HAVO WB12, 2000 - II
Werkplaatsen
In Nederland zie je op bedrijventerreinen vrij grote overeenkomsten in de dakvormen van fabriekshallen, opslagloodsen en  werkplaatsen. Een werkplaats met een veel voorkomende dakvorm is te zien in de figuur hiernaast.
De vloer van deze werkplaats heeft de vorm van een rechthoek.
Het dak heeft een gebogen vorm: in het vooraanzicht is boog CD een kwart deel van de cirkel waarvan het middelpunt M het midden van AB is.
De breedte van AB is 8 meter.
De hoogte AD = BC is 4 meter
4p 1. Bereken de lengte van boog CD. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.
Ter versteviging van de dakconstructie is op een aantal plaatsen op 5 meter hoogte een stalen dwarsbalk aangebracht.
In de figuur hiernaast zie je een vooraanzicht van de werkplaats met daarin zo'n dwarsbalk EF.
5p 2. Bereken de lengte van EF. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.
Hiernaast zie je het bovenaanzicht van een bedrijventerrein dat aan de voorkant wordt begrensd door een weg en aan de achterkant door een sloot.
Op dit terrein staan twee werkplaatsen met een gemeenschappelijke tussenmuur. Het bovenaanzicht van de werkplaatsen is een trapezium met twee rechte hoeken.
In dit bovenaanzicht zijn ook enkele afmetingen aangegeven.

De voorgevels aan de wegkant hebben de vorm en afmetingen zoals ABCD in de bovenste figuur op deze bladzijde.
7p 3. Bereken de totale inhoud van deze twee werkplaatsen. Geef je antwoord in gehele m3 nauwkeurig.
Hoge bomen
In Amerika zijn 576 verschillende soorten bomen onderzocht.Van elke soort is het hoogste exemplaar opgespoord en daarvan is de diameter van de stam op 1 meter boven de grond gemeten. Onderzocht is of er een verband bestaat tussen de diameter D (in meters) en de hoogte H (in meters) van deze bomen
Om van alle bomen de gegevens in één figuur duidelijk te kunnen weergeven is log D uitgezet tegen log H. Het resultaat is de puntenwolk van de figuur hieronder. Hierin is een rechte lijn k getekend die goed bij deze puntenwolk past.
Een van de exemplaren is in de figuur aangegeven met de letter P.
3p 4. Hoe groot is de diameter op 1 meter boven de grond  van deze boom? Geef je antwoord in meters op één decimaal nauwkeurig en licht je werkwijze toe.
Het verband tussen D en H voor bomen in de puntenwolk kan grofweg benaderd worden door de formule die past bij lijn k.
een formule voor k is :  log D = -2 + 1,5 · log H

Een boom heeft op 1 meter hoogte een diameter van  2,5 meter.
4p 5. Bereken met behulp van de formule voor k de hoogte van deze boom. Geef je antwoord in gehele meters nauwkeurig.

De formule voor k kan geschreven worden als:  D = p · Hq
6p 6. Bereken p en q

Parabool
Gegeven is de parabool p met vergelijking  y  = - (1/16)x2 + x
Op de x-as ligt een punt A(a, 0) met  0 < a < 16
De lijn door A loodrecht op de x-as snijdt de parabool p in punt B.
De oppervlakte van driehoek OAB hangt af van de waarde van a.
Hieronder is een mogelijke situatie getekend.
Er zijn twee driehoeken OAB mogelijk waarbij de y-coördinaat van B gelijk is aan 3.
5p 7. Bereken in beide gevallen de oppervlakte van driehoek OAB.
De oppervlakte van driehoek OAB is afhankelijk van a
Voor elke waarde van a  met  0 < a < 16 geldt:   oppervlakte = -(1/32)a3 + (1/2)a2 
3p 8. Toon aan dat deze formule juist is.

Er zijn ook twee driehoeken OAB mogelijk waarvan de oppervlakte 16 is.
3p 9. Onderzoek hoe groot de bijbehorende waarden van a dan zijn. Licht je werkwijze toe.

De parabool p gaat door de punten (0,0), (8,4) en (16,0). Door deze drie punten gaat ook een sinusoïde s met periode 32.
In de figuur hieronder is te zien dat voor 0 < x < 16 deze sinusoïde niet veel verschilt van de parabool p.
7p 10. Bereken de maximale afstand, verticaal gemeten, tussen p en s. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig en licht je werkwijze toe.

Kelderluik
Een grote kelder kan worden afgesloten met een rechthoekig luik. De lengte AB van het luik is 5 meter. Het luik sluit het keldergat precies af. In de figuur hieronder is een model van de situatie in een zijaanzicht getekend. De uiteinden van het luik (A en B) lopen over rails CD en EC.
Bij het openen en sluiten wordt A aangedreven door een elektromotor, die A een constante snelheid geeft van 0,1 meter per seconde. We gaan er bij de volgende vragen steeds van uit dat deze snelheid onmiddellijk bij het openen en sluiten van het luik optreedt.
Het luik wordt vanuit geheel geopende stand (A valt dan samen met C en B valt dan samen met E) gesloten.
5p 11. Bereken, zonder gebruik te maken van onderstaande formule, hoeveel het punt B is gezakt 20 seconden nadat het sluiten is begonnen. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.

 
t is de tijd (in seconden) die verstreken is nadat het sluiten van het luik is begonnen. De afstand d (in meters) die het punt B dan heeft afgelegd is afhankelijk van t.
Het verband tussen d en t wordt voor elk tijdstip t met  0 < t < 50 gegeven door:
4p 12. Toon aan dat deze formule juist is.

 
Bij het sluiten van het luik is de snelheid v (in meter per seconde) van het punt B op tijdstip t gelijk aan de helling van de grafiek van d in het bijbehorende punt.
4p 13. Bereken met behulp van differentiëren op welk tijdstip deze snelheid gelijk is aan 0,05 meter per seconde. Geef je antwoord in gehele seconden nauwkeurig.
Hieronder is de grafiek van v als functie van t getekend, behorende bij het sluiten van het luik Na precies 15 minuten (op t = 900) wordt het luik vanuit de gesloten stand helemaal geopend. De snelheid v van punt B is dan weer een functie van t
3p 14. Teken de grafiek van v die hoort bij dit openen van het luik.

 
Tafeltje
Hiernaast zie je een afbeelding van een tafeltje. Het tafeltje bestaat uit een aluminium onderstel met daarop een dikke glazen plaat. De vragen 15, 16 en 17 gaan over het onderstel. Uit de afbeelding is moeilijk op te maken hoe het onderstel precies in elkaar zit.
De figuur hieronder geeft hierover meer duidelijkheid door het verdelen van de staven over de figuren A, B, C en D.
Het onderstel past in zijn geheel precies in een denkbeeldige balk ACBD.EFGH. Als de vier figuren in elkaar worden geschoven ontstaat een tekening van het volledige onderstel. Bij de punten E,F, G en H van het onderstel kan de glazen plaat worden vastgemaakt.
In de volgende vragen wordt de dikte van de staven verwaarloosd.

De afmetingen van de balk ABCD.EFGH zijn 40 x 40 x 46 cm. Zie figuur A.
Punt P ligt 13 cm onder het midden van het bovenvlak van de balk. Punt Q ligt 13 cm boven het midden van het grondvlak.
3p 15. Teken het bovenaanzicht van het volledige onderstel op schaal 1 : 10. Zet alle letters erbij.
7p 16. Bereken de totale lengte aluminiumstaaf die in het onderstel verwerkt is. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.
In de figuur hiernaast is het diagonaalvlak ACGE getekend met de vier staven die in dit vlak liggen.

In het snijpunt S van de lijnen PC en QG zijn in werkelijkheid de twee staven door middel van een pennetje met elkaar verbonden. Om dit mogelijk te maken moest er in iedere staaf een gaatje geboord worden op een bepaalde afstand van de eindpunten.
7p 17. Bereken de afstand QS. Geef je antwoord in gehele millimeters nauwkeurig.
Een verzameling functies
Gegeven is de functie  f(x) = x · e5x
De lijn met vergelijking y = 3x snijdt de grafiek van  f  behalve in  (0,0) ook nog in een punt A.
5p 18. Bereken zonder je rekenmachine te gebruiken de x-coördinaat van A.
Voor elke waarde van a is gegeven de functie   fa(x) = x · eax
Voor een aantal waarden van a is in een rechthoekig assenstelsel Oxy de bijbehorende grafiek getekend. Zie de figuur hieronder.
De grafieken in de figuur hierboven lijken in (0,0) allemaal dezelfde helling te hebben.
5p 19. Toon aan dat voor elke waarde van a de grafiek van fa in (0,0) dezelfde helling heeft.

 

OPLOSSINGEN
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. Pythagoras in DMBC geeft  MC = √(42+42) = √32
De hele cirkel heeft omtrek  2πr = 2π • √32  dus  CD = 0.25  • 2π • √32  = 8,89 m ofwel 889 cm.
2. Teken DMEF en noem G het midden van EF. Dan is MG = 5 m
ME is de straal van de cirkel dus ME = √32
Pythagoras geeft  EG = √(32 - 25) = √7 = 5,29 m ofwel 529 cm.
3. De beide schuine kanten van de werkplaatsen passen tegen elkaar.
Dan ontstaat één lange werkplaats van 36 meter lang.
Inhoud = Grondvlak • Hoogte waarbij de hoogte 36 m is en het grondvlak de oppervlakte van de voorzijde.
Door MD en MC te tekenen zie je dat de voorzijde bestaat uit een kwartcirkel + twee driehoeken.
Oppervlakte voorzijde = 0,25 • π • (√32)2 + 2 • 0,5 • 4 • 4 = 41,13 m2.
Totale inhoud is dus  41,13 • 36 = 1481 m3.
4. Voor punt P geldt ongeveer log D = 0,2 ⇒ D = 100,2 = 1,58 m dus ongeveer 16 dm.
5. log 2,5 = -2 + 1,5 • log H  ⇒  0,0,3979... = -2 + 1,5 • log H  ⇒  2,3979... = 1,5 • log H  ⇒  logH = 1,5986...
Daaruit volgt  H = 101,5986... = 39,685... dus de boom is ongeveer 40 meter hoog.
6. log D = -2 + 1,5 • logH  ⇒  log D = log 10-2 + 1,5 • logH  ⇒  log D = log 0,01 + log H1,5  ⇒
⇒  log D = log(0,01 • H1,5)  ⇒ D = 0,01 • H1,5  dus  p = 0,01  en   q = 1,5
7. y = 3  dus  3 = (-1/16)x2 + x  ⇒  (-1/16)x2 + x - 3 = 0  ⇒  x2 - 16x + 48 = 0
Je kunt dit oplossen met de ABC-formule of door te ontbinden in factoren:  (x - 12) • (x - 4) = 0
In beide gevallen vind je  x = 12  of  x = 4
x = 4 geeft oppervlakte  0,5 • 4 • 3 = 6
x = 12 geeft oppervlakte  0,5 • 12 • 3 = 18
8. x = a  dus  y = (-1/16)a2 + a
De oppervlakte is dan   0,5 • x • y =  0,5 • a • {(-1/16)a2 + a} = (-1/32)a3 + (1/2)a2
9. Stel de vorige formule gelijk aan 16.
Neem Y1 = (-1/32)a3 + (1/2)a2  en  Y2 = 16  en gebruik INTERSECT van de grafische rekenmachine.
Dat levert  x = 8  en  x = 12,94.
Dus voor a = 8  en  a = 12,94  is de oppervlakte van de driehoek gelijk aan 16.
10. Een algemene vergelijking van een sinusoïde is  y = a + b • sin c • (x - d)
a is de evenwichtslijn en die is 0
b is de amplitude in die is 4 (de top van de parabool)
de periode is 32, dus  c = 2π/32  = π/16
d is het beginpunt en dat is ook 0.
De vergelijking van de sinusoïde is daarmee  y = 4 • sin (πx/16)
Voer in de grafische rekenmachine bij Y1 de parabool in, en bij Y2 de sinusoïde.
Plot vervolgens Y3 = Y1 - Y2
Bereken met CALC - MAXIMUM het maximum. Dat geeft  een maximale afstand van ongeveer 0,22.
   
11. Na 20 seconden heeft A 2 meter afgelegd.
AC = 2 en AB = 5  geeft met Pythagoras:  BC = √(52 - 22) = √21
B is dus gezakt over  5 - √21 ≈ 0,42 meter ofwel  42 cm.
12. Na t seconden heeft A  0,1•t meter afgelegd.
AC = 0,1t  en AB = 5 geeft met Pythagoras:  BC =  √(52 - (0,1t)2) = √(25 - 0,01t2)
B is dus gezakt over  5 - √(25 - 0,01t2) meter en dat is precies de gevraagde formule.
13.

Voer deze formule in bij Y1 en vervolgens Y2 = 0,05
INTERSECT geeft  t ≈ 22 seconden

Algebraïsch:
d'= 0,05 exact oplossen geeft  0,01t = √(25 - 0,01t2)•0,05  dus  √(25 - 0,01t2) = 0,2t  dus  25 - 0,01t2 = 0,04t2
dus  0,05t2 = 25  dus  t2 = 500  en  t = √500 ≈ 22 seconden  (de negatieve oplossing valt af)
14. Punt A legt afstand DC af in 50 seconden, dus op t = 950 is  v = 0
Verder daalt de snelheid tussen t = 900 en t = 950 precies zoals hij steeg tussen t = 0 en t = 50. Het is deze grafiek gespiegeld:
15.

De ribben van het vierkant zijn 4 cm (schaal 1 : 10)
16. AC = √(402 + 402) = √3200
Noem M het midden van AC, dan geldt:  AM = 0,5 • √3200
Pythagoras in driehoek AMP geeft  AP = √(332 + (0,5 • √3200)2) = √1889
Er zijn 8 zulke staven
Pythagoras in driehoek ABE geeft  BE = √(402 + 462) = √3716 en ook daarvan zijn 8 staven.
Totale lengte is dus  8 • (√1889 + √3716) ≈ 835 cm.
17. PQ = 46 - 2•13 = 20
GCS is een vergroting van QPS met factor  46/20 = 2,3
Dus  GS = 2,3 • QS  en dus  GQ = 3,3 • QS
Maar uit de vorige vraag weten we dat GQ = √1889 
Daaruit volgt  QS = √1889/3,3 ≈ 13,2 cm  ofwel 132 mm.
   
18. x • e5x = 3x dus  x • e5x - 3x = 0  dus  x • ( e5x - 3) = 0  dus  x = 0  of  e5x = 3
De tweede oplossing geeft  5x = ln 3  dus  x = (ln 3)/5
19. fa(x) = x• eax  geeft met de productregel en de kettingregel:
fa' (x) = 1 • eax + x • eax • a
Nul invullen geeft  fa(0) = 1 • 1 + 0 • 1 • a = 1