HAVO WISKUNDE B1,  2003 - II
Kalveren
In de veeteelt gebruikt men voor rundvee reeds lang de methode van kunstmatige inseminatie (afgekort KI). De laatste jaren is daarnaast de reageerbuisbevruchting ofwel in-vitro fertilisatie (afgekort IVF) in opkomst. IVF-kalveren zijn bij de geboorte gemiddeld zwaarder dan KI-kalveren.
In de figuur hieronder zijn de gewichtsverdelingen van 1000 pasgeboren IVF-kalveren en 5000 pasgeboren KI-kalveren weergegeven.
Het gewicht van pasgeboren kalveren wordt afgerond op hele kilogrammen. Kalveren die zijn ingedeeld in de gewichtsklasse 30-34 hebben een geboortegewicht vanaf 29,5 kg tot 34,5 kg.

Ui de figuur blijkt dat het percentage IVF-kalveren met een geboortegewicht boven 49,5 kg groter is dan het percentage KI-kalveren met een geboortegewicht boven de 49,5 kg.
5p 1. Bereken het verschil tussen deze twee percentages. Rond je antwoord af op een geheel getal.
De geboortegewichten van IVF-kalveren en die van KI-kalveren zijn bij benadering normaal verdeeld.
2p 2. Leg uit hoe je in de figuur hierboven kunt zien dat de standaardafwijking van het geboortegewicht bij de IVF-kalveren groter is dan bij de KI-kalveren.

 
Van de geboortegewichten van de 1000 onderzochte IVF-kalveren is het gemiddelde 46,6 kg en de standaardafwijking 8,5 kg. De gewichtsverdeling in de figuur hierboven lijkt op een normale verdeling.
Toepassing van de normale verdeling met een gemiddelde van 46,6 kg en een standaardafwijking van 8,5 kg geeft echter vooral voor de klasse 40-44 een ander percentage dan het percentage dat in de figuur staat.
4p 3. Bereken het verschil tussen deze beide percentages.

 
Op een bedrijf worden per jaar 50 IVF-kalveren en 200 KI-kalveren geboren.
Daarbij is de kans op een ernstige afwijking voor elk IVF-kalf 3,7% en voor elk KI-kalf 0,8%.
5p 4. Bereken de kans dat in een willekeurig gekozen jaar op dit bedrijf geen kalf met ernstige afwijkingen wordt geboren. Rond je antwoord af op twee decimalen.

 
Telefonische enquête
De laatste jaren worden veel telefonische enquêtes gehouden. Hierbij is men afhankelijk van de bereikbaarheid van de mensen en van de bereidheid om mee te werken.
Uit onderzoek blijkt dat van een bepaalde groep mensen 85% bereid is om mee te werken als ze bereikt worden. Bij de volgende vragen worden steeds mensen uit deze groep gebeld.

Drie willekeurige mensen worden gebeld en bereikt.
4p 5. Bereken de kans dat van deze drie er precies twee bereid zijn om mee te werken. Rond je antwoord af op drie decimalen.

 
Vaak zijn mensen niet bereikbaar. Slechts bij 35% van de belpogingen komt er contact tot stand.
Ga er in de volgende vragen van uit dat bij elke belpoging de kans dat er contact tot stand komt 35% is.

Twee willekeurige mensen worden gebeld.
4p 6. Bereken de kans dat beide mensen bereikt worden en bereid zijn mee te werken. Rond je antwoord af op drie decimalen.

 
Voor een enquête worden 1000 mensen gebeld. Wie niet wordt bereikt bij de eerste belpoging wordt later een tweede keer gebeld. Zo nodig volgt nog een derde belpoging.
5p 7. Bereken het aantal mensen dat naar verwachting na hoogstens drie keer bellen is bereikt.

 
Voor een andere enquête worden telefonisch 500 mensen benaderd. In verband met de beschikbare tijd wordt bij iedereen één belpoging gedaan.
4p 8. Bereken de kans dat er minstens 200 mensen bereikt worden. Geef je antwoord in gehele procenten nauwkeurig.

 
Hartfrequentie
Een schaatser doet een hardlooptest op een loopband. Na elke 300 meter die de schaatser heeft afgelegd op de loopband wordt er overgeschakeld op een hogere snelheid. De eerste 300 meter loopt hij met een constante snelheid van 10,2 km per uur. Na elke 300 meter wordt deze snelheid met 0,4 km per uur verhoogd. Een hartslagmeter registreert na elke 300 meter de hartfrequentie van de schaatser. De hartfrequentie van een mens is het aantal slagen dat het hart per minuut maakt.

In de volgende figuur zijn de resultaten van de hardlooptest weergegeven. Hierin is te zien dat de eerste meetgegevens vrijwel op een rechte lijn liggen.
H is de hartfrequentie in slagen per minuut en V is de snelheid in km per uur.
Voor snelheden tussen 10 en 15 km per uur is het verband tussen V en H bijna lineair.
4p 9. Geef een formule van dit lineaire verband. Licht je werkwijze toe.

 
Een hardloper doet dezelfde test op de loopband. In de figuur hieronder zijn de resultaten weergegeven.
De hartfrequentie waarbij het lineaire verband verloren gaat heet het omslagpunt. Voor de hardloper van de figuur hier direct boven ligt het omslagpunt bij een hartfrequentie van ongeveer 190 slagen per minuut. Bij een grotere inspanning is het hart minder goed in staat om voldoende slagen te maken.
Het verband tussen V en H wordt voor de hardloper bij benadering gegeven door de volgende twee formules:
H = 76,8 + 6,6V voor  11 ≤ V ≤ 17
H = 200 - (0,0545V - 0,836)-1 voor  V ≥ 17

De grafiek van het verband tussen V en H bestaat voor de hardloper uit twee delen die in het omslagpunt op elkaar aansluiten: beide formules geven bij V = 17 bij benadering dezelfde waarde voor H.
4p 10. Onderzoek of de beide formules bij V = 17 ook ongeveer dezelfde helling geven.

 
Ieder mens heeft zijn eigen maximale hartfrequentie.
Voor volwassenen geldt de volgende vuistregel:  HMAX = 220 - 0,9L.
Hierin is HMAX de maximale hartfrequentie en L de leeftijd in jaren met L ≥ 20

De maximale snelheid die de hardloper op de loopband nog net 300 meter lang kan volhouden is 20 km per uur. Bij deze maximale snelheid bereikt hij ook de maximale hartfrequentie.
4p 11. Onderzoek wat de leeftijd van deze hardloper is volgens de gegeven formules en de vuistregel.

 
Medicijnen voorschrijven
Er worden steeds meer medicijnen verkocht. Als een medicijn goed lijkt te werken, stijgt de verkoop extra snel. Zo'n medicijn is Rustical, dat kalmerend werkt.

Het aantal personen per jaar dat Rustical kreeg voorgeschreven wordt sinds 1991 bij benadering gegeven door  A(t) = 3900 • 1,3t. Hierin is t het aantal jaren vanaf 1991 en A(t) het aantal personen per jaar.
4p 12. Onderzoek in hoeveel tijd volgens dit model het aantal personen per jaar dat Rustical krijgt voorgeschreven tien keer zo groot wordt. Rond je antwoord af op een geheel aantal jaren.

 
Het aantal recepten Rustical dat werd voorgeschreven is vanaf 1991 ook bij benadering exponentieel gestegen. In 1996 bedroeg het aantal voorgeschreven recepten voor Rustical 42000 en in 1999 was dit aantal 157000.
4p 13. Toon door een berekening aan dat het jaarlijkse groeipercentage voor het aantal recepten ongeveer gelijk is aan 55%.

 
5p 14. Bereken met hoeveel procent het gemiddeld aantal recepten per patiënt is toegenomen in de periode 1996 - 1999. Rond je antwoord af op een geheel getal.

 
Bij het beoordelen of een patiënt in aanmerking komt voor Rustical gebruiken artsen twee lijsten met elk negen gedragskenmerken: een lijst met negen algemene kenmerken en een lijst met negen bijzondere kenmerken. In de volgende tabel zie je enkele voorbeelden hiervan.
Algemene gedragskenmerken Bijzondere gedragskenmerken
1: heeft regelmatig dagen met ups en downs 1: beweegt plotseling met (delen van) zijn lichaam
2: heeft vaak moeite zich te concentreren 2:  spreekt vaak overdreven snel
3:  ........... 3:  ...........
4:  ........... 4:  ...........
5:  ........... 5:  ...........
6:  ........... 6:  ...........
7:  ........... 7:  ...........
8:  ........... 8:  ...........
9:  ........... 9:  ...........
Het middel Rustical wordt voorgeschreven als een persoon in elk van de twee lijsten aan minstens zes gedragskenmerken voldoet. Niet bij elke persoon met in totaal 13 gedragskenmerken (bijvoorbeeld 8 in de eerste lijst en 5 in de tweede lijst) wordt dus het middel Rustical voorgeschreven.
5p 15. Toon aan dat er meer dan 6000 mogelijke combinaties van 13 gedragskenmerken zijn waarbij de diagnose wel leidt tot het voorschrijven van Rustical.

 
Vierkant
Op het interval [0,1] is gegeven de functie  f(x) = 1 - x2

De grafiek van f snijdt de lijn  y = x in een punt T.
3p 16. Bereken de coördinaten van T. Rond deze  coördinaten af op drie decimalen.
Op het interval [0,1] is ook gegeven de functie 
g(x) = 1 - x3. Een verticale lijn met vergelijking x = p snijdt de grafieken van f en g in twee punten Q en R. Zie de bovenste figuur hiernaast.
6p 17. Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van p, met 0 < p < 1, de lengte van QR maximaal is.

 
Op het interval [0,1] is de functie h gegeven door:
h(x) = 1 - x10.
De grafiek van h snijdt de x-as in A(1,0) en de y-as in C(0,1).
De raaklijn aan de grafiek van h in het punt A snijdt de lijn y = 1 in het punt S. Zie de middelste figuur hiernaast.
4p 18. Bereken de coördinaten van S.
Op het interval [0,1] is de familie van functies  k(x) = 1 - xn gegeven. Hierin in n een positief geheel getal. De functies f, g, en h behoren tot deze familie.
Hoe groter de waarde van n is, hoe meer de grafiek van k, aangevuld met de lijnstukken OA en OC, lijkt op een vierkant OABC.
In de onderste figuur hiernaast zijn voor enkele waarden van n de grafieken van k  met het vierkant OABC getekend.

Voor elke waarde van n snijdt de grafiek van k het lijnstuk OB in een punt T. Hoe groter n is, hoe dichter T bij punt B ligt.
5p 19. Onderzoek voor welke waarden van n de x-coördinaat van T minder dan 0,1 verschilt van de x-coördinaat van B.

 
OPLOSSING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. Boven de 49,5 kg zijn de laatste drie klassen.
We lezen af:  IVF = 21 + 8 + 7 = 36%  en  KI = 6 + 2 + 1 = 9%
Het verschil is ongeveer 27%
   
2. De figuur van de donkere staven is lager en (dus) breder dan die van de lichte staven, dus heeft een grotere standaarddeviatie.
   
3. De klasse 40-44 loopt van 39,5 tot 44,5
Normalcdf(39.5 , 44.5 , 46.6 , 8.5) = 0.200655 dus ongeveer 20%
We lezen af ongeveer 25% dus dat scheelt ongeveer 5%
   
4. De kans op géén afwijking is voor IVF 0,963  en voor KI 0,992
De kans op geen afwijking wordt daarmee  0,96350 • 0,992200 » 0,03
   
5. binomiaal met n = 3, p = 0,85
binompdf(3, 0.85 , 2) = 0,325

of:
(3 nCr 2) • 0,852 • 0,15 = 0,325

   
6. 0,35 • 0,35 • 0,85 • 0,85 = 0,089
aannemende dat het feit of mensen wel of niet bereikt worden onafhankelijk is van het feit of mensen wel of niet mee willen werken.
   
7. De kans dat iemand na drie keer bellen NIET is bereikt is  0,65 • 0,65 • 0,65 = 0,274625
De kans dat iemand WEL is bereikt is dan 1 - 0,274625 = 0,725375
Naar verwachting zullen dus  0,725375 • 1000 ≈ 725 mensen zijn bereikt.
   
8. binomiaal met n = 500, p = 0,35
P(X ≥ 200) = 1 - P(X ≤ 199) = 1 - binomcdf(500 , 0.35 , 199) = 0,01132
Dat is ongeveer 1%.
   
9. Lees twee punten van de lijn af, bijv.  (14, 150) en (19,190)
Het hellinggetal is dan  (190 - 150)/(19-14) = 8
De formule van de lijn wordt dan  H = 8V + b en die moet door (14,150) gaan.
Dat geeft 150 = 8 • 14 + b  ⇒  b = 38 en de formule H = 8V + 38
   
10. V ≤ 17 geeft   helling  6,6
V ≥ 17 geeft (H invoeren bij Y1 en dan CALC - dy/dx) helling ongeveer  6,65
de hellingen zijn dus ongeveer gelijk.
   
11. V = 20 geeft in de formule  H = 196,1
196,1 = 220 - 0,9L  ⇒  0,9L = 23,9  Þ  L = 26,6
   
12. Dan moet  1,3t = 10  ⇒  t = log10/log1,3 = 8,77  ofwel ongeveer 9 jaar
   
13. In drie jaar is het aantal gegroeid met een factor  157000/42000 = 3,738...
Per jaar is dat  3,7381/3 = 1,55197  en dat is inderdaad ongeveer 55%

of:  42000 • 1,55 • 1,55 • 1,55 = 156402 en dat is inderdaad ongeveer gelijk aan 157000
   
14. In 1996 was het aantal patiënten A(5) = 3900 • 1,35 = 14480 en het aantal recepten 42000.
Dat is 42000/14480 = 2,90 recepten per persoon.
In 1999 was het aantal patiënten A(8) = 3900 • 1,38 = 31813 en het aantal recepten 157000.
Dat is 157000/31813 = 4,94 recepten per persoon
De toename is 4,94 - 2,90 = 2,04 en dat is  2,04/2,90 * 100% = 70%
   
15. WEL voorschrijven kan als de verdeling 6 -7 of 7 - 6 is.
6 kiezen uit de eerste lijst kan op 9 nCr 6 = 84 manieren
7 kiezen uit een lijst kan op 9 nCr 7 = 36 manieren.
Samen kan de verdeling 6-7 dan op  84 • 36 = 3024 manieren gekozen worden.
De verdeling 7-6 kan (op dezelfde manier) ook op 3024 manieren worden gekozen.
Samen is dat 3024 + 3024 = 6048 mogelijkheden, en dat is inderdaad meer dan 6000
   
16. 1 - x2 = x  ⇒  x2 + x - 1 = 0  en de ABC formule levert  x ≈ 0,618  ∨  x ≈ -1,618
De laatste is onzin dus de oplossing is  x ≈ 0,618
T is dus het punt  (0.618 , 0.618)
   
17. QR = yR - yQ = (1 - p3) - (1 - p2) = p2 - p3
Dat is maximaal als de afgeleide nul is:  2p - 3p2 = 0  ⇒  p • (2 - 3p) = 0  
 ⇒ p = 0  ∨  p = 2/3
p = 2/3 is het maximum
   
18. h'(x) = -10x9 dus  h'(1) = -10
de raaklijn is dus de lijn y = -10x + b en moet door (1,0) gaan. Daaruit volgt dat b = 10
-10x + 10 = 1  geeft  x = 0,9 dus het snijpunt S is  (0.9 , 1)
   
19. Het verschil is precies 0,1 als  1 - 0,9n = 0,9 want dan gaat de grafiek van k door (0.9 , 0.9)
Daaruit volgt  0,9n = 0,1  ⇒  n = log 0,1/log 0,9  = 21,8543...
De x-coördinaat verschilt minder dan 0,1 als  n ≥ 22