HAVO WB1, 2009 - I
 
Vetpercentage.
     
Al heel lang onderzoekt men het verband tussen enerzijds het gewicht en de lengte van volwassen mensen en anderzijds hun gezondheid. Hierbij gebruikt men vaak de Body Mass Index (BMI).
De BMI wordt als volgt berekend:
BMI = G/L²   met 1,50 ≤ L ≤ 2,20
Hierin is G het gewicht in kilogram en L de lengte in meter. In de volgende tabel zie je hoe bij volwassenen een diagnose wordt gesteld op basis van de BMI.
     
BMI diagnose
minder dan 18,5 ondergewicht
vanaf 18,5 tot 25,0 normaal gewicht
vanaf 25,0 tot 30,0 matig overgewicht
vanaf 30,0 ernstig overgewicht
     
Iemand heeft een lengte van 1,90 m en een gewicht van 100 kg. Zijn BMI is 27,7 en daarom wordt de diagnose ‘matig overgewicht’ gesteld.
     
3p. 1. Bereken hoeveel het gewicht van deze persoon minimaal moet dalen om volgens de BMI een ‘normaal gewicht’ te krijgen. Rond je antwoord af op hele kilogrammen.
     
Voedingsdeskundigen zijn geïnteresseerd in het ideale gewicht van een persoon. Dit ideale gewicht kan op verschillende manieren worden berekend. Als met de BMI-formule wordt gewerkt, gaat men ervan uit dat een BMI van 22,0 overeenkomt met het ideale gewicht.

Een andere manier om het ideale gewicht te bepalen, is door gebruik te maken van de volgende vuistregel: Het ideale gewicht is 100 keer de lengte in meter verminderd met 110.

Bij een bepaalde lengte is het ideale gewicht volgens beide manieren van berekenen gelijk.
     
6p. 2. Bereken op algebraïsche wijze bij welke lengte dit het geval is. Rond daarna je antwoord af op hele centimeters.
   

 
Een hoog vetpercentage levert meer gezondheidsrisico’s op dan een laag vetpercentage. Het vetpercentage is het gewicht van het vetweefsel gedeeld door het totale lichaamsgewicht, maal 100. Om het vetpercentage te bepalen gebruikt men de zogenaamde formule van Siri, die geldt onder voorwaarden waaraan voor de meeste mensen voldaan is. Deze formule luidt als volgt:

VP =  (1/d • 4,95  - 4,50) • 100    met 0,90 ≤ d ≤ 1,10

Hierin is VP het vetpercentage en d de dichtheid van het lichaam in g/cm³
Voor mannen van 20 tot 30 jaar wordt een vetpercentage van 12% als streefwaarde aangehouden
     
3p. 3. Bereken met behulp van de gegeven formule de dichtheid van het lichaam die hoort bij een vetpercentage van 12%. Rond je antwoord af op twee decimalen.
     
Veel mensen hebben een vetpercentage tussen 0 en 45 procent. De dichtheden die daarbij horen, liggen tussen 1,00 en 1,10. In de volgende figuur is het gedeelte van de grafiek van VP getekend voor 1,00 ≤ d ≤ 1,10. In deze figuur is te zien dat de grafiek van VP goed benaderd kan worden door een rechte lijn. Deze rechte lijn door de punten (1,00; 45) en (1,10; 0) is gestippeld getekend.
     

     
De vergelijking van deze rechte lijn kan worden geschreven als VL = p • d + q . Hierin is VL het vetpercentage volgens de lineaire benadering en d de dichtheid van het lichaam in g/cm³.
     
4p. 4. Bereken op algebraïsche wijze de waarden van p en q.
   

 


 

 

Zonjaar.
     
Het jaar 2003 was volgens het KNMI het zonnigste jaar tot dan toe sinds het begin van de metingen in 1901. Alleen de maand mei was in 2003 niet zo zonnig. Gemiddeld heeft de maand mei 204 uren zonneschijn, terwijl er in mei 2003 slechts 192 uren zonneschijn waren.

Ga ervan uit dat het totale aantal uren zonneschijn in de maand mei normaal verdeeld is met een gemiddelde van 204 uur en een standaardafwijking van 51 uur.
     
3p. 5. Bereken de kans dat er in een willekeurige maand mei hoogstens 192 uren zonneschijn gemeten worden.
   

 
In de volgende tabel zie je de top tien van de zonnigste jaren in De Bilt.
     
jaar zonneschijn
(uren)
2003 2022
1959 1986
1947 1882
1949 1829
1995 1814
1976 1814
1921 1781
1929 1773
1911 1741
1999 1720
     
Deze tabel geldt voor de periode van 1901 tot en met 2003. Met behulp van deze tabel kun je schatten dat de kans dat het aantal uren zonneschijn per jaar minstens 1730 bedraagt, ongeveer 8,7% is.
     
3p. 6. Toon dit aan.
   

 
Het gemiddelde aantal uren zonneschijn per jaar over de genoemde periode is voor De Bilt gelijk aan 1524. We gaan ervan uit dat het aantal uren zonneschijn per jaar normaal verdeeld is met een gemiddelde van 1524. Uitgaande van de kans van 8,7% op minstens 1730 uren zonneschijn per jaar is de standaardafwijking van deze normale verdeling te berekenen.
     
4p. 7. Bereken deze standaardafwijking. Rond je antwoord af op hele uren.
   

 
Het jaar 2003 was niet alleen erg zonnig, maar ook warm. In de volgende figuur zie je de gemiddelde temperatuur per jaar in De Bilt vanaf 1900 tot en met 2003.
     

     
Bij de volgende vraag is T de gemiddelde temperatuur in een jaar.

In de figuur is te zien dat de waarden van T de laatste jaren behoorlijk hoog zijn: het jaar 2003 is het zevende warme jaar op rij met een gemiddelde temperatuur van 10,3 ºC of meer. Velen denken dat dit geen toeval is. Daarvoor is de kans op zeven warme jaren op rij te klein. Bij de volgende vraag berekenen we hoe klein de kans op zeven warme jaren op rij is in het geval dat er sprake zou zijn van toeval.

Op dit moment gebruikt het KNMI als uitgangspunt de gegevens van de jaren 1971 tot en met 2000. In deze periode was T gemiddeld 9,8 ºC met een standaardafwijking van 0,7 ºC. We nemen voor de komende jaren aan dat T bij benadering normaal verdeeld is met een gemiddelde van 9,8 ºC en een standaardafwijking van 0,7 ºC.
     
5p. 8. Bereken de kans dat dan in elk van de komende zeven jaren de waarde van T 10,3 ºC of meer is.
   

 
Wielrenners en training
     
Voor wielrenners is het belangrijk om te weten welk vermogen ze bij een bepaalde weerstand bij het fietsen kunnen leveren. Om dit te onderzoeken, wordt een wielrenner in een testruimte op een speciale fiets gezet. Zie foto. De weerstand kan handmatig worden ingesteld. De wielrenner probeert vervolgens bij deze weerstand zo veel mogelijk vermogen te leveren. Het blijkt dat het vermogen dat deze wielrenner op deze manier levert, afhangt van de weerstand volgens de volgende formule:
P1 = (230 −W) • W  met 10 ≤ W ≤ 200
Hierin is P1 het vermogen dat deze wielrenner levert en W de weerstand.

       
3p. 9. Bereken op algebraïsche wijze bij welke weerstand het door deze wielrenner geleverde vermogen maximaal is.
   

 
Voor een tweede wielrenner geldt voor het verband tussen de weerstand en het vermogen bij hetzelfde onderzoek de volgende formule:
P2 = 226W − 0,95W2  met 10 ≤ W ≤ 200
Hierin is P2 het door de tweede wielrenner geleverde vermogen.
Bij een bepaalde weerstand is het door beide wielrenners geleverde vermogen gelijk.
     
6p. 10. Bereken op algebraïsche wijze het vermogen dat in dit geval geleverd wordt.
   

 
Een belangrijk onderdeel binnen de trainingen is de krachttraining op apparaten, waarbij de zwaarte van de oefening kan worden ingesteld met gewichten. De maximale belasting in kilogram waarmee een atleet een bepaalde oefening nog net één keer kan uitvoeren, noemen we de 1RM-waarde van die atleet bij die oefening. Meestal wordt bij krachttraining een oefening meerdere malen uitgevoerd. De belasting die daarbij gebruikt wordt, is natuurlijk minder dan de 1RM-waarde. Er bestaat een formule die het verband beschrijft tussen het aantal keer A dat de oefening uitgevoerd wordt en het percentage x van de 1RM-waarde. Deze formule luidt:

x = 115 − √(200A+25)

Een atleet heeft kortgeleden vastgesteld dat hij bij een bepaalde oefening een gewicht van 140 kg nog net één maal omhoog kan krijgen. Voor deze atleet geldt dus dat de 1RM-waarde bij deze oefening 140 kg is. Hij wil trainen met series waarin de oefening 12 keer uitgevoerd wordt. Omdat het apparaat slechts per 10 kg instelbaar is, zal hij kiezen voor een belasting van 90 kg.

     
3p. 11. Bereken het gewicht waarvoor hij had moeten kiezen als het apparaat tot op de kilogram nauwkeurig instelbaar zou zijn geweest
   

 
Na verloop van tijd neemt door de training de 1RM-waarde van deze persoon bij deze oefening met 10% toe. Hij blijft echter de oefening met 90 kg uitvoeren.
     
6p. 12. Bereken hoeveel keer deze persoon volgens de formule de oefening moet uitvoeren.
   

 


 

Set.
     
Set is een gezelschapsspel afkomstig uit de Verenigde Staten. Het wordt gespeeld met kaarten. In de volgende figuur zijn vier kaarten uit dit spel te zien.
     

     
Wat op een kaart te zien is, kan met vier kenmerken worden omschreven. Zie de volgende tabel.
     
kenmerk mogelijkheden
vorm cirkel, ovaal, vierkant
aantal 1, 2, 3
kleur rood, groen, blauw
vulling van de figuur open, gearceerd, dicht
     
In het spel Set komen alle mogelijke kaarten die met deze vier kenmerken gemaakt kunnen worden precies één keer voor. Alle kaarten zijn dus verschillend.
Dit betekent dat er 81 kaarten in het spel zitten.
     
2p. 13. Laat dit met een berekening zien.
   

 

     
Bij het begin van het spel worden willekeurig twaalf kaarten uit het totaal getrokken en op tafel neergelegd. Daarna worden ze in drie rijen van vier kaarten gelegd. Zie de figuur hierboven. De twaalf kaarten kunnen op verschillende manieren in drie rijen van vier kaarten op tafel gelegd worden.
     
3p. 14. Bereken op hoeveel manieren dit kan.
   

 
In elk stadium van het spel is het de bedoeling om te zien of er bij de kaarten die op tafel liggen een bijzonder drietal kaarten is dat een SET vormt. (Voor de beantwoording van de volgende vragen is het niet van belang, maar voor de volledigheid geven we hier de definitie van een SET: een SET wordt gevormd door een drietal kaarten waarop elk kenmerk óf op alle drie de kaarten hetzelfde is óf op alle drie de kaarten verschillend.)

Het blijkt dat er 1080 verschillende SET’s mogelijk zijn bij dit spel.
Iemand trekt willekeurig drie kaarten uit het spel met 81 kaarten.
     
4p. 15. Bereken de kans dat deze drie kaarten een SET vormen. Rond je antwoord af op drie decimalen.
   

 
In twaalf kaarten zit vrijwel altijd een SET. Er is aangetoond dat de kans op één of meer SET’s in twaalf kaarten gelijk is aan 33/34 .

Het spel wordt 100 keer gespeeld. Bij elk spel wordt er gelet op de beginsituatie met de twaalf kaarten die op tafel liggen.
     
3p. 16. Bereken de kans dat bij deze 100 beginsituaties er minstens 95 keer één of meer SET’s aanwezig zijn. Rond je antwoord af op drie decimalen.
   

 


 

Diergemeenschappen in Afrika
     
Er is veel onderzoek gedaan naar de samenstelling van grazende diergemeenschappen in de natuurparken van Afrika. Dergelijke grazende diergemeenschappen worden gilden genoemd. Onderzoek heeft zich onder andere gericht op de gewichten van de diersoorten binnen een gilde. Bij dit onderzoek heeft men de soorten binnen een gilde op volgorde gezet van gemiddeld lichaamsgewicht. De lichtste soort heeft men rangnummer 0 gegeven. De lichtste soort noemen we daarom soort 0, de op een na lichtste soort noemen we soort 1, enzovoort. Je kunt nu de gewichten van elkaar opvolgende soorten vergelijken. Dit vergelijken gebeurt via de zogeheten gewichtsratio. Dat is de verhouding tussen het (gemiddelde) gewicht van volwassen dieren van twee elkaar opvolgende soorten. Als bijvoorbeeld soort 7 een gewicht heeft dat 1,8 keer zo groot is als dat van soort 6, dan is de gewichtsratio tussen deze twee soorten gelijk aan 1,8. Uit dergelijk onderzoek is nu gebleken:

Binnen elk gilde is de gewichtsratio tussen twee elkaar opvolgende diersoorten vrijwel constant.

Dit betekent dat in het gilde van het voorbeeld hierboven geldt: soort 1 is 1,8 keer zo zwaar als soort 0, soort 2 is 1,8 keer zo zwaar als soort 1, enzovoort.

Neem aan dat in een ander gilde de gewichtsratio gelijk is aan 1,35 en dat soort 3 een gewicht heeft van 7,8 kg.
     
3p 17. Bereken het gewicht van de lichtste soort in dit gilde.
   

 
Niet alleen binnen een bepaald natuurgebied is er sprake is van een vrijwel constante gewichtsratio, maar dit geldt ook als men alle grazende diersoorten in geheel Afrika als één diergemeenschap beschouwt. Omdat er in totaal dan meer diersoorten zijn, zal de gewichtsratio voor heel Afrika kleiner zijn dan die voor de afzonderlijke gilden. In de volgende tabel  staan de gewichten van drie diersoorten met daarbij hun rangnummer in de gewichtsvolgorde van soorten in heel Afrika. Bij de volgende vragen wordt ervan uitgegaan dat de gewichtsratio tussen alle elkaar opvolgende soorten constant is.
     
soort rangnummer in
gewichtsvolgorde		 gewicht (kg)
hartebeest 71 164
steppezebra 81 286
Kaapse buffel 92 631
     
3p. 18. Bereken de gewichtsratio voor heel Afrika met behulp van de gegevens in de tabel voor hartebeest en Kaapse buffel in twee decimalen nauwkeurig.
   

 
Voor diersoorten zwaarder dan de Kaapse buffel blijkt de gewichtsratio niet meer constant te zijn. Onderzoekers denken dat dit komt doordat lang geleden veel zware soorten zijn uitgestorven. De zwaarste grazersoort is momenteel de olifant met rangnummer 95 en een gewicht van 3550 kg.

Neem aan dat vroeger de gewichtsratio in Afrika voor alle elkaar opvolgende soorten constant gelijk aan 1,06 is geweest.
     
4p. 19. Onderzoek hoeveel soorten in de rangschikking tussen de Kaapse buffel en de olifant sindsdien zijn uitgestorven.
   

 


 

Rad van Fortuin.
     
In de kantine van een sportvereniging staat een rad van fortuin. Dit is een ronde schijf waarop langs de rand de getallen 1 tot en met 120
staan. Deze schijf kan gedraaid worden. Als de schijf tot stilstand gekomen is, wordt één van de 120 getallen door een pijl aangewezen. Zie de figuur hiernaast.
Elk van de 120 getallen heeft een even grote kans om door de pijl aangewezen te worden.

Tijdens een gezellige avond van de sportvereniging wordt met het rad van fortuin een spel gespeeld. Hierbij gelden de volgende regels:

- Voor elke 50 eurocent die een deelnemer betaalt, krijgt hij door een computer aselect een van de getallen 1 tot en met 120 toegewezen.
- De computer kan meerdere keren eenzelfde getal toewijzen.

-

 Het getal dat door de pijl van het rad van fortuin wordt aangewezen, is het
winnende getal. Wie dat getal heeft, wint een prijs.
       
Jan doet mee. Hij betaalt € 1,50 en krijgt daarvoor drie keer aselect een getal van de computer.
Hij heeft drie verschillende getallen gekregen.
     
3p. 20. Bereken hoeveel mogelijkheden er voor deze drie getallen zijn.
   

 
Ada en Brecht betalen elk 50 eurocent en krijgen allebei één getal toegewezen.
     
3p. 21. Bereken exact de kans dat ze allebei het winnende getal hebben.
   

 
Aart, Bert en Carmen betalen alle drie 50 eurocent en ze krijgen vervolgens alle drie een getal toegewezen.
     
4p. 22. Bereken de kans dat ze alle drie een ander getal krijgen.
   

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. Dan moet de BMI  25 worden.
25 = G/1,902  ⇒  G = 25 • 1,902 = 90,25
het gewicht moet dus minimaal  100 - 90,25 = 9,75 kg dalen.
   
2. Volgens de BMI moet gelden 22,0 = G/L2  ofwel  G = 22,0 • L2

Volgens de vuistregel geldt  G = 100L - 110

Die zijn gelijk als  100L - 110 = 22,0 • L2  ⇒  22,0L2 - 100L + 110 = 0
Gebruik de ABC formule met a = 22 en b = -100  en  c = 110
Dat geeft  L = 2,67  of  L = 1,87
2,67 is een beetje lang; de juiste oplossing zal zijn L = 1,87 m. 

   
3. (1/d  • 4,95 - 4,50) • 100 = 12
⇒  1/d • 4,95 - 4,50 = 0,12
⇒  1/d • 4,95 = 4,62
⇒  1/d = 4,62/4,95 = 14/15
⇒  d = 1/(14/15) = 15/14 = 1,07 g/cm3
   
4. Een rechte lijn door de punten  (1, 45) en (1.1, 0)
Helling is Δy/Δx = (0 - 45)/(1.1 - 1) = -45/0,1 = -450
De vergelijking wordt dan  VP = -450 • W + b
vul bijv. punt (1,45) in:  45 = -450  • 1 + b  ⇒  b = 495
Dus  VW = -450W + 495  ofwel  p = -450 en q = 495
   
5. Zie de tekening hiernaast.
De gekleurde oppervlakte is gelijk aan
normalcdf(0, 192, 204, 51) = 0,41

   
6. In de tabel zijn er 9 jaren met minstens 170 uur zonneschijn
In totaal gaat het om een periode van 1901 tm 2003 en dat zijn 103 jaren.
De kans is dan 9/103 • 100% = 8,7%
   
7. Zie de tekening hiernaast.
De gekleurde oppervlakte moet gelijk zijn aan 0,087
Dus normalcdf(1730, 100000..., 1524, ?) = 0,087

GR:  Y1 = noralcdf(1730, 100000..., 1524, X)
Y2 = 0,087
intersect geeft X = standaarddeviatie =  152

   
8. Voor één jaar is die kans gelijk aan  normalcdf(10.3, 1000..., 9.8, 0.7) = 0,238
Voor 7 jaren op rij is de kans dan  0,2387 = 0,000043
   
9. P1 = (230 - W)W = 230W - W2
Is maximaal als de afgeleide nul is:  P1' = 230 - 2W = 0
dan is 2W = 230  dus W = 115.
   
10. P1 = P2  geeft   230W - W2 = 226W - 0,95W2
⇒ 4W - 0,05W2 = 0
⇒  W(4 - 0,05W) = 0
⇒  W = 0  of  4 - 0,05W = 0
⇒  W = 0  of  0,05W = 4
⇒  W = 0  of  W = 4/0,05 = 80
W = 0 voldoet niet, en W = 80 geeft vermogen P = 230 • 80 - 802 = 12000
   
11. A = 12  geeft  x = 115 - √(200 • 12 + 25) = 115 - √2425 = 115 - 49,24 = 65,76
Het percentage van de 1RM waarde is dan  65,76/140 • 100% = 92,1%
De oefening zou met 92 kg moeten worden uitgevoerd.
   
12. 10% toename betekent vermenigvuldigen met 1,1, dus de nieuwe 1RM-waarde is 1,1 • 140 = 154.
de nieuwe x-waarde is dan  90/154 • 100% = 58,4
invullen:  58,4 = 115 - √(200A + 25)
⇒  -56,5 = -√(200A + 25)
⇒  3203,56 = 200A + 25
⇒  3178,56 = 200A
⇒  A = 15,89
Dus de oefening moet 16 keer worden uitgevoerd.
   
13. Voor elk kenmerk zijn 3 mogelijkheden. dus in totaal 34 = 91 mogelijkheden.
   
14. Voor de eerste kaart 12 mogelijkheden, voor de tweede nog 11, dan nog 10, enz.
Dat geeft in totaal 12 • 11 • 10 • ... • 1 = 12! = 470001600 mogelijkheden.
   
15. Willekeurig een groepje van 3 uit de 981 pakken kan op  81 nCr 3 = 85320 manieren.
Er zijn van die 85320 groepjes 1080 groepjes die een set vormen.
De kans is daarom 1080/85320 = 0,013.
   
16. Noem het aantal keer set gelijk aan X.
Dan is X binomiaal verdeeld met n = 100 en p = 33/34
P(X ≥ 95) = 1 - P(X ≤ 94) = 1 - binomcdf(100, 33/34, 94) = 0,925.
   
17. Stel dat de lichtste soort gewicht G heeft.
Dan geldt  G • 1,35 • 1,35 • 1,35 = 7,8
Dus  G = 7,8 /(1,35 • 1,35 • 1,35) = 3,2 kg.
   
18. Als de vermenigvuldigfactor gelijk is aan g, dan geldt tussen het hartebeest en de Kaapse buffel:
164 • g21 = 631  (er zitten immers 21 diersoorten  verschil in het nummer)
dus g21 = 631/164 = 3,8476  dus  g = 3,84761/21 =  1,07
   
19. 631 • 1,06x = 3550
⇒  1,06x = 3550/631 = 5,626
⇒  x = 1,06log 5,626 = LOG5,626/LOG1,06 = 29,6 dus ongeveer 30.
tussen 95 (olifant) en 92 (buffel) zitten nu nog 3 stappen.
Dat waren er 30, dus er zijn 27 uitgestorven.
   
20. kies er 3 uit de 120; dat kan op 120 nCr 3 = 280840 manieren.
   
21. de kans dat Ada wint is 1/120, en de kans dat Brecht wint ook.
De kans dat allebei winnen is dan 1/120 • 1/120 = 1/14400
   
22. Bekijk ze één voor één.
Wat Aart krijgt doet er niet toe.
De kans dat Bert een ander getal dan Aart krijgt is 119/120
De kans dat Carmen een ander getal dan Aart én dan Bert krijgt is 118/120
De totale kans is daarom  119/120 • 118/120 = 0,975