HAVO WISKUNDE B1,  2004 - II
Bacteriecultuur
De groei van het aantal bacteriën van een bacteriecultuur hangt onder andere af van het voedingspatroon, de temperatuur en de belichting.
Uit onderzoek blijkt dat het aantal bacteriën van een bepaalde bacteriecultuur onder bepaalde omstandigheden gedurende de eerste vier weken benaderd kan worden door de formule:
N = -100t3 + 300t2 + 900t + 1000    (0 £ t £ 4)

Hierbij is N het aantal bacteriën en t de tijd in weken na t = 0.
2p 1. Bereken het maximale aantal bacteriën.
3p 2. Bereken hoeveel bacteriën er gemiddeld per dag bijkomen gedurende de derde week.
Rond je antwoord af op een geheel getal.

 
5p 3. Bereken met behulp van differentiëren op welk tijdstip t tussen 0 en 4 het aantal bacteriën het sterkst stijgt.

 
Na 4 weken worden de omstandigheden gewijzigd. Daardoor verloopt het aantal bacteriën voor  4 ≤ t ≤ 8 volgens de formule:
N = -3000 + 24000/t
In de figuur hieronder zie je de grafiek van N met 0 ≤ t ≤ 8  en  -2000 ≤ N ≤ 4000.
6p 4. Onderzoek gedurende hoeveel dagen van t = 0 tot en met t = 8 er meer dan 2000 bacteriën zijn. Rond je antwoord af op een geheel aantal dagen.
4p 5. Teken een grafiek van het verloop van N' als functie van t voor de eerste 8 weken.
Uitgaan
Vier jongens en vijf meisjes gaan samen een avondje uit. Eerst gaan ze naar een musical en daarna naar een discotheek.

In de theaterzaal is voor hen een rij met 9 stoelen gereserveerd. Elke jongen gaat tussen twee meisjes zitten. Het maakt daarbij niet uit wie op welke stoel komt te zitten.
4p 6. Bereken op hoeveel verschillende manieren de groep op deze 9 stoelen kan plaatsnemen.

Van deze musical zijn al heel wat voorstellingen geweest. We gaan ervan uit dat de duur van de voorstelling, inclusief de pauze, bij benadering normaal verdeeld is met een gemiddelde van 2,5 uur en een standaardafwijking van zeven minuten.
5p 7. Bereken de kans dat de musical, die om 20.30 begint, niet later dan 23.15 is afgelopen.

Van de jongens en meisjes hebben Karel en Jeanne elk een auto. Met deze twee auto's rijden ze van de musical naar de discotheek.
In de auto van Karel is nog ruimte voor drie personen. In de auto van Jeanne zijn nog vier plaatsen vrij. De overige zeven personen zonder auto moeten over deze twee auto's verdeeld worden.
4p 8. Bereken het aantal mogelijkheden om de jongens en meisjes over de twee auto's te verdelen. Het doet er niet toe op welke plaats iemand in de auto gaat zitten.

Onderweg passeren deze twee auto's een alcoholcontrolepost. De politie controleert 30% van alle auto's die deze post passeren.

Neem aan dat voor elke auto de kans op controle 0,30 is.
5p 9. Bereken de kans dat minstens één van de twee auto's gecontroleerd wordt.

Asfaltbetonwegen
De snelwegen in Nederland zijn voornamelijk asfaltbetonwegen.
De meest voorkomende zijn de dichte asfaltbetonwegen (DAB-wegen) en de zeer open asfaltbetonwegen (ZOAB-wegen).
In de figuur hieronder is voor bovengenoemde soorten wegen het verband weergegeven tussen de snelheid v van het verkeer en het geluidsniveau D van het verkeer.
Hierbij is v in km/uur  en  D in dB (decibel)

Voor ZOAB-wegen geldt bij benadering de volgende formule:

D = 28 • log(v) + 16
Een geluidsniveau van 20 dB of lager kun je niet meer horen. Een geluidswal vermindert het geluidsniveau met ongeveer 43 dB. Aan de ene kant van de geluidswal loopt een ZOAB-weg en aan de andere kant wonen mensen.
4p 10. Bereken bij welke snelheid de bewoners achter de geluidswal iets van het verkeer beginnen te horen.
 Geef je antwoord in gehele kilometers per uur.

Voor DAB-wegen geldt voor het verband tussen v en D bij benadering de formule:
D = 36•log(v) + 4
4p 11. Bereken bij welke snelheden van het verkeer het geluidsniveau op een ZOAB-weg meer dan 3 dB lager is dan op een DAB-weg.

Een auto wordt op een ZOAB-weg ingehaald door een auto van het zelfde type, die twee keer zo snel rijdt.
4p 12. Onderzoek het verschil van de geluidsniveaus van beide auto's.

Kangoeroe
Elk jaar wordt in een groot aantal landen de Europese Kangoeroewedstrijd gehouden. De wiskundewedstrijd duurt 75 minuten. De deelnemers moeten in die tijd 30 meerkeuzevragen maken.
Bij elke vraag worden vijf mogelijke antwoorden aangeboden:  A, B, C, D en E.
Met een goed antwoord verdien je punten en met een fout antwoord verlies je punten.
Een vraag mag ook onbeantwoord blijven: je krijgt dan 0 punten.
De vragen zijn ingedeeld in drie categorieën  I, II en III, elk met een eigen puntenwaardering, zoals aangegeven in onderstaande tabel.
Categorie I II III
Vragen 1 t/m 10 11 t/m 20 21 t/m 30
aantal punten per goed antwoord 3 4 5
aantal verliespunten per fout antwoord 3/4 1 5/4
Iedere deelnemer krijgt vooraf 30 punten. De hoogst mogelijke totaalscore is 150.
3p 13. Bereken de laagst mogelijke totaalscore.

Op het antwoordblad van een deelnemer was het aantal onbeantwoorde vragen in de categorieën I, II en III achtereenvolgens  2, 3 en 6. Het aantal goede antwoorden was achtereenvolgens  7, 4 en 1.
5p 14. Bereken de totaalscore van deze deelnemer.

Wim vult op de gok zijn antwoordblad in met behulp van een dobbelsteen. Het aantal ogen bij een worp bepaalt het antwoord:  1, 2, 3, 4, 5 ogen voor achtereenvolgens de antwoorden A, B, C, D, E. Bij 6 ogen laat Wim de vraag onbeantwoord.

Wim levert zijn antwoordblad in.
3p 15 Bereken de kans dat hij hoogstens vijf goede antwoorden heeft.
Rond je antwoord af op twee decimalen.

6p 16. Bereken de te verwachten totaalscore van Wim.

Twee lijnen en een driehoek
Gegeven zijn de twee functies:

f(x) = 0,5x + 2   en   g(x) = 8 - x

De grafiek van f snijdt de y-as in punt A.
De grafiek van g snijdt de y-as in punt B.
De twee grafieken snijden elkaar in punt C.
4p 17. Bereken de oppervlakte van driehoek ABC.

Lijn l is evenwijdig aan de y-as
Lijn l snijdt de grafiek van f in punt S en de grafiek van g in punt T. Er geldt  ST = 18
6p 18. Bereken de mogelijke coördinaten van S en T.

De matrixcode
De producten in een supermarkt zijn voorzien van een streepjescode. Men heeft ook andere codes bedacht. Een voorbeeld van zo'n andere code is de matrixcode. In deze opgave bekijken we een vereenvoudigd model van de matrixcode.
In de figuur boven hiernaast is een lege matrixcode getekend.
De matrixcode bestaat uit een vierkant van 8 bij 8 vakjes. Om de code machinaal goed te kunnen lezen zijn twee randen altijd zwart. De overige 49 vakjes kunnen zwart of wit zijn.
In de figuur hiernaast (onder) is een matrixcode getekend met drie zwarte vakjes.
3p 19. Bereken het aantal matrixcodes met drie zwarte vakjes.

Er wordt beweerd dat er met de matrixcode meer dan 100 miljard verschillende codes te maken zijn.
3p 20. Toon aan dat deze bewering klopt.

Bij het elektronisch lezen van een matrixcode wordt van alle 64 vakjes de kleur bepaald, ook van de vakjes van de zwarte randen. Jammer genoeg gaat dat lezen wel eens mis: een zwart vakje wordt voor wit aangezien, of omgekeerd.

Neem aan dat de kans op een leesfout voor ieder vakje 0,00005 is.
4p 21. Bereken de kans op één of meer leesfouten bij het lezen van een matrixcode.
Rond je antwoord af op vier decimalen.

OPLOSSING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. In het maximum is de afgeleide nul.
N'(t) = -300t2 + 600t + 900 = -300•(t2 - 2t - 3) = -300•(t + 1)•(t - 3)
Dat is nul als t = -1 of t = 3  (maar t = -1 valt af)
t = 3 levert  N(3) = 3700

(dit alles mag uiteraard ook met de GR)
2. N(3) = 3700
N(2) = 3200
Dus in 7 dagen zijn er 500 bijgekomen. Dat is ongeveer 71 per dag.
   
3. De snelheid waarmee het aantal stijgt is de afgeleide.
N'(t) = -300t2 + 600t + 900
Het gaat erom wanneer dit maximaal is, dus dan is de afgeleide híervan nul.
-600t + 600 = 0  ⇒  t = 1

(dit laatste maximum mag ook met de GR worden berekend)
   
4. Voor  0 ≤ t ≤ 4 lossen we op  -100t3 + 300t2 + 900t + 1000 = 2000
Invoeren in de GR en dan intersect levert   t » 0,917

Voor  4 ≤ t ≤ 8 lossen we op  -3000 + 24000/t = 2000  ⇒  24000/t = 5000  ⇒  t = 24000/5000 = 4,8
Uit de grafieken voor N(t) lezen we vervolgens af dat voor t tussen  0,917 en 4,8 het aantal meer is dan 2000, en dat is 4,8 - 0,917 = 3,883 weken en dat is ongeveer 27 dagen.
   
5. Voor 0 ≤ t ≤ 4  geldt:  N'(t) = -300t2 + 600t + 900
Voor  4 ≤ t ≤ 8 geldt:  N(t) = -3000 + 24000 • t-1  ⇒  N'(t) = -24000•t-2
Plotten geeft de volgende grafiek:
   
6. De jongens kunnen in 4! = 24 volgordes zitten
De meisjes kunnen in 5! = 120 volgordes zitten
Gecombineerd levert dat 24 • 120 = 2880 volgordes
   
7. De musical mag dan hoogstens  23.15 - 20.30 =  165 minuten duren.
Normalcdf(0,165, 150,7) = 0,98
   
8. Kies de drie passagiers bij Karel uit (dan moet de rest vanzelf met Jeanne mee)
Dan moet ze 3 mensen kiezen uit 7, dat kan op 7 nCr 3 = 35 manieren.
   
9. P(geen van beiden wordt gecontroleerd) = 0,7 • 0,7 = 0,49
P(minstens één gecontroleerd) = 1 - 0,49 = 0,51
   
10. Het geluidsniveau bij de mensen moet dan 20 dB zijn, dus het geluidsniveau vóór de wal  63 dB.
63 = 28log(v) + 16  ⇒  47 = 28 log(v)  ⇒  log(v) = 1,6785...  ⇒  v = 101,6785... = 47,70...
De snelheid is dus 48 km/uur

(het mag uiteraard ook met de GR: intersect)
   
11. DZOAB < DDAB - 3
28log(v) + 16 <  36log(v) + 4 - 3
Invoeren in de GR en dan intersect geeft  v = 74,989  dus vanaf 75 km/uur is het geluidsniveau op een ZOAB-weg meer dan 3 lager dan op een DAB-weg.

Algebraïsch:
28log(v) + 16 = 36log(v) + 1  ⇒  15 = 8log(v)  ⇒  log(v) = 1,875  ⇒  D = 101,875 = 74,989...
   
12. Plot de grafieken Y1 = 28log(2v) + 16 en  Y2 = 28log(v) + 16
Plot vervolgens het verschil  Y1 - Y2
Dat blijkt een horizontale lijn te zijn op hoogte Y = 8,4
Het verschil in geluidsniveau is dus constant 8,4 dB.

Algebraïsch:
D1 = 28log(2v) + 16 = 28 • (log(2) + log(v)) + 16 = 28log(2) + 28log(v) + 16 = D2 + 28log(2)
Dus de snelste auto heeft een geluidsniveau dat 28log(2) groter is (ongeveer 8,4288... dB)

   
13. Het maximale aantal strafpunten is 10 • 0,75 + 10 • 1 + 10 • 1,25 = 30
De minimale score is dan 30 - 30 = 0 punten
   
14. De plusscore is  7 • 3 + 4 • 4 + 1 • 5 = 42
De minscore is  1 • 0,75 + 3 • 1 + 3 • 1,25 = 7,5
De totaalscore is dan 30 + 42 - 7,5 = 64,5
   
15. Het aantal vragen goed is binomiaal verdeeld met n = 30 en p = 1/6
P(X ≤ 5) = binomcdf(30, 1/6, 5) = 0,62
   
16. De kans dat hij een goed antwoord invult is 1/6, en een fout antwoord 4/6
Voor categorie I geeft dat het volgende tabelletje:
gebeurtenis kans punten
goed 1/6 3
fout 4/6 -0,75
niet ingevuld 1/6 0

Het gemiddelde aantal punten per vraag is dan  3 • 1/6 - 0,75 • 4/6 + 0 • 1/6  = 0
Voor categorie II geeft dat op dezelfde manier ook een gemiddelde van 0, en voor III ook.
De verwachte score voor Wim is dus 0 punten per vraag, dus hij zal 30 - 0 = 30 punten scoren.
   
17. A:  f(0) = 0,5 • 0 + 2 = 2, dus  A = (0,2)
B:  g(0) = 8 - 0 = 8  dus  B = (0,8)
C:  0,5x + 2 = 8 - x  ⇒  1,5x = 6  ⇒  x = 4  en  y = 8 - 4 = 4  dus  C = (4,4)
Oppervlakte = 0,5 • AB • hoogte = 0,5 • 6 • 4 = 12
   
18. eerste mogelijkheid is  ST = yg - yf = (8 - x) - (0,5x + 2) = 8 - x - 0,5x - 2 = 6 - 1,5x = 18
Dat geeft  1,5x = -12  ofwel  x = -8
In dat geval is  S = (-8, -2)  en  T = (-8, 16)

Tweede mogelijkheid is  ST =   yf - yg = (0,5x + 2) - (8 - x) = 1,5x - 6 = 18
Dat geeft  1,5x = 24  ofwel  x  = 16
In dat geval is  S = (16, 10)  en  T = (16, -8)  

   
19. 3 vakjes kiezen uit 49 kan op  49 nCr 3 = 18424 manieren.
   
20. voor 49 vakjes moet je kiezen zwart of wit.
Dat geeft een boom die 49 keer in tweeën wordt gesplitst.
Deze boom krijgt 249 = 5,6 • 1014 takken
Dat is meer dan 100 miljard, want dat is 1011
   
21. P(vakje goed) = 1 - 0,00005 = 0,99995
P(64 vakjes goed) = 0,9999564 = 0,9968
P(één of meer fout) = 1 - 0,9968 = 0,0032