan dat Pieter gelijk heeft.

Van elk gebied moet minstens ιιn wens gekozen worden; acht wensen uit twee gebieden is dus niet toegestaan.
5p 9. Bereken het totaal aantal toegestane mogelijkheden voor acht wensen uit de lijst.

Visserijbeheer
Regelmatig wordt er onderzoek gedaan naar de visstand in de Noordzee. De paaistand van een vissoort is de hoeveelheid vis (in tonnen) die voor nakomelingen kan zorgen. (1 ton = 1000 kg)
Voor kabeljauw is een ondergrens van 70000 ton voor de paaistand vastgesteld. Als de paaistand onder deze grens komt, dan komt bij normale omstandigheden de aanwas van voldoende kabeljauw voor de toekomst in gevaar. In de figuur linksonder zijn voor de periode 1963 - 2000 de paaistand en de ondergrens grafisch weergegeven.
Om de paaistand op voldoende niveau te houden moet de visvangst worden beperkt. Voor de vangst van kabeljauw is een bovengrens vastgesteld van 0,86; dat betekent dat bij een jaarlijkse vangst van 86% (of meer) van de totale populatie de aanwas in gevaar komt. In de figuur rechtsonder zijn voor de periode 1963 - 1999 het verloop van de vangst van kabeljauw en de bovengrens grafisch weergegeven.
Neem aan dat de paaistand een vast percentage is van de totale populatie.
3p 10. Onderzoek of in 1978 ongeveer evenveel kabeljauw gevangen is als in 1972

De grafiek van de paaistand voor de periode 1983 - 1993 kan benaderd worden door de grafiek van een exponentieel verband. Volgens dit exponentieel verband daalt de paaistand in deze periode van 150000 ton in 1983 tot 65000 ton in 1993.
4p 11. Bereken de paaistand in 1990 volgens dit model.

De vangst van kabeljauw schommelt al bijna 20 jaar rond de bovengrens.
Neem aan dat er vanaf 1999 een totaal verbod geldt op het vissen van kabeljauw in de Noordzee en dat de paaistand P zich vanaf dat moment bij benadering ontwikkelt volgens de formule:

log P = 4,82 + 0,11t    met P in tonnen en t in jaren vanaf 1999

Als de paaistand boven de 150000 ton ligt wordt het vangstverbod weer opgeheven.
4p 12. Na hoeveel jaar zou volgens deze formule de paaistand P voor het eerst weer boven de 150000 ton liggen?

Geboortegewicht
Baby's wegen bij de geboorte gemiddeld 3250 gram. Het geboortegewicht is bij benadering normaal verdeeld met een standaardafwijking van 425 gram.

Volgens babyinfo.nl  weegt een baby bij geboorte meestal zo'n 3000 tot 3500 gram.
3p 13. Onderzoek of deze bewering van babyinfo.nl juist is.

Volgens Dr. Miriam Stoppard, schrijfster van o.a. het boek Baby, heeft ongeveer 4 procent van de baby's een  laag geboortegewicht.
5p 14. Bereken, uitgaande van het bovengenoemde gemiddelde en standaardafwijking, onder welk gewicht een baby volgens Dr. Stoppard een laag geboortegewicht heeft.

De figuur hierboven is een illustratie uit Lijfboek van het kind en is gebaseerd op cijfermateriaal van ruim 25 jaar geleden. De figuur laat de verdelingen zien van het geboortegewicht van jongens en meisjes.
Neem aan dat de groep baby's waarop het cijfermateriaal betrekking heeft bestaat uit evenveel jongens als meisjes. Ook van die hele groep baby's kan de verdeling van het geboortegewicht getekend worden.
3p 15. Teken die grafiek.
Al jarenlang worden er meer jongens dan meisjes geboren.
In Nederland is dat ongeveer 51% jongens en 49% meisjes.
Op basis hiervan nemen we aan dat bij een geboorte de kans op een jongen 51% is.

In een kraamkamer van een ziekenhuis liggen 15 pasgeboren baby's.
5p 16. Bereken de kans dat het aantal meisjes hierbij acht of meer is. Geef je antwoord in vier decimalen nauwkeurig.

Vliegen
Vogels en  vliegtuigen kunnen vliegen, onder andere omdat ze vleugels hebben. Voor de vliegtuigbouw is het van belang te weten welk gewicht een stel vleugels kan dragen en welke snelheid er nodig is om te kunnen vliegen.
In deze opgave gaan we in op de relatie tussen het gewicht, het vleugeloppervlak, de kruissnelheid en de luchtdichtheid. Hierbij is de kruissnelheid de snelheid die een vogel of vliegtuig heeft tijdens een lange vlucht.
Voor vogels en vliegtuigen geldt bij benadering de volgende formule:
W = 0,03 · d · V2 · S

Hierin is W  het gewicht in kilogram, S het vleugeloppervlak in vierkante meter, d de luchtdichtheid in kilogram per kubieke meter, en V de kruissnelheid in meter per seconde.

Een merel van 90 gram heeft een vleugeloppervlak van 200 cm2. Deze vogel vliegt dicht bij de grond, waarbij d = 1,25.
5p 17. Bereken de kruissnelheid van een merel. Geef je antwoord in meter per seconde, afgerond op een geheel getal.

In de vliegtuigbouw wordt gewerkt met het begrip vleugelbelasting; dat is het gewicht (in kilogram) per vierkante meter vleugeloppervlak, in formulevorm  W/S.
Een Boeing 747 heeft een vleugeloppervlak van 511 m2 en heeft een kruissnelheid van 900 km per uur op een hoogte waar de luchtdichtheid d gelijk is aan 0,3125.
4p 18. Bereken de vleugelbelasting van deze Boeing 747. Rond je antwoord af op een geheel getal.

Op zeeniveau, juist van belang voor vogels die laag vliegen, is d = 1,25 en geldt W = 0,0375 • V2 • S
Van een mantelmeeuw is de kruissnelheid 1,5 keer zo groot als van een kokmeeuw.
3p 19. Bereken hoeveel keer zo groot (of klein) de vleugelbelasting van een mantelmeeuw is vergeleken met die van een kokmeeuw.

Voor zeevogels is aangetoond dat bij benadering ook het volgende verband tussen vleugelbelasting en gewicht bestaat:
W/S = 5,5 • W1/3


Met behulp van deze formule kan S worden uitgedrukt in W, zodat geldt  S = a • Wb .
5p 20. Toon dan aan en bereken a en b. Rond daarbij af op twee decimalen.

OPLOSSINGEN
Het officiλle (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. 8000 liter met 60 liter per seconde duurt  8000/60 = 1331/3 seconden. Het wordt dus een rechte lijn van (0,32) tot  (1331/3 , 0) en die gaat bijv. ook door  (50,20) en (100,8)
2. Het vat is leeg  als  h(t) = 0  dus als  0,0008t2 - 0,32t + 32 = 0
De ABC-formule geeft dat dat zo is voor t = 200
De snelheid is de afgeleide en die is gelijk aan  h '(t) = 0,0016t - 0,32
Op t = 200 geldt:  h'(200) = 0 dus is inderdaad op dat moment de snelheid nul.
3. de eerste 4000 liter is weggestroomd als  h = 16 dus als  0,0008t2 - 0,32t + 32 = 16
0,0008t2 - 0,32t + 16 = 0  geeft met de ABC-formule  t = 341,421...  of  t = 58,5786... 
Dus als t = 58,5786....  (het andere antwoord vervalt).
De tweede 4000 liter stroomt weg tussen t = 58,5786... en t = 200  (zie vraag 3)
Dat duurt 141,421... minuten dus dat scheelt  141,421... - 48,5786... = 82,84... minuten. Afgerond  83 minuten.

(Een plot van h(t) en van de lijn  Y2 = 4000 in de GR, en dan INTERSECT gebruiken kan ook)
4. 1e oplossing
Bij het leegpompen verdwijnt er constant 60 liter per minuut uit de tank.
Bij een inhoud van 60 liter geldt πr2h = 60  met  r = 8,9206... (vraag 1)  dus  h =  0,24  dm/minuut
Bij het leegstromen is de helling  h '(t) = 0,0016t - 0,32.
De hellingen zijn gelijk als  0,0016t - 0,32 = - 0,24  ofwel als t = 50 minuten.
Tussen  t = 0  en  t = 50 loopt de tank bij stromen sneller leeg dan bij pompen.

2e oplossing
Teken de lijn van opgave 1.
Verschuif deze lijn evenwijdig aan zichzelf totdat hij de getekende grafiek (van het stromen) raakt.
Dat zal zijn in het punt  waarvoor t = 50
Tussen  t = 0  en  t = 50 loopt de tank bij stromen sneller leeg dan bij pompen.
5. P(JJJJMM) = (20/30)•(19/29)•(18/28)•(17/27)•(10/26)•(9/25) = 0,024478....
Er zijn  6 nCr 2 = 125 zulke rijtjes mogelijk.
De totale kans wordt daarom  15 • 0,02447... = 0,367
6. P(veel geld verdienen & opklimmen in een bedrijf) =  (2/8) • (1/7) = 1/28
P(met vrienden uitgaan) = 1/8
Samen wordt dat  (1/28)•(1/8) = 1/224
7. P(Anouk heeft "mijn kinderen zelf opvoeden") = 1/8
P(Myrthe heeft "mijn kinderen zelf opvoeden") = 2/8   (immers ze kiest er twee van de acht)
Samen geeft dat een kans van (1/8)•(2/8) = 1/32
8. 8 kiezen uit de 10 kan op 10 nCr 8 = 45 manieren.
9. Als je willekeurig mag kiezen, moet je 8 wensen kiezen uit de 15. Dat kan op  15 nCr 8 = 6435 manieren.
Alles alleen uit A en C valt af, Dat zijn 45 mogelijkheden (zie vorige vraag)
Alles alleen uit B en C  en alles alleen uit A en C valt ook af. Dat zijn nog eens tweemaal 45 mogelijkheden.
Over blijft  6435 - 3•45 = 6300 mogelijkheden.
10. In 1978 is de paaistand ongeveer 155000 ton. Dat is de hoeveelheid vis die voor nakomelingen kan zorgen, en dat is dus de hoeveelheid vis die NIET gevangen is.
In 1978 is ongeveer 82% gevangen, dus 18% niet.
Als 155000 ton 18% is, dan is de hele populatie (155000/18) • 100% = 861111 ton.
Daarvan is 82% gevangen en dat is 706111 ton.

In 1972 zijn deze waarden ongeveer 230000 ton en 83%  en dat levert op dezelfde manier 1122941 ton
In 1972 is dus meer gevangen dan in 1978
11. Neem t = 0 in 1983
Het verband is exponentieel en ziet er dus uit als  y= B • gt  met B = 150000
in 1993 (t = 10) is er 65000 ton. Dat geeft   65000 = 150000 • g10  dus  g10 = 65000/150000 = 0,4333...
dus  g = 0,4333..1/10 = 0,919776....
Dat geeft in 1990 (t = 7)   y = 150000 • 0,919776...7 = 83535 ton
12. log(150000) = 4,82 + 0,11t  ⇒  5,176... = 4,82 + 0,11t  ⇒  0,11t = 9,356...  ⇒  t = 3,237...
Dus na 4 jaar ligt de paaistand P voor het eerst weer boven de 150000 ton.
13. NORMALCDF(3000 , 3500 , 3250 , 425) = 0,4436....
Dus in ongeveer 44% van de gevallen ligt het gewicht tussen 3000 en 3500, en dat is NIET "meestal".
14. 1e opl. Dan moet gelden:  NORMALCDF(-1E99 , X , 3250 , 425) = 0,04
Voer in in de GR:  Y1 = NORMALCDF(-1E99 , X , 3250 , 425) en Y2 = 0,04
Neem bijv. WINDOW  Xmin = 2400 , Xmax = 2600 , Ymin = 0 , Tmax = 0,08
Gebruik INTERSECT  Dat geeft  X = 2505,9586...
Onder de 2506 gram heeft een baby volgens Dr. Stoppard een laag geboortegewicht.
2e opl. Invnorm(0,04) = -1,7506...
Dus geldt  (X - 3250) / 425 = -1,7506...  dus  X - 3250 = -744,0415...  dus  X = 2505,9584...
Onder de 2506 gram  heeft een baby volgens Dr. Stoppard een laag geboortegewicht.
15. Omdat de groepen even groot zijn ligt de figuur voor de hele groep precies midden (verticaal gemeten) tussen beide oorspronkelijke grafieken.
16. P(M ≥ 8) = 1 = P(M ≤ 7) = 1 - BINOMCDF(15 , 0.49 , 7) =  1 - 0,531... = 0,4686
17. 0,09 = 0,03 • 1,25 • V2 • 0,02 ⇒ V2 =  120 ⇒  V = 10,954..  is ongeveer 11 m/s
18. 900 km/uur is  900000 meter per 3600 seconden en dat is dus 250 m/s
W/S = 0,03 • d • V2 = 0,03 • 0,3125 •  2502 = 585,9375  en dat in ongeveer  586 kg/m2
19. Noem de kruissnelheid van een kokmeeuw V. Dan is die van een mantelmeeuw 1,5V.
Een kokmeeuw heeft vleugelbelasting  W = 0,0375 • V2 • S
Een mantelmeeuw heeft dan vleugelbelasting 
W = 0,0375 • (1,5V)2 • S = 0,0375 • 1,52 • V2 • S = 0,0375 • 2,25 • V2 • S = 2,25 • (0,037 • V2 • S)
Dat is dus 2,25 keer zo groot als de belasting van een kokmeeuw.
20.
Dus  a = 0,18  en b = 0,67