HAVO  WB1 2004 - I
Kogelstoten
Kogelstoten is een onderdeel van de atletiek waarbij het doel is een zware kogel volgens een speciale techniek zover mogelijk weg te werpen; zie foto. Omdat dit veel kracht vereist hebben kogelstoters een stevig postuur.
Voor jonge ongetrainde mensen is vooral het lichaamsgewicht van invloed op de prestatie. Hoe zwaarder de persoon is, hoe verder er gegooid kan worden.
Neem bijvoorbeeld de volgende resultaten van twee deelnemers aan een sportdag (zie volgende tabel).
     
Deelnemer André Bernard
Gewicht (kg) 52,2 74,1
Afstand (m) 12,62 16,37
Bernard heeft verder gegooid dan André, maar hij is ook zwaarder. Om hun prestaties beter te kunnen vergelijken, rekent men de gegooide afstand om in een score.
Daarvoor gebruikt men de volgende formule:  S = A - k • (G - 50) met:
A = de gegooide afstand in meters
G = het lichaamsgewicht van de kogelstoter in kilogrammen.
k = een correctiefactor, te bepalen door de wedstrijdjury.
S = de score
De resultaten van de omzetting van afstanden in scores met k = 0,1 voor André en Bernard staan in de volgende tabel.
Deelnemer André Bernard
Score bij k = 0,1 12,40 13,96
3p 1. Onderzoek of Bernard ook bij k = 0,2 de hoogste score heeft.
Er is een waarde van k waarbij André en Bernard een gelijke score hebben.
3p 2. Bereken de waarde van k. Rond je antwoord af op drie decimalen.
Bij een tweede manier om aan een afstand A een score T toe te kennen gebruikt men de formule:

Deelnemer Cor haalde een afstand van 14,32 meter. Hij kreeg bij de eerste formule met k = 0,1 een score van 14,21.
4p 3. Bereken de score van Cor volgens de tweede formule.
Een kogelstoter met een gewicht van 101 kg heeft de kogel 15,71 meter ver gegooid.
Bij de formule S = A - k • (G - 50)  hangt de waardering hiervoor af van de waarde van k
4p 4. Onderzoek bij welke waarden van k de formule voor S een lagere waardering geeft dan de formule voor T. Rond de grenswaarde af op drie decimalen.

 
Geluidssnelheid in de atmosfeer
Men gaat er vaak vanuit dat de geluidssnelheid in lucht 340 meter per seconde is. Dat is niet helemaal waar. In werkelijkheid hangt de snelheid van het geluid af van de temperatuur. Bij windstil weer wordt het verband bij benadering gegeven door de volgende formule:
Hierbij is V de snelheid van het geluid in meter per seconde bij een temperatuur van T graden Celsius.
In de twintigste eeuw varieerde de temperatuur in Nederland van -27,4 ºC tot 36,8 ºC. De laagste temperatuur van -27,4 ºC werd op 27 januari 1942 in Winterwijk gemeten. De hoogste temperatuur van 38,6 ºC werd op 23 augustus 1944 in Warnsveld bereikt.
Neem aan dat de temperaturen gemeten zijn bij windstil weer.
3p 5. Bereken het verschil van de geluidssnelheden bij deze twee temperaturen.
Bij de volgende vragen gaan we steeds uit van een temperatuur van 15 ºC op 0 km hoogte.

In de atmosfeer neemt de temperatuur tot op 10 km hoogte lineair af tot -50 ºC volgens de formule T = 15 - 6,5h. Hierbij is h de hoogte in kilometer.

Als deze formule wordt gecombineerd met de formule , kan worden afgeleid dat
voor het verband tussen V en h bij benadering de volgende formule geldt:
3p 6. Leid deze formule af.

 
Een grote afstand, zoals bijvoorbeeld Amsterdam - Toronto, moet met een passagiersvliegtuig snel afgelegd kunnen worden. Dat kan alleen als het vliegtuig hoog vliegt omdat dan de luchtweerstand klein is. Voor passagiersvliegtuigen zoals de Boeing 747 mag de snelheid echter hoogstens 90% van de geluidssnelheid zijn.
Een Boeing 747 wil een snelheid maken van 975 km per uur (270,8 m/s)
4p 7. Bereken tot op welke hoogte dit vliegtuig kan vliegen.
Geef het antwoord in kilometers afgerond op één decimaal

 
Een Afrikaans spelletje
Ans en Bert spelen een Afrikaans spelletje op een bord met acht ringen (zie de figuur hiernaast). Ze hebben beiden een blokje en verder is er nog een steentje. Bij het begin staan beide blokjes buiten het speelbord.
Bert neemt, zonder dat Ans het ziet, het steentje in één van beide handen en Ans moet raden in weke hand het steentje zit.

De volgende spelregels gelden:

1.  Als Ans de eerste keer goed raadt, mag zij haar blokje in ring 1 zetten en mag ze opnieuw raden. Zolang ze goed blijft raden schuift ze telkens haar blokje op het speelbord een ring verder.
2. Als Ans fout raadt, wordt er geen blokje verschoven. Ans krijgt dan het steentje en Bert moet raden.
3. Voor Bert geldt dan het zelfde als in regel 1 en 2 voor Ans.
4. Bij de volgende beurten van de spelers gaat het spel verder vanuit de plaats waar hun blokje bij een vorige beurt gekomen was.
5. Degene die in ring 8 is aangekomen en vervolgens goed raadt, schuift het blokje door naar het centrum en is winnaar. Het spel is dan afgelopen.
Ga er bij de volgende vragen van uit  dat Ans begint en dat beide spelers een kans van 1/2 hebben om goed te raden.

Het is mogelijk dan Ans het spel wint zonder dat Bert aan de beurt komt om te raden.
3p 8. Bereken de kans op dit spelverloop.
Rond je antwoord af op drie decimalen.

 
Als Ans goed raadt noteren we A.
als ze fout raadt noteren we a
Als Bert goed raadt, noteren we B
als hij fout raadt, noteren we b.

Nadat er in totaal vier keer (door Ans en Bert samen) geraden is, kan de uitkomst bijvoorbeeld AAAA zijn. Het blokje van Ans ligt dan in ring 4 en dat van Bert ligt nog buiten het bord.
4p 9. Onderzoek of het mogelijk is dat na in totaal vier keer raden het ene blokje in ring 1 ligt en het andere in ring 3.
Leg je antwoord uit.

 
Na in totaal drie keer raden, waarbij Ans begint, zijn er verschillende situaties mogelijk. Hieronder is een begin gemaakt met een tabel waarin deze verschillende situaties zijn weergegeven samen met de stand die dit geeft op het speelbord. Deze tabel moet nog worden aangevuld met een aantal rijen.
Verloop Ringnummer blokje Ans Ringnummer blokje Bert
AAA 3 -
AAa 2 -
5p 10. Vul de tabel aan met de nog ontbrekende rijen en vul deze in.

 
In een nieuw spelletje hebben op een gegeven moment beide spelers hun blokje in ring 8 staan.
4p 11. Bereken de kans dat er in totaal minder dan vier keer geraden wordt tot het spel is afgelopen.

 
Raken
Gegeven is de functie f door
f(x) = 0,2x3 - 0,9x2 + 1,2x + 1
In de figuur hiernaast is de grafiek van f getekend.

Hierin is te zien dat de y-coördinaten van de beide toppen niet veel verschillen.
6p 12. Bereken met behulp van differentiëren het verschil tussen deze y-coordinaten
Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt 1,2 die aan de grafiek van f raken. Zie de figuur hiernaast.
4p 13. Onderzoek of er ook twee lijnen zijn met richtingscoëfficiënt -0,1 die aan de grafiek van f raken.

 
Zeehonden
In een artikel van 19 mei 2001 in de Volkskrant wordt de ontwikkeling van de zeehondenpopulatie in de Nederlandse Waddenzee beschreven.
De grafiek hieronder komt uit dat artikel.
Bekijk de volgende periodes van 10 jaar: 1960 - 1970, 1970 - 1980 , 1980 - 1990 , 1990 - 2000.
4p 14. Teken een toenamendiagram van het aantal getelde zeehonden bij deze perioden.
In het krantenartikel wordt gemeld dat er in 2000 en 2001 sprake is van een populatiegroei van 17 procent per jaar. Neem bij de volgende twee vragen aan dat dit juist is.
Aan het eind van 2001 waren er ongeveer 3900 zeehonden.
3p 15. Bereken het aantal zeehonden aan het eind van 1999

 
In hetzelfde krantenartikel wordt de volgende conclusie getrokken:
Bij voortzetting van de huidige exponentiële groei zal de maximale capaciteit van de Waddenzee snel bereikt zijn. De maximale capaciteit van de Waddenzee is 16000
3p 16. Bereken in welk jaar deze maximale capaciteit bereikt wordt.

 
Het wiskundig model waarin de zeehondenpopulatie met een vast percentage per jaar zal blijven groeien is onwaarschijnlijk.
Daarom wordt een ander wiskundig model voor het aantal zeehonden voorgesteld.
Dit andere model wordt gegeven door de formule:

Het laatste model stemt vrijwel overeen met de ongeveer 3900 zeehonden die eind 2001 geteld werden.

3p 17 Onderzoek of in dit laatste model het jaarlijkse groeipercentage van 2001 naar 2002 ook bij benadering gelijk is aan 17%.
De Amerikaanse presidentsverkiezingen in 2000
De belangrijkste presidentskandidaten in de VS in 2000 waren George Bush en Al Gore. Daarnaast was er een aantal minder bekende kandidaten.

Landelijk bleken Bush en Gore het bij de kiezers bijna even goed te doen. In de staat Florida met meer dan zes miljoen stemgerechtigden, is uiteindelijk de beslissing gevallen. Na tellen en hertellen van de stembiljetten bleek het verschil slechts 300 stemmen te zijn in het voordeel van Bush. We gaan in deze opgave onderzoeken hoe toevallig zo'n gebeurtenis is.

Neem in deze opgave aan dat Bush en Gore de enige kandidaten waren. Neem verder aan dat elke stem die wordt uitgebracht met 50% kans van een aanhanger van Bush is en met 50% van een aanhanger van Gore.

Stel dat er in Florida slechts vier mensen stemden.
4p 18 Bereken de kans dat Bush dan precies twee stemmen kreeg.

 
We gaan nu uit van een onbekend aantal uitgebrachte stemmen.
4p 19. Leg uit dat bij een oneven aantal uitgebrachte stemmen de kans dat Bush wint gelijk is aan 50%

 
We simuleren de verkiezingen voor 60 kiezers door 60 keer een zuivere munt op te gooien. Bij deze munt staat op de ene kant een afbeelding van Bush en op de andere kant een afbeelding van Gore.
5p 20. Bereken de kans dat de afbeelding van  Bush 29, 30 of 31 keer voorkomt. Rond je antwoord af op vier decimalen.

We laten een computer nu precies zes miljoen worpen met de munt nabootsen.
Wiskundigen hebben aangetoond dat bij deze simulatie het aantal stemmen voor Bush bij benadering normaal verdeeld is met een gemiddelde van 3000000 en een standaardafwijking van 1225 stemmen.
5p 21. Bereken de kans dat Bush in deze simulatie wint met hoogstens 300 stemmen verschil.

OPLOSSINGEN
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. De score van André is S = 12,62 - 0,2 • (52,2 - 50) = 12,18
De score van Bernard is  S = 16,37 - 0,2 • (74,2 - 50) = 11,55
Dus voor k = 0,2 heeft Bernard niet de hoogste score.
   
2. André = Bernard
⇒  12,62 - k • (52,2 - 50) = 16,37 - k • (74,1 - 50)

⇒ 12,62 - 2,2k = 16,37 - 24,1k  ⇒  21,9k = 3,75  ⇒  k = 0,171
Of Y1 = 12,62 - X • (52,2 - 50) en Y2 = 16,37 - X•(74,2-50)
Dan CALC - intersect levert  X = 0,171...   
   
3. 14,21 = 14,32 - 0,1 • (G - 50) ⇒ 14,21 = 14,32 - 0,1G + 5 ⇒  0,1G = 5,11  ⇒  G = 51,1
T = 14,32•(50/51,1)2/3 = 14,11
   
4. T = 15,71 • (50/101)2/3 = 9,8312...
15,71 - 51k = 9,8312 ⇒  51k = 5,8788  ⇒  k = 0,11527...
S geeft een lagere waardering voor k > 0,115.
   
5. V(-27,4) = 331•√(1+-27,4/273) = 331 • √(0,8996...) = 313,95
V(38,6) = 331 • √(1 + 38,6/273) = 331 • √(1,141...) = 353,63
Het verschil is dan 353,63 - 313,95 = 39,68 m/s
   
6. Vervang T door  15 - 6,5h:

En daaruit volgt de gegeven formule.
   
7. 270,8 m/s is 90% van de geluidssnelheid, dan is de geluidssnelheid  270,8 • 100/90 = 300,9
331 • Ö(1,0549 - 0,0238h) = 300,9

⇒  √(1,0549 - 0,0238h) = 300,9/331 = 0,909  ⇒  1,0549 - 0,0238h = 0,826  ⇒  0,0238h = 0,2285 
⇒ h = 9,6 km

of:  Y1 = 331 • √(1,0549 - 0,0238X) en  Y2 = 300,9 en dan calc - intersect geeft X = 9,6
   
8. Dan moet Ans negen keer achter elkaar winnen
De kans daarop is  0,59 = 0,001953... = 0,002
   
9. Er moet vier keer goed geraden zijn: 1 keer door Ans 3 keer door Bert of andersom.
Maar om de tweede speler aan de beurt te laten komen moet er ook één keer fout zijn geraden.
Dus in totaal moet minstens 5 keer geraden zijn.
Het is dus na 4 keer raden NIET mogelijk.
   
10.
Verloop Ringnummer blokje Ans Ringnummer blokje Bert
AAA 3 0
AAa 2 0
AaB 1 1
Aab 1 0
aBB 0 2
aBb 0 1
abA 1 0
aba 0 0
   
11. Totaal minder dan vier keer is 1 keer of twee keer of drie keer.
P(1 keer) = P(G) = 0,5
P(2 keer) = P(FG) = 0,5 • 0,5 = 0,25
P(3 keer) = P(FFG) = 0,5 • 0,5 • 0,5 = 0,125
In totaal is dat 0,875.

of:
P(minder dan vier ) = 1 - P(vier of meer) = 1 - P(FFF) = 1 - 0,5 • 0,5 • 0,5 = 0,875
   
12. f '(x) = 0,6x2 - 1,8x + 1,2
f '(x) = 0  ⇒  0,6x2 - 1,8x + 1,2 = 0  ⇒  0,6 • (x2 - 3x + 2) = 0  ⇒  0,6 • (x - 2)•(x - 1) = 0
⇒  x = 2  V  x = 1
(maar gewoon met de ABC-formule  (a = 0,6 en b = -1,8 en c = 1,2) kan natuurlijk ook)
x = 2  geeft  y = 1,4   en  x = 1 geeft  y = 1,5
Het verschil van de y-coördinaten is dus 0,1. 
   
13. Dan moet de helling van de grafiek -0,1 zijn, dus moet gelden f '(x) = -0,1
 0,6x2 - 1,8x + 1,2 = -0,1  Þ  0,6x2 - 1,8x + 1,3  = 0 
De ABC-formule (a = 0,6 en b = -1,8 en c = 1,3) geeft de oplossingen x = 1,12 en x = 1,79
Dus die twee raaklijnen zijn er WEL.
   
14. Aflezen:  (1960, 1250) en (1970, 950) en (1980, 550) en (1990, 600) en (2000, 3400)
De toenames zijn dan  -300 en -400 en +50 en +2800 en dat geeft het diagram hiernaast
   
15. De groeifactor is 1,17
Dus twee jaar eerder waren er 3900 • 1,17-2 = 2849 zeehonden.
   
16. 3900 • 1,17n = 16000
⇒  1,17n = 4,10256...
⇒  n = 1,17log 4,10256 = log 4,10256/log 1,17 = 8,99
Dus ongeveer 9 jaar na eind 2001, en dat is in 2010
   
17. t = 1 was A = 3900
t = 2 invullen in de formule geeft  A = 4561
4561/3900 = 1,17 dus dit is een toename van ongeveer 17%
   
18. Het aantal stemmen op Bush (B) is binomiaal verdeeld met n = 4 en p = 0,5
P(B = 2) = BINOMPDF(4 , 0.5 , 2) = 0,375

of:  P(B = 2) = 0,52 • 0,52 • 4 nCr 2 = 0,375

   
19. Bij een oneven aantal stemmen is er geen gelijke stand mogelijk, dus óf Bush óf Gore moet winnen.
De kans op deze twee gebeurtenissen is even groot, dus elk 50%.
   
20. Het aantal stemmen voor Bush (B)  is binomiaal verdeeld met n = 60 en p = 0,5

P(B = 29 of B = 30 of B = 31) = P(B ≤ 31) - P(B ≤ 28)
= BINOMCDF(60 , 0.5 , 31) - BINOMCDF(60 , 0.5 , 28) = 0,6505... - 0,34944.. = 0,3011

of:
P(29) = BINOMPDF(60 , 0.5 , 29) = 0,09927
P(30) = BINOMPDF(60 , 0.5 , 30) = 0,10258
P(31) = BINOMPDF(60 , 0.5 , 31) = 0,09927
Opgeteld geeft dat 0,3011 
   
21. Hoogstens 300 stemmen verschil betekent dat het aantal stemmen voor Bush tussen 3000001 en 3000150 ligt.
NORMALDF(3000001 , 3000150 , 3000000 , 1225) = 0,0484...