Nieuwe pagina 1

HAVO WB1, 2003 - I

Sparrenbomen

Een boomkweker koopt een grote partij jonge sparrenboompjes. Uit onderzoek is bekend dat de lengte van jonge sparrenboompjes bij benadering normaal verdeeld is met een gemiddelde van 25 cm en dat 5% van de boompjes korter is dan 20 cm. De partij jonge sparrenboompjes is te beschouwen als een aselecte steekproef.

2p	1.	Hoeveel procent van de boompjes is naar verwachting langer dan 30 cm? Licht je antwoord toe.

4p	2.	Bereken de standaardafwijking van de lengteverdeling van jonge sparrenboompjes. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

De kweker neemt steeds aselect 40 boompjes en plant deze in één rij.

4p	3.	Bereken de kans dat in zo'n rij precies één boompje korter is dan 20 cm. Rond je antwoord af op twee decimalen.

Na een aantal jaren wordt een groot aantal van deze sparrenboompjes voor de kerstverkoop gerooid. Je kunt er nu van uitgaan dat de lengte van deze partij bomen bij benadering normaal verdeeld is met een gemiddelde van 145 cm en een standaardafwijking van 15 cm.

3p	4.	Bereken de kans dat een aselect gekozen boom uit deze partij een lengte heeft die ligt tussen de 140 en de 170 cm. Rond je antwoord af op twee decimalen.

De bomen worden ingedeeld in twee prijsklassen, namelijk: kleine bomen van € 10,- per stuk en grote bomen van € 15,- per stuk. De kweker wil dat de te verwachten opbrengst per 100 bomen € 1300,- is.

7p	5.	Bereken bij welke lengte de grens tussen de beide prijsklassen dan moet liggen. Rond je antwoord af op hele centimeters.

Spitsboog

Al heel lang worden in bouwwerken boogconstructies gebruikt om grote ruimten te overspannen. In de figuur hiernaast zie je enkele soorten bogen, waaronder de spitsboog. Een spitsboog is opgebouwd uit twee cirkelbogen. Hierbij ligt het middelpunt ven de ene boog op een uiteinde van de andere cirkelboog.

In de onderste figuur hiernaast is de vorm van een spitsboog OPQ in een assenstelsel getekend. O is het middelpunt van cirkelboog PQ en Q is het middelpunt van cirkelboog OP.

Voor de cirkelboog PQ geldt de volgende formule (met x en h in meter):

h = √(36 - x²) met 3 ≤ x ≤ 6

Bereken de hoogte h van het punt P. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

Ter versteviging wordt tussen de twee delen van de spitsboog een stang bevestigd evenwijdig met de lijn OQ. Zie de figuur hiernaast.

Men wil een stang van 5 meter gebruiken.

Bereken op welke hoogte deze stang precies past. Rond je antwoord af op een geheel aantal centimeters.

Men wil een andere stang op 4 meter hoogte plaatsen

Bereken hoe lang deze stang moet zijn. Rond je antwoord af op een geheel aantal centimeters.

Een toegangspoort tot een kasteel heeft aan de bovenkant de vorm van een spitsboog en heeft in het vooraanzicht de vorm zoals in de figuur hieronder is afgebeeld. Het gedeelte OPQ in dit vooraanzicht heeft dezelfde afmetingen als in de figuur hierboven. De top P van de spitsboog bevindt zich 8 meter boven de grond.

In het punt P bevindt zich een bewakingscamera. Deze camera neemt niets waar van het gebied onder de raaklijn PT. Het gedeelte RT op de grond in het vooraanzicht valt dus buiten het bereik van deze camera.

Met behulp van de gegeven formule voor de cirkelboog kun je de helling van PT berekenen.
Deze helling is op twee decimalen afgerond -0,58.

Bereken de helling van PT in drie decimalen nauwkeurig.

10.

Bereken de lengte van RT. Geef je antwoord in meters. Rond af op één decimaal.


Medicijnen

Een huisarts schrijft een patiënt een geneesmiddel voor. De patiënt moet dat geneesmiddel enkele weken achtereen gebruiken. Hij neemt één keer per week op maandagochtend één tablet van 500 mg van het medicijn in. De hoeveelheid medicijn in zijn bloed neemt exponentieel af. Na precies één week is nog 30% van de oorspronkelijke hoeveelheid medicijn aanwezig in zijn lichaam. Uit de gegevens is te berekenen dat de groeifactor per 24 uur ongeveer 0,842 is.

3p	11.	Schrijf deze berekening op.

4p	12.	Bereken in hoeveel tijd 40% van het toegediende medicijn in zijn lichaam wordt afgebroken. Rond je antwoord af op een geheel aantal uren.

De patiënt neemt elke week een nieuwe tablet van 500 mg in. We nemen aan dat hij dat steeds na precies een week doet. De hoeveelheid medicijn in zijn lichaam neemt na inname weer exponentieel af met groeifactor 0,842 per 24 uur. M(t) is de hoeveelheid medicijn in mg in zijn lichaam, t dagen nadat de eerste tablet is ingenomen. In de figuur hieronder is de grafiek van M als functie van t getekend van t = 0 tot t = 9.



Het differentiequotiënt DM/Dt op het tijdsinterval [0 ; 0,01] is een benadering van de snelheid waarmee direct na inname van de eerste tablet het medicijn in zijn lichaam wordt afgebroken.

4p	13.	Benader met behulp van dit differentiequotiënt de snelheid waarmee direct na inname van de eerste tablet het medicijn in zijn lichaam wordt afgebroken. Geef het antwoord in milligrammen per uur. Rond af op één decimaal.

4p	14.	Bereken de hoeveelheid medicijn in het lichaam op tijdstip t = 10. Rond je antwoord af op een geheel aantal milligrammen.

6p	15.	Schets in de figuur hierboven de grafiek van M van t = 9 tot net na de inname van de tablet op dag 21. Bereken hiervoor de maximale en minimale waarden van de hoeveelheid medicijn in het lichaam die wekelijks worden bereikt.


Derdegraadsfunctie

In de figuur hiernaast is de grafiek getekend van de functie f(x) = 300x - x³. De grafiek van f heeft twee toppen.

5p	16.	Stel een voorschrift van f ' op en bereken daarmee de coördinaten van beide toppen.

Op de grafiek van f ligt punt P met x-coördinaat a. Hierbij is a een willekeurig positief getal. Q is het punt op de grafiek van f met x-coördinaat -a.

4p	17.	Onderzoek met behulp van de afgeleide f ' of de raaklijnen aan de grafiek van f in de punten P en Q evenwijdig zijn.


Kroonkurken

Bij de introductie van een nieuw biermerk organiseert de fabrikant een reclameactie. Op de binnenkant van elke kroonkurk laat hij een letter van het alfabet afdrukken. Alle 26 letters van het alfabet worden in gelijke hoeveelheden afgedrukt. De bierflesjes worden willekeurig over de bierkratten verdeeld. Wie een kroonkurk met de letter P inlevert krijgt een gratis flesje bier van dit merk. Een klant drinkt elke dag één flesje bier van het nieuwe merk.

3p	18.	Bereken hoeveel flesjes bier hij moet drinken om tien gratis flesjes te kunnen verwachten.

3p	19.	Bereken de kans dat hij op de derde dag voor het eerst een kroonkurk met de letter P heeft. Rond je antwoord af op drie decimalen.

4p	20.	Bereken de kans dat hij bij de eerste tien flesjes minstens één letter P heeft. Rond je antwoord af op drie decimalen.

4p	21.	Bereken de kans dat hij met de letters van de eerste vier kroonkurken het woord 'PILS' kan vormen. Geef je antwoord in procenten. Rond af op vier decimalen.


OPLOSSINGEN

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	Omdat de normale verdeling symmetrisch is t.o.v. het midden, en omdat 20 even ver vanaf 25 naar rechts ligt als 30 naar links, zal het percentage langer dan 30 gelijk zijn aan het percentage kleiner dan 20, dus ook 5%

2.	NORMALCDF(-1E99 , 20 , 25 , X) = 0,05 Voer deze beide in in de GR bij Y1= en Y2 = en gebruik INTERSECT om het snijpunt te vinden. Neem bijv. WINDOW: Xmin = 0 , Xmax = 10 , Ymin = 0 , Ymax = 0,10 Dat geeft X = 3,0397... dus σ ≈ 3,04

3.	1^e opl.	Het aantal boompjes korte dan 20 is binomiaal verdeeld met n = 40 en p = 0,05 P(X = 1) = BINOMPDF(40 , 0.05 , 1) = 0,27
	2^e opl.	Noem K = korter en B = langer dan 20 cm. De kans op de serie KLLLLLLLLLLL.... is dan 0,05 • 0,95³⁹ Er zijn 40 nCr 1 = 40 zulke series mogelijk de kans wordt dan 0,05 • 0,95³⁹ • 40 = 0,27

4.	NORMALCDF(140 , 170 , 145 , 15) = 0,58276... ≈ 0,58

5.	Stel dat er k kleine bomen zijn, dan zijn er 100 - k grote bomen. Dat levert in totaal k • 10 + (100 - k) • 15 = 10k + 1500 - 15k = 1500 - 5k euro op, en dat moet 1300 euro zijn Daaruit volgt dat k = 40. Dus van de 100 bomen moeten er 40 klein zijn, dus 40% van de bomen is klein. NORMALCDF(-1E99 , X , 145 , 15) = 0,40 Invoeren in de GR en met INTERSECT het snijpunt vinden geeft X = 141,19979.. cm Conclusie: de grens moet liggen bij ongeveer 141 cm.

6.	De x- coördinaat van P is 3. h(3) = √(36 - 3²) = √27 ≈ 5,20

7.	De stang is 5 cm, en het midden van de boog ligt bij x = 3, dus het rechter uiteinde van de stang ligt bij x = 5,5 h (5,5) = √(36 - 5,5²) = 2,3979... dus ongeveer 240 cm.

8.	Als de hoogte 4 is, dan moet gelden: √(36 - x²) = 4
	1^e opl.	√(36 - x²) = 4 ⇒ 36 - x² = 16 ⇒ x² = 20 ⇒ x = √20 ≈ 4,4721... De lengte van de stang is dan 2 • 4,4721 ≈ 294 cm.
	2^e opl.	Los de vergelijking op door beide leden in te voeren in de GR en INTERSECT te gebruiken.

9.	De gevraagde helling is h'(3) en die is op twee manieren te berekenen:
	1^e opl.	Voer Y1 = √(36 - x²) in in de GR. Gebruik CALC - dy/dx - X=3
	2^e opl.	Punt (3, 5.196152..) en (3.001 , 5.195574....) ^Δ^y/_Δ_x = ^{(5.195574... - 5.196152...)} / _{(3.001 - 3)}
	Beide methoden leveren helling -0,577


11.	De groeifactor per week is 0,3 Een week is 7 perioden van 24 uur. Als g de groeifactor per periode van 7 uur is, dan geldt dus g7 = 0,3 dus g = 0,3^1/7= 0,841982...

12.	Als 40% wordt afgebroken is nog 60% over. Dat is 0,6 • 500 = 300 mg Er moet dus gelden 300 = 500 • 0,842^t ⇒ 0,842^t = 0,6 ⇒ t = ^0,842log 0,6 = ^{(log 0,6)} /_log(0,842) = 2,970 Dat is 2,970 • 24 = 71 uur.

13.	De vergelijking bij dit probleem is M(t) = 500 • 0,842^t. Dat levert de punten (0 , 500) en (0.001 , 499.914...) Het differentiequotiënt is ^{(499.914.. - 500)} / _{(0.001 - 0)}= -86 mg.dag. Dat komt overeen met -86/24 = -3,6 mg/uur

14.	Na de eerste week is nog 500 • 0,3 = 150 mg over. Na inname van de tweede tablet is er 500 + 150 = 650 mg. Dat wordt vervolgens nog 3 dagen lang afgebroken. De hoeveelheid wordt dan 650 • 0,842³ ≈ 388 mg medicijn.

15.	Na de eerste week is nog 500 • 0,3 = 150 mg over. Daar komt 500 mg van de tweede tablet bij. Dus dat wordt 650 Na de tweede week is 650 • 0,3 = 195 mg over. Met de derde tablet wordt dat 695 mg. Aan het eind van de derde week is er nog 695 • 0,3 = 208,5 mg over Na inname van de vierde tablet is er dus 208,5 + 500 = 708,5 mg medicijn. Dat geeft de volgende tekening:

16.	f '(x) = 300 - 3x² f '(x) = 0 ⇒ 300 - 3x² = 0 ⇒ 3x² = 300 ⇒ x² = 100 ⇒ x = 10 of x = -10 De y-coördinaten zijn 2000 en -2000, dus de toppen zijn (10 , 2000) en (-10 , -2000)

17.	1e opl.	De helling in punt P is 300 - 3a² De helling in punt Q is 300 - 3(-a)² = 300 - 3a² De hellingen zijn gelijk dus de raaklijnen evenwijdig.
	2e opl.	De grafiek van f ' is een parabool met top op de y-as, en is dus symmetrisch in de y-as. Dus zijn de waarden van f ' bij a en -a gelijk, dus zijn de raaklijnen daar evenwijdig.

18.	Gemiddeld zal hij per 26 flesjes één gratis flesje krijgen. Dus 10 gratis flesjes bij gemiddeld 260 flesjes.

19.	De kans op een P is ¹/₂₆, dus de kans op geen P is ²⁵/₂₆. De kans op niet P - niet P - wel P is dan (²⁵/₂₆)•(²⁵/₂₆)•(¹/₂₆) » 0,036

20.	Het aantal kurken met een P is binomiaal verdeeld met n = 10 en p = 1/26 P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - BINOMPDF(40 , 1/26 , 0) = 1 - 0,67556... = 0,32443... dus ongeveer 0,324 (Je kunt de kans op X = 0 natuurlijk ook uitrekenen door (²⁵/₂₆)¹⁰ te berekenen)

21.	1^e opl.	De kans op precies de volgorden P-I-L-S is (¹/₂₆)•(¹/₂₆)•(¹/₂₆)•(¹/₂₆) Er zijn 4•3•2•1 = 24 zulke volgorden te maken. De totale kans wordt dus 24 • (¹/₂₆)⁴ = 0,000053... en dat is ongeveer 0,0053%
	2^e opl.	De kans op een goede letter bij de eerste kurk is ⁴/₂₆ De kans op een goede letter bij de tweede kurk is ³/₂₆ De kans op een goede letter bij de tweede kurk is ²/₂₆ De kans op een goede letter bij de tweede kurk is ¹/₂₆ De totale kans wordt dan (⁴/₂₆)•(³/₂₆)•(²/₂₆)•(¹/₂₆) = 0,000053... en dat is ongeveer 0,0053%


10.	Over PT ga je bij 1 naar rechts 0,577 omlaag. Dus bij 8 omlaag ga je ⁸ / _0,577 ≈ 13,9 naar rechts. De afstand van het midden van RS tot T is dus 13,9, dus de afstand RT = 13,9 - 3 = 10,9 meter.