HAVO WB1, 2005 - II

 

Weggebruik
Als er een nieuwe verkeersweg geopend wordt, dan zullen sommige automobilisten overstappen van hun gebruikelijke route naar deze nieuwe weg. Bij de planning van nieuwe verkeerswegen is het van belang te weten hoeveel procent van de automobilisten gebruik zal gaan maken van zo'n weg. Uit een onderzoek door Amerikaanse verkeersdeskundigen blijkt dat dit percentage (p) afhangt van de tijdwinst in minuten (t) en de afstandsbesparing in mijlen (d) die een nieuwe autoweg oplevert. In onderstaande figuur is voor een aantal waarden van p in grafieken weergegeven welke waarden van d en t hierbij horen. Een negatieve waarde van d of t betekent dat er sprake is van een omweg of tijdverlies.

In deze figuur is een punt A getekend. In dit punt A geldt: p = 70,  d = 6 en t = -5.
Dit betekent dat 70% van de automobilisten gebruik zal maken van de nieuwe weg dankzij de afstandsbesparing van 6 mijl en ondanks het tijdverlies van 5 minuten.

Bij de planning van een nieuwe weg kan er gekozen worden uit twee verschillende trajecten. Traject I levert een tijdsbesparing van 4 minuten op,  maar wel een omweg van 2 mijl. Bij traject II is er een tijdverlies van 6 minuten maar een afstandsbesparing van 2 mijl.
3p

1.

 Onderzoek met behulp van de figuur bij welk traject (I of II) het percentage gebruikers het grootst is.

 
Bij de grafieken uit de figuur hierboven hebben de Amerikaanse deskundigen de volgende formule gevonden voor het verband tussen p, d en t:

In de figuur hierboven is tevens een punt B getekend.
3p

2.

 Bereken met behulp van de gegeven formule het bij punt B behorende percentage p.
4p

3.

 Bereken met behulp van de gegeven formule bij welke tijdsbesparing 45% van de automobilisten een omweg van 5 mijl zal accepteren.

 
In de figuur lijkt de grafiek die hoort bij p = 50 op een rechte lijn.
4p

4.

 Toon op algebraïsche wijze aan dat volgens de formule deze grafiek een rechte lijn is.

 
We gaan nu uit van een situatie dat de nieuwe weg reeds aangelegd is. Volgens het onderzoek is de kans dat een automobilist van deze nieuwe weg gebruik zal maken gelijk aan 80%. Ga er bij de volgende vraag van uit dat dit klopt.
Op een bepaalde dag zijn er 140 automobilisten die van de nieuwe weg gebruik zouden kunnen maken.
4p

5.

 Bereken de kans dat meer dan 110 van deze 140 automobilisten inderdaad gebruik zullen maken van de nieuwe weg.

 

 

Watertransport.
Bij transport van water via de waterleiding wordt de druk op peil gehouden door pompen in drukstations.
In de figuur hiernaast is een transportschema getekend. Vanaf de bron B wordt het water gepompt naar drukstation T.
In T wordt het water verder gepompt naar een stadswijk W.

De kans dat er een storing optreedt op het gedeelte BT is 3,3% per dag. Voor het gedeelte TW geldt dezelfde kans op een storing.
Als er op een dag in één of in beide delen van het traject B - T - W storing is, valt de watervoorziening in wijk W geheel of gedeeltelijk weg. We noemen dit stagnatie.

De kans op een dag met stagnatie in wijk W is ongeveer gelijk aan 6,5%.

3p

6.

 Toon dit aan.

 
Neem bij de volgende vragen aan dat elke storing bij het begin van de volgende dag is opgeheven.
4p

7.

 Bereken de kans op precies één dag met stagnatie in wijk W in een periode van vier weken.

 
Het aantal dagen waarop de watervoorziening in wijk W stagneert kan worden teruggebracht door de wijk ook aan te sluiten op een leiding vanuit een andere bron C met drukstation U.
De watervoorziening in wijk W stagneert nu pas indien zowel in het traject vanuit B als in het traject vanuit C een storing optreedt.
Dit nieuwe systeem is weergegeven in de bovenste figuur hiernaast. Neem aan dat op elk van de delen CU en UW de kans op een storing ook 3,3% per dag is.

Door bij elk gedeelte een + (transport) of een - (storing) te plaatsen kun je de verschillende situaties weergeven die zich in dit nieuwe systeem kunnen voordoen.
In de onderste figuur hiernaast zie je in voorbeeld 1 een situatie waarbij geen stagnatie in de watervoorziening in wijk W optreedt en in voorbeeld 2 een situatie waarbij dat wel zo is.

4p

8.

 Teken op soortgelijke wijze alle mogelijke situaties van het nieuwe systeem waarbij er sprake is van geen stagnatie in wijk W.

 
In voorbeeld 2 is sprake van stagnatie
4p

9.

 Bereken de kans dat de situatie van dit gegeven voorbeeld zich voordoet.

 
In het oude systeem is de kans op een dag met stagnatie ongeveer 6,5%. In het nieuwe systeem is deze kans kleiner. In een jaar kun je daarom met het nieuwe systeem minder dagen met stagnatie verwachten dan met het oude systeem.
5p 10. Bereken hoeveel dagen met stagnatie je minder kunt verwachten in een periode van een jaar.

 

 

Leesvaardigheid.
Aan een groot aantal achtjarigen wordt op de basisschool een toets afgenomen voor het meten van de leesvaardigheid. Alle kinderen krijgen dezelfde toets.
De scores zijn bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde score van 75 en een standaardafwijking van 10. Ga bij de volgende vragen uit van deze normale verdeling.

Een achtjarige leerling haalt een score van 85.
4p

11.

 Onderzoek of deze leerling tot de 25% best lezende leerlingen van zijn leeftijdsgroep behoort.

 
Om het lezen te bevorderen verloot de Minister van Onderwijs 20 boeken onder alle achtjarigen die hebben meegedaan aan de leestoets.
3p

12.

 Bereken de kans dat bij precies 10 van de 20 leerlingen die een boek geloot hebben de score voor de leestoets boven het gemiddelde lag.

 
In het jaar 2000 is in meer dan 30 landen een onderzoek gedaan naar de leesvaardigheid van 15- en 16-jarigen. Dit onderzoek heeft de naam PISA 2000.
In de figuur hiernaast zijn de resultaten van de vier best presterende landen weergegeven.
Neem aan dat voor ieder land de scores normaal verdeeld zijn met de gemiddeldes die in de figuur hiernaast staan.

Van de Nederlandse leerlingen had 44% een score die hoger lag dan de gemiddelde score van Finland.
4p

13.

 Bereken met behulp van deze gegevens de standaardafwijking van de score van de Nederlandse leerlingen. Rond af op een geheel getal.

 
De score waar 95% van alle leerlingen onder blijft heet P95.
Ieder land heeft zijn eigen P95.
In de figuur hieronder vergelijken we de scores van Finland en Nieuw Zeeland.

Het blijkt dat de P95 van Nieuw Zeeland iets hoger ligt dan de P95 van Finland.
De gemiddelde score van Nieuw Zeeland is 529 met een standaardafwijking van 108.
Voor Finland geldt:  μ = 546 en σ = 89.
6p

14.

 Bereken hoeveel procent van de scores uit Nieuwe Zeeland boven de P95 van Finland ligt.

 

Een familie van functies.
In de figuur hiernaast is de grafiek getekend van de functie f gegeven door:
f(x) = 2x2 - 2x

De lijn k met vergelijking y = 1 snijdt deze grafiek in de punten A en B.
4p

4.

 Bereken de lengte van het lijnstuk AB. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

In de middelste figuur hiernaast is de grafiek getekend van de functie g gegeven door:
g(x) = (2x2 - 2x)2
Dit voorschrift kan ook geschreven worden als:  g(x) = 4x4 - 8x3 + 4x2 
3p

16.

 Toon dit algebraïsch aan.

De raaklijn aan de grafiek van g in het punt (-1, 16) snijdt de x-as in het punt S
5p

17.

 Bereken met behulp van differentiëren de exacte waarde van de y-coördinaat van S.

Een familie van functies is gegeven door
y = (2x2 - 2x)n

voor elk positief geheel getal n.

Bij n = 1 hoort de functie f van de bovenste figuur hiernaast en bij n = 2 de functie g van de middelste figuur. In de onderste figuur is in één assenstelsel voor een aantal waarden van n de grafiek van
 y = (2x2 - 2x)n getekend.
Voor elke waarde van n heeft de grafiek van y = (2x2 - 2x)n een top voor x = 1/2.
5p

18.

 Onderzoek voor welke waarden van n de afstand van deze top tot de x-as kleiner is dan 0,001.

Volumeknop
De volumeknop op een versterker kan gedraaid worden vanuit stand 0 naar stand 18. Zie de figuur hiernaast.
In stand 0 geeft de versterker geen geluid.
In stand 18 geeft de versterker het maximale geluidsniveau.
Er geldt de volgende formule:
P = a • log(x + 1)

Hierin is x de stand van de volumeknop, P is het percentage van het maximale geluidsniveau, en a een constante.

In de grafiek hiernaast is het verband tussen x en P weergegeven.

Uit de gegevens is af te leiden dat a = 78.

4p

19.

 Bereken a in drie decimalen nauwkeurig.

In de volgende vragen gaan we uit van a = 78.
       
4p

20.

 Bereken bij welke stand van de volumeknop het geluidsniveau gelijk is aan 75% van het maximale geluidsniveau. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

Bij deze versterker wordt de wijzerplaat van de volumeknop vervangen door de wijzerplaat in de figuur hiernaast.
In stand -3 geeft de versterker geen geluid
In stand 3 geeft de versterker het maximale geluidsniveau.
k is de stand van de volumeknop bij deze wijzerplaat.

In de figuur hiernaast is k gelijk aan -1,3

3p

21.

 Onderzoek hoe groot de waarde van P is bij deze stand van de volumeknop.

Voor het verband tussen de stand k van de volumeknop en het percentage P van het maximale geluidsniveau geldt ook bij deze wijzerplaat een formule.
4p

22.

 Stel deze formule op.

OPLOSSING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. t = 4 en d = -2 ligt ongeveer op de lijn p = 50
t = -6 en d = 2 ligt ongeveer op de lijn p = 40
Traject I heeft dus het grootste percentage gebruikers.  
2. Voor punt B geldt  t = 2 en d = -4.
Invullen:  p = 50 + (50 • -4 + 25 • 2)/√(4,3 + (-4 - 0,5 • 2)2 ) ≈  22%
3. 45 = 50 + (50 • -5 + 25 • t)/√(4,3 + (-5 - 0,5 • t)2 )
Voer in Y1 = 45 en Y2 =  50 + (50 • -5 + 25 • X)/√(4,3 + (-5 - 0,5 • X)2 )
window bijv.  Xmin = 0,  Xmax =12,   Ymin = 0,   Ymax = 100
iutersect levert  t ≈ 8,14
4. 50 = 50 + (50d + 25t)/√(4,3 + (d- 0,5t)2 )
⇒  0 = (50d + 25t)/√(4,3 + (d- 0,5t)2 )
Een breuk is alleen nul als de teller nul is, dus  50d + 25t = 0  ⇒  d = -1/2t en dat is een rechte lijn.
(De breuk bestaat niet als de noemer nul is, maar dat zal nooit zo zijn want (d - 0,5t)2 is een kwadraat, dus altijd positief, en dus + 4,3 ook positief, en de wortel dan ook).
5. n = 140, p = 0,80.
P(X > 110) = 1 - P(X ≤ 110) = 1 - binomcdf(140, 0.80, 110) ≈ 0,6315
6. De kans op geen storing is per deel 1 - 0,033 = 0,967
De kans op beide delen geen storing is 0,967 • 0,967 = 0,935089
De kans op minstens één van beiden wel storing is dan 1 - 0,935089 = 0,064911 en dat in ongeveer 6,5%.
7. Vier weken is 28 dagen.
binompdf(28, 0.065, 1) = 0,2965
8.

9. P(WT niet, TB wel, WU wel, CU niet) = 0,967 • 0,033 • 0,033 • 0,967 = 0,00102
10. De zeven getekende mogelijkheden bij vraag 8 hebben achtereenvolgens kans:
0,8744 en 0,0298 en 0,0010 en 0,0298 en 0,0298 en 0,0001 en 0,0298
samen is dat 0,9958, dus  dat zijn 0,9958 • 365 = 363 dagen zonder stagnatie, dus 2 dagen met stagnatie.
In het oude systeem was het 0,065 • 365 = 24 dagen met stagnatie
Dat is dus 22 dagen minder.
11. normalcdf(85, 100000..., 75, 10) = 0,158
Dus ongeveer 16% is beter, dus hoort deze leerling WEL tot de beste 25%.
12. De kans dat een score boven het gemiddelde ligt is per leerling 50%.
De kans op 10 van de 20 is dan binompdf(20, 0.50, 10) = 0,176

of:  0,510 • 0,510 • (20 nCr 10) = 0,176.
13. normalcdf(546, 10000..., 523, s) = 0,44
Y1 = normalcdf(546, 10000..., 523, X) en Y2 = 0,44
window bijv. Xmin = 0,  Xmax = 200,  Ymin = 02, Ymax = 0,8
intersect geeft  σ ≈ 93
14. P95 van Finland:  normalcdf(0, X, 546, 89) = 0,95
Y1 = normalcdf(0, X, 546, 89), Y2 = 0,95
window bijv.  Xmin = 0,  Xmax = 1000,  Ymin = 0,   Ymax = 1,5
intersect levert X = 692,39
Nieuwe Zeeland:  normalcdf(692.39, 10000...., 529, 108) = 0,0651.. dus ongeveer 6,5%
15. 2x2 - 2x = 1  Þ  2x2 - 2x - 1 = 0.
De ABC formule (a = 2, b = -2, c = -1) geeft als oplossingen x ≈ -0,366  ∨  x ≈ 1,366
De afstand daartussen is  1,366 - - 0,366 ≈ 1,73
16. (2x2 - 2x)2 = (2x2 - 2x)(2x2 - 2x) = 4x4 - 4x3 - 4x3 + 4x2 = 4x4 - 8x3 + 4x2 
17. g'(x) = 16x3 - 24x2 + 8x
g'(-1) = -16 - 24 - 8 = -40
de vergelijking is dus  y = -40x + b
punt (-1, 16) invullen:  16 = -40 • -1 + b  ⇒  b = -24 en de vergelijking is y = -40x - 24
y = 0 geeft  -40x - 24 = 0  ⇒  x = 24/40 = 0,6. Het snijpunt is (0.6, 0)
18. x = 1/2 geeft  y = (-1/2)n
(1/2)n = 0,001  ⇒  n = 0,5log 0,001 = log0,001/log0,5 ≈ 9,96
Dus voor n ≥ 10 is de afstand kleiner dan 0,001
19. x = 18 hoort bij P = 100, dus  100 = a• log(18 + 1)  ⇒  100 ≈  a • 1,278  ⇒  a ≈ 78,201
20. 75 = 78 • log(x + 1)  ⇒  log(x + 1) = 75/78  ⇒  x + 1 = 1075/78  ≈ 9,15  ⇒  x ≈ 8,2 
21. 1 stap in de nieuwe stand is 3 stappen in de oude stand.
Van -3 naar -1,3 is 1,7 stappen in de nieuwe stand.
Dat is dus 1,7 • 3 = 5,1 stappen in de oude stand, dus de oude knop zou 5,1 geven
P = 78 • log(5,1 + 1) ≈ 61%
22. k = 3 hoort bij x = 18  en  k = -3 hoort bij x = 0 en verder zijn beide schalen lineair.
Daaruit volgt x = 3k + 9 en de formule is P = a • log(3k + 9 + 1)
P = a • log(3k + 10)