HAVO WB1, 2005 - I
Modderstroom
Er zijn vulkanen die geen lava uitspuwen, maar een constante stroom modder geven. De koude modder stroomt als een rivier langzaam de helling af. Zie de bovenste foto hiernaast.
Aan de rand van deze stroom droogt de modder op. Daar stroomt de modder dus wat langzamer dan in het midden.
Dat is te zien aan het geribbelde patroon.

Om dit snelheidsverschil te meten gebruiken geologen stenen die ze op de modderstroom leggen. Bij een modderstroom van ruim 6 dm breed gebeurt dat als volgt. Een geoloog legt een rij van 7 stenen  dwars in de stroom. Elke steen krijgt een nummer van 0 t/m 6. Steen nummer 0 legt hij vlak bij de rand van de stroom. Het midden van steen nummer 1 legt hij op 1 dm afstand van het midden van steen nummer 0. De afstand tussen de middens van opeenvolgende stenen is steeds 1 dm. Steen nummer 6 ligt vlak bij de andere rand.
Het resultaat zie je op de onderste foto hiernaast.

Elk uur meet hij de afstand die de stenen door de stroom hebben afgelegd. In de onderstaande figuren zie je de ligging na één uur en na drie uur.

De afstand A (in dm) die de stenen na één uur hebben afgelegd, wordt beschreven door de formule:
A = -0,1x2 + 0,6x + 19,4
Hierbij is x de afstand in dm van het midden van een steen tot het midden van steen 0 bij het begin van het proces.
3p

1.

 Bereken de afstand die steen nummer 2 het eerste uur heeft afgelegd.

 
De stenen gaan met de modder mee de berg af. Elke steen heeft zijn eigen constante snelheid.
4p

2.

 Van welke stenen ligt die snelheid het dichtst bij 20 dm per uur?
Licht je antwoord toe met een berekening.

De geoloog heeft de stenen op een rechte lijn loodrecht op de stroomrichting gelegd. Steen nummer 3 zal door de stroom sneller vooruitkomen dan de andere stenen. Het weglengte verschil W dat op die manier tussen steen nummer 3 en steen nummer 6 na één uur ontstaat is afgebeeld in de figuur hiernaast.
3p

3.

 Toon aan dat het weglengteverschil W tussen steen nummer 3 en steen nummer 6 na één uur 9 cm is.
Op een gegeven moment meet de geoloog een weglengteverschil W tussen steen nummer 3 en steen nummer 6 van 83 cm.
4p

4.

 Bereken de totale afgelegde weg van de steen met nummer 3 gerekend vanaf de plek waar de geoloog de stenen in de modderstroom gelegd heeft.
Geef je antwoord in cm nauwkeurig.

 

Alcohol en rijvaardigheid.
Iemand die alcohol heeft gedronken en in een auto gaat rijden heeft een verhoogde kans op een ongeluk. Deze kans hangt af van het bloedalcoholgehalte B, dat wordt uitgedrukt in  promillages. Een promillage van 1 wil zeggen dat 1 milliliter bloed één millegram pure alcohol bevat.

Onderzoekers hebben voor een aantal promillages de verhoogde kans op een ongeluk vastgesteld. Zie onderstaande figuur. In deze grafiek is bijvoorbeeld af te lezen dat bij een promillage van 1,3 de risicofactor R ongeveer 7 is. Dat wil zeggen dat de kans op een ongeluk zeven maal zo groot is als de kans bij een promillage van 0.

Als er geen alcohol in het lichaam afgebroken zou worden, is er voor mannen het volgende verband tussen het aantal gedronken glazen en het bloedalcoholgehalte:
B = 100a/7m   (a is het aantal glazen en m is het lichaamsgewicht in kilogram)

Een jongen die geslaagd is voor zijn examen verschijnt om 22.00 uur op een examenfeest en drinkt in korte tijd 6 glazen bier. Direct daarna rijdt hij met zijn auto naar een ander feest. Zijn lichaam heeft dan nog geen tijd gehad om ook maar een gedeelte van de genuttigde alcohol af te breken.
Deze jongen weegt 69 kg.
3p

5.

 Leid met behulp van de gegeven formule en de grafiek af hoe groot de risicofactor R is.

Een meisje drinkt ieder half uur een glas bier. Haar eerste glas drinkt zij om 20.00 uur. Haar laatste glas bier drinkt zij om 22.00 uur. Naast het bier drinkt zij die avond geen andere alcoholhoudende drank. Dit meisje weegt 65 kilo.
Als er geen alcohol in het lichaam afgebroken zou worden, is er voor vrouwen het volgende verband tussen het aantal gedronken glazen en het bloedalcoholgehalte:
B = 100a/5m  (a is het aantal glazen en m is het lichaamsgewicht in kilogram)

In werkelijkheid wordt alcohol in het lichaam afgebroken. Dat begint een half uur na de inname ervan. De afbraak gaat door zolang het bloed alcohol bevat. Er wordt per uur steeds evenveel alcohol afgebroken.
Er geldt de volgende formule:  A = 0,002 • m(u - 0,5)
In deze formule staat A voor de afname van het bloedalcoholgehalte (in promillages), u voor het aantal uren vanaf het moment waarop het eerste glas gedronken wordt en m voor het gewicht in kilogram.
Uit de formules voor B en A volgt dat door één glas bier per half uur te drinken het bloed van het meisje op elk moment alcohol bevat.

Na het feest gaat het meisje met de auto naar huis. Om 02.00 uur wordt zij door de politie aangehouden voor een blaastest. Doorrijden met een promillage van 0,5 of hoger is in Nederland niet toegestaan.
5p

6.

 Onderzoek of het meisje volgens deze regel van de politie mag doorrijden.

Uit een onlangs gepubliceerd onderzoek bleek dat 88% van de Nederlandse mannen van 15 jaar en ouder wel eens alcohol gebruikt.
We nemen willekeurig twee Nederlandse mannen van 15 jaar en ouder.
3p

7.

 Bereken de kans dat precies één van de twee wel eens alcohol gebruikt.

Van de Nederlanders die 15 jaar of ouder zijn is 48% man en 52% vrouw.
Uit het genoemde onderzoek bleek dat van alle Nederlanders van 15 jaar en ouder 80% wel eens alcohol gebruikt.
4p

8.

 Bereken hoeveel procent van de vrouwen wel eens alcohol gebruikt.

 

Nederlandse Spoorwegen
Bij de kaartjescontrole in de trein hanteert de NS het begrip controle-intensiteit. Met een controle-intensiteit van 10% op een bepaald traject bedoelt de NS dat er in de spitsuren gemiddeld in 1 op de 10 ritten op dat traject kaartjescontrole plaatsvindt.
We gaan ervan uit dat iemand dan een kans heeft van 10% om bij een rit op dat traject gecontroleerd te worden.

Een reiziger neemt op een dag een retourtje op dit traject (dat zijn dus 2 ritten) Hij reist in de spitsuren. Neem aan dat de controle-intensiteit op dit traject 10% is.

2p

9.

 Bereken de kans dat hij die dag op dit traject niet wordt gecontroleerd.

Deze reiziger neemt in een bepaalde week op elk van de vijf werkdagen een retourtje op dit traject, waarbij hij steeds in de spits reist.
3p

10.

 Bereken de kans dat hij tijdens deze werkweek precies één keer wordt gecontroleerd.

Wordt de controle-intensiteit op een bepaald traject gelijk gesteld aan p (in %), dan is de kans dat een reiziger in de spitsuren van een werkweek (10 ritten) geen enkele maal gecontroleerd wordt gelijk aan (1 - 0,01p)10 
3p

11.

 Toon dit aan.

De NS wil ervoor zorgen dat de kans dat een reiziger in de spitsuren van een werkweek (10 ritten) geen enkele maal gecontroleerd wordt hoogstens 20% is.
4p

12.

 Onderzoek hoe groot de controle-intensiteit dan minstens moet zijn.

De pakkans bij zwartrijden hangt af van de wijze waarop wordt gecontroleerd en ook van de plaats die de reiziger in de trein kiest. Neem aan dat een trein uit zes even grote rijtuigen bestaat: W1-W2-W3-W4-W5-W6 (zie onderstaande figuur).

De conducteur controleert op elke rit twee aangrenzende rijtuigen: hij stapt in een willekeurig rijtuig, bijvoorbeeld W5, en controleert dit volledig. Daarna controleert hij een aangrenzend rijtuig. Hij kan in dit voorbeeld dus kiezen uit twee rijtuigen: W4 of W6. Wanneer de conducteur als eerste rijtuig echter W6 had gekozen om te controleren, dan zal hij als tweede rijtuig W5 controleren. In dat geval hoeft hij niet te kiezen.
5p

13.

 Bereken de kans dat tijdens een rit het rijtuig W5 wordt gecontroleerd.

 

Bevolkingsgroei.
Demografen houden zich onder andere bezig met de samenstelling, opbouw en groei van de bevolking. De groei van de bevolking is onder andere afhankelijk van het aantal geboorten. Neem aan dat het aantal geboorten per dag in Nederland bij benadering normaal verdeeld is met een gemiddelde van 550 en een standaardafwijking van 35.
3p

14.

 Bereken op hoeveel dagen van één jaar er in Nederland naar verwachting 500 of meer geboorten zullen zijn.

Hieronder is de grafiek van een normale verdeling getekend met gemiddelde m en standaardafwijking s.

3p

15.

 Bereken de kans dat op een willekeurige dag het aantal geboorten tussen μ - σ en μ + 2σ ligt.

De groei van de bevolking hangt ook af van het aantal sterfgevallen. We nemen aan dat het aantal sterfgevallen per dag ook bij benadering normaal verdeeld is en niet afhankelijk is van het aantal geboorten per dag.
Dagen waarop zowel het aantal geboorten als het aantal sterfgevallen ligt tussen het gemiddelde min één standaardafwijking en het gemiddelde plus één standaardafwijking komen uiteraard veel voor.
4p

16.

 Bereken de kans dat op een willekeurige dag zowel het aantal geboorten als het aantal sterfgevallen minder dan één standaardafwijking afwijkt van het gemiddelde.

De normale verdeling van het aantal sterfgevallen per dag in Nederland heeft een gemiddelde van 385. Een grafiek hiervan staat hiernaast.
Gegeven is dat de kans op een uitkomst tussen 367,3 en 402,7 bij deze normale verdeling 60% is. Zie daarvoor de figuur en het grijs gekleurde vlakdeel.
4p

17.

 Bereken de standaardafwijking van deze verdeling.

In onderstaande tabel staan de prognoses van de bevolking in Nederland.
Jaar 2005 2010 2015 2020
Totale bevolking 16425000 16865000 17205000 17492000
Percentage 65+ -ers 13,9 14,8 16,9 18,4
Volgens deze tabel vergrijst de bevolking in de periode van 2005 tot 2020. Het percentage 65+ -ers neemt namelijk toe van 13,9 naar 18,4. Het aantal  65+ -ers stijgt eveneens in deze periode.
4p

18.

 Bereken met hoeveel procent het aantal 65+-ers in Nederland in de periode 2005 - 2020 zal stijgen.
Om een schatting te geven van de grootte van de Nederlandse bevolking in 2009 gaat men uit van een exponentiële groei in de periode 2005 - 2010. Het groeipercentage over deze periode is ongeveer 2,7%. Als startwaarde gebruiken we de grootte van de bevolking in 2005.
4p

19.

 Geef, uitgaande van deze exponentiële groei, een schatting van de grootte van de Nederlandse bevolking van 2009. Rond je antwoord af op duizendtallen.

Derdegraadsfuncties
Gegeven is de functie  f (x) = -x3 + 27x + 44
De punten A en B zijn de toppen van de grafiek van f.
Zie de bovenste grafiek hiernaast.
Deze toppen liggen even ver van de y-as

5p

20.

 Toon dit aan met behulp van differentiëren.

Q is het snijpunt van de grafiek van f met de y-as. De lijn k door Q  evenwijdig aan de x-as snijdt de grafiek ook nog in de punten P en R. Zie de onderste figuur hiernaast.
5p

21.

 Bereken de lengte van PR.
Rond je antwoord af op twee decimalen.
Een familie van functies is gegeven door h(x) = (x + 4)(p + 4x - x2 ), waarbij p elk reëel getal kan voorstellen.
4p

22.

 Toon aan met behulp van algebra dat er een waarde van p is waarbij de bijbehorende functie h gelijk is aan de functie f.

 

UITWERKING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. Bij steen nummer 2 hoort  x = 2,  en A(2) = -0,1 • 22 + 0,6 • 2 + 19,4 = 20,2 dm
2. -0,1x2 + 0,6x + 19,4 = 20  ⇒  -0,1x2 + 0,6x - 0,6 = 0
ABC formule met a = -0,1 en b = 0,6 en c = -0,6 geeft  x » 1,27 of  x » 4,73
Het dichtst daarbij liggen steen 1 en steen 5 

of

x 0 1 2 3 4 5 6
A(x) 19,4 19,9 20,2 20,3 20,2 19,9 19,4
3. A(3) = 20,3 en  A(6) = 19,4 en het verschil daartussen is 0,9 dm = 9cm.
4. per uur neemt het verschil 9 cm toe (zie vraag 3)
voor een verschil van 83 cm is dus  83/9 uur nodig.
Steen 3 legt 203 cm per uur af, dus in 83/9 uur is dat 83/9 • 203 ≈ 1872 cm.
5. B = (100 • 6)/(7 • 69) ≈ 1,24
De grafiek geeft een R-waarde van ongeveer 6,5
6. Ze heeft in totaal 5 glazen bier gedronken, dus B = 100 • 5 / 5 • 65 = 1,538
02.00 uur is 6 uur na 20.00 uur, dus u = 6
A = 0,002 • 65 • (6 - 0,5) = 0,715 en dat is de afname.
Er is dus nog over:  1,538 - 0,715 = 0,823
Dat is meer dan 0,5 dus ze mag niet doorrijden.
7. P(precies één) = P(eerste wel en tweede niet) + P(eerste niet en tweede wel)
= 0,88 • 0,12 + 0,12 • 0,88 = 0,2112
8. Als dat p% , dan geldt:  p • 0,52 + 88 • 0,48 = 80  en daaruit volgt eenvoudig p ≈ 73%
9. P(niet, niet) = 0,9 • 0,9 = 0,81
10. binompdf(10, 0.10, 1) = 0,3874

of
10 • 0,11 • 0,99 = 0,3874
11. Als de kans p procent gecontroleerd wordt, dan is de kans  0,01p
Dus is de kans op NIET controleren 1 - 0,01p
De kans op 10 keer niet controleren is dan (1 = 0,01p)10 
12. 0,20 = (1 - 0,01p)10  ⇒  1 - 0,01p = 0,201/10 ≈ 0,8513
0,01p = 0,1487  ⇒  p ≈ 15%
13. W5 kan op drie manieren gekozen worden:
• direct als eerste:  P = 1/6
• als eerste W6 en daarna verplicht W5:  P = 1/6
• als eerste W4 en daarna kiezen voor W5:  P = 1/6 • 1/2
De totale kans wordt daarmee 1/6 + 1/6 + 1/6 • 1/2 = 5/12
14. normalcdf(500, 100000..., 550, 35) = 0,9234
dus dat zijn 0,9234 • 365 = 337 dagen
15. μ - σ = 550 - 35 = 515  en  μ + 2σ = 550 + 70 = 620
normalcdf(515, 620, 550, 35)= 0,8186
16. Tussen het gemiddelde min-één of plus-één keer de standaardafwijking liggen bij een normale verdeling 68% van alle waarden (vuistregel)
Dat dat voor beide gevallen gebeurt geeft een kans van 0,68 • 0,68 = 0,46
(als je het nauwkeuriger uitrekent kom je overigens uit op 0,4660... en dat zou 0,47 zijn!)
17. normalcdf(367.3, 402.7, 385, X) = 0,60
Y1 = normalcdf(367.3, 402.7, 385, X) en Y2 = 0,60
window bijv. Xmin = 0,  Xmax = 50,  Ymin =0,   Ymax = 1
intersect levert X ≈ 21,03
18. 2005:  13,9% van 16425000 = 2283075
2020:  18,4% van 17492000 = 3218528
De toename is 3218528 - 2283075 = 935453 en dat is 935453/2283075 • 100% ≈ 41%
19. 2,7 procent is een groeifactor 1,027 over 5 jaar.
Per jaar betekent dat een groeifactor 1,0271/5 ≈ 1,00534
in 2009 (4 jaar na 2005) zal de bevolking dan zijn:  16425000 • 1,005344 ≈ 16779000 
20. f '(x) = -3x2 + 27
-3x2 + 27 = 0  ⇒  3x2 = 27  ⇒  x2 = 9  ⇒  x = 3  ∨  x = -3
Dus liggen de toppen even ver van de y-as.
21. x = 0 geeft y = 44 dus k is de lijn y = 44
44 = -x3 + 27x + 44  ⇒  -x3 + 27x = 0  ⇒  x(-x2 + 27) = 0  ⇒  x = 0  ∨  x2 - 27 = 0
⇒  x = 0  ∨  x = √27  ∨ x = -√27
De laatste twee waarden zijn de x-coördinaten van R en P.
De afstand daartussen is 2√27 » 10,39
22. haakjes wegwerken:
xp + 4x2 - x3 + 4p + 16x - 4x2
= -x3 + x(p + 16) + 4p
Daaraan is te zien dat p + 16 = 27  dus p = 11
Als p = 11 is 4p inderdaad ook gelijk aan 44.