HAVO WB12   2001 - I
Weerstand
Een wielrenner moet op de vlakke weg twee soorten weerstand overwinnen om vooruit te komen: de luchtweerstand en de rolweerstand. De rolweerstand hangt voornamelijk af van het soort wegdek, maar verder ook van het gewicht van de renner en van het type band dat gebruikt wordt: een brede noppenband geeft meer weerstand dan een smalle raceband.
Een maat voor de inspanning om deze weerstanden te overwinnen is het vermogen.  Vermogen is de hoeveelheid arbeid die per seconde wordt verricht. De eenheid van vermogen is Watt.
Voor een wielrenner van 75 kg die op een fiets met trainingsbanden rijdt gelden bij windstil weer bij benadering de volgende formules:
Prol = 0,75v    en    Plucht = 0,004v3

Prol is het vermogen nodig om de rolweerstand te overwinnen (in Watt)
v is de snelheid van de renner (in km/uur)
Plucht is het vermogen nodig om de luchtweerstand te overwinnen (in Watt)
4p 1. Bereken bij welke snelheden de luchtweerstand groter is dan de rolweerstand. Geef je antwoord in km/uur, afgerond op één decimaal.

 
Ptot is het totale vermogen (in watt) dat door de wielrenner moet worden geleverd om met snelheid v vooruit te komen:
Ptot = Prol + Plucht

In de figuur hiernaast is de grafiek getekend van het verband tussen het geleverde vermogen Ptot van de renner en zijn snelheid v.

Voor het handhaven van een snelheid van 26 km/uur moet de renner meer vermogen leveren dan voor het handhaven van een snelheid van 25 km/uur.
3p 2. Bereken hoeveel meer vermogen hij moet leveren.
4p 3. Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van v geldt dat dPtot/dv = 10. Geef je antwoord in km/uur, afgerond op een geheel getal.
De wielrenner stapt over op een ligfiets omdat hij gehoord heeft dat:
  • Het vermogen dat nodig is om de luchtweerstand te overwinnen 25 procent minder is, zodat Plucht gelijk is aan  0,003v3.
  • De rolweerstand van een ligfiets dezelfde is als van een racefiets.
  • Je op een ligfiets door de speciale houding anderhalf keer zoveel vermogen levert als op een racefiets.
Neem aan dat deze drie effecten inderdaad optreden.

De wielrenner rijdt tijdens trainingen op zijn racefiets 30 kilometer per uur.
6p 4. Toon aan dat de wielrenner in dat geval op de ligfiets met dezelfde inspanning als op zijn racefiets ruim 38 km/uur fietst.

 
Kegel en Cilinder
De uitslag van een kegel is een deel van een cirkel. In de figuur hieronder is zo'n uitslag getekend.
TA = 9 en hoek ATB = 160°
3p 5. Bereken de oppervlakte van deze uitslag. Rond je antwoord af op een geheel getal.

 
In de rechterfiguur hierboven is de kegel getekend.
De straal CM van het grondvlak van de kegel is uit te rekenen met behulp van de gegevens van de uitslag.
4p 6. Laat zien dat geldt  CM = 4

 
Een cilinder wordt zodanig in de kegel hierboven geplaatst dat de bovenrand van de cilinder de kegel raakt.
De as van de cilinder valt samen met de as van de kegel.
CD = 1 en DM = 3
In de figuur hiernaast is de situatie weergegeven.
4p 7. Bereken de hoogte DE van de cilinder. Rond je antwoord af op twee decimalen.

      
We bekijken nu alle cilinders die zo in de kegel geplaatst kunnen worden dat de bovenrand van de cilinder de kegel raakt én dat de as van de cilinder samenvalt met de as van de kegel.
De hoogte van die cilinders stellen we x.
Bij benadering geldt de formule  r = - 0,5x + 4
De inhoud van de cilinders kan hiermee uitgedrukt worden in x.

Voor een bepaalde waarde van x is de inhoud van de bijbehorende cilinder maximaal.
4p 8. Bereken die maximale inhoud. Rond je antwoord af op een geheel getal.

      
Lawaaitrauma
Als je langdurig harde geluiden hoort kunnen klachten ontstaan, zoals stress of gehoorbeschadiging. Men spreekt dan van een lawaaitrauma

In Noorwegen bleek het aantal militairen met een lawaaitrauma tussen 1 januari 1982 en 1 januari 1988 te zijn verdubbeld.
Op 1  januari 1982 hadden 4500 van hen een aantoonbaar lawaaitrauma.
Neem aan dat het aantal militairen met zo'n trauma in de periode 1982 - 1988 exponentieel toenam.
5p 9. Bereken het aantal militairen dat op 1 januari 1985 een lawaaitrauma had. Rond je antwoord af op honderdtallen.

 
In de Verenigde Staten heeft men rond 1990 vastgesteld dat geluidssterktes van meer dan 90 dB (decibel) waaraan iemand langer dan 8 uur per dag (een werkdag) wordt blootgesteld, een lawaaitrauma kunnen opleveren.
Ter bescherming van de werknemers is daarom de volgende norm ingevoerd:
  • bij een voortdurende geluidssterkte van 90 dB bedraagt de maximale werktijd 8 uur
  • bij elke toename van de geluidssterkte met 5 dB moet de maximale werktijd gehalveerd worden.
In het assenstelsel van de figuur hieronder is een lijn getekend. Deze lijn geeft het verband weer tussen de geluidssterkte en de maximaal toegestane werktijd zoals die gebruikt wordt voor industrielawaai in de VS.
L is de geluidssterkte in dB en t is de maximale werktijd in uren.
De Europese norm is sinds enkele jaren strenger dan de norm in de VS:
  • bij een voortdurende geluidssterkte van 80 dB bedraagt de maximale werktijd 8 uur.
  • bij elke toename van de geluidssterkte van 3 dB moet de maximale werktijd gehalveerd worden.
3p 10. Teken in het assenstelsel hierboven de lijn die bij de Europese norm hoort.

 
De formule die hoort bij de lijn van de VS is:  L = -16,6 · log(t) + 105

In Amerika en Europa staan twee fabrieken met voor de werknemers precies dezelfde geluidssterkte. In de Amerikaanse fabriek mag men vanwege de geluidssterkte maximaal 6 uur per dag werken.
5p 11. Onderzoek hoeveel uur per dag men in de Europese fabriek maximaal zou mogen werken.

Showmodel
In een Doe-Het -Zelf winkel staat een showmodel om verschillende soorten vloerbedekking te laten zien: parket, laminaat en vinyl. Het showmodel is een kubus ABCD.EFGH (met de diagonaal BH verticaal) die bij hoek H is afgeknot. Zie de figuur hieronder. De kubus staat met het afgeknotte gedeelte PQR op een rechthoekig blok, een zogenaamde sokkel. Zo zijn er 6 grensvlakken waarop men een vloerbedekking kan laten zien.
De niet-afgeknotte ribben zijn 100 cm lang; de ribben GP, DQ en ER zijn 80 cm lang.
5p 12. Bereken de oppervlakte van dat deel van de afgeknotte kubus dat gebruikt kan worden om de vloerbedekking te laten zien.

In de figuur hiernaast is een begin getekend van het bovenaanzicht van de afgeknotte kubus.
7p 13. Maak dit bovenaanzicht af. Zet de letters D,E,G,P,Q en R erbij. Teken met stippellijnen de ribben die je van bovenaf niet kunt zien.
In de figuur hieronder is een begin getekend van de afgeknotte kubus, waarin BG en BA evenwijdig zijn aan het vlak van de tekening.
Door de toegevoegde onderbroken lijnen en het punt H wordt het een aanzicht van de gehele kubus.
De afstand van punt H tot het vlak PQR is gelijk aan 1/15 deel van de lichaamsdiagonaal HB.
De sokkel heeft een hoogte van 20 cm.
4p

14.

 Onderzoek door middel van een berekening of de totale hoogte van het showmodel (inclusief sokkel) minder dan 185 cm is.
Periodiek verband
Gegeven is de functie  f (x) = e1 + sin(x)

De sinusoïde met vergelijking  y = a + b · sin(x) heeft de zelfde toppen als de grafiek van f.
5p

15.

 Bereken a en b in twee decimalen nauwkeurig.

4p 16. Bereken met behulp van differentiëren de exacte waarde van f '(0)

Ook is gegeven de functie  g(x) = e1 + sin(2x).

De grafieken van f en g snijden elkaar op het interval [0, 2p] in vijf punten:  A, B, C, D en E.
De punten A, C en E liggen op gelijke hoogte; het punt B ligt hoger en het punt D ligt lager dan de punten A, C en E.
Lijn k is de raaklijn in het punt B aan de grafiek van g.
5p

17.

 Stel een vergelijking op van k. Rond de getallen in je antwoord af op twee decimalen.
Voor elk positief getal p is gegeven de functie  h(x) = e1 + sin(px).

Bij verschillende waarden van p horen verschillende grafieken van h.
Aan deze grafieken is te zien dat de periode van h afhangt van de gekozen waarde van p.
Bij p = 1 hoort de grafiek van f en bij p = 2 hoort de grafiek van g.

Het aantal snijpunten van de grafiek van f  met die van h op het interval [0, 2π] hangt af van de waarde die voor p gekozen wordt.
5p

18.

 Onderzoek voor welke positieve waarden van p de grafiek van f en de grafiek van h twee snijpunten op het interval [0, 2π] hebben.

 

OPLOSSINGEN
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. 1e opl. Met de grafische rekenmachine  Y1 = 0,75v  en Y2 = 0,004v3
Dan INTERSECT geeft  v = 13,7
Aflezen dat Plucht > Prol voor v ≥ 13,7
2e opl. 0,75v = 0,004v3  ⇒  0,57v - 0,004v3 = 0  ⇒  v • (0,75 - 0,004v2) = 0  ⇒ v = 0  of 0,75 - 0,004v2 = 0
De tweede oplossing levert  0,004v2 = 0,75  dus  v2 = 187,5  dus  v = 13,69...
Plucht > Prol voor v ≥ 13,7
2. Ptot (26) = 89,804  en  Ptot(25) = 81,25
Het extra te leveren vermogen is dus  89,804 - 81,25 = 8,554 Watt
3. Ptot = 0,75v + 0,004v3  dus  Ptot' = 0,75 + 0,012v2
1e opl. Ptot'  invoeren in de rekenmachine, evenals Y2 = 10.
INTERSECT levert  v ≈ 28 km/uur
2e opl. 0,75 + 0,012v2 = 10  dus  0,012v2 = 9,25  dus  v2 = 770,833...  dus  v = 27,763...  ≈ 28 km/uur
4. Het vermogen van de racefiets bij 30 km/uur is  130,5
Het vermogen op de ligfiets is  1,5 • 130,5 = 195,75
Bij 38 km/uur is het vermogen op de ligfiets 193
Dus de snelheid is iets meer dan 38 km/uur.
   
5. De oppervlakte van de cirkel met straal 9 is  2 • π • 92 = 81π
De hoek van de uitslag is 160º dus de uitslag is  160/360ste deel van de cirkel.
De oppervlakte van de uitslag is dus  81π • (160/360) ≈ 113
6. De omtrek van de hele cirkel van de uitslag zou gelijk zijn aan 2π • 9 = 18π.
De getekende cirkelboog AB is daar 160/360ste deel van, dus 18π • (160/360) = 8π.
Deze afstand is gelijk aan de omtrek van de grondcirkel van de kegel, en die is  2p • CM
Dus 2π • CM = 8π  en daaruit volgt dat CM = 4.
7. In driehoek TMA geldt met Pythagoras:  TM = Ö(92 - 42) = Ö65
De driehoeken CDE en CMT zijn gelijkvormig met factor  CD/CM = 0,25
Dus is  DE = 0,25 • Ö65 ≈ 2,02
8. De inhoud van de cilinder I = G • h = πr2 • h = π • (-0,5x + 4)2 • x

Invoeren in de grafische rekenmachine en CALC - MAXIMUM gebruiken levert  x = 2,66 en I = 60

Algebraïsch: De inhoud is maximaal als de afgeleide nul is.
I = π • (0,25x2 - 4x + 16) • x   = π • (0,25x3 - 4x2 + 16x).   Dus  I' = π • (0,75x2 - 8x + 16)
Dat geeft  0,75x2 - 8x + 16 = 0 en de ABC-formule levert  x = 8  of   x = 8/3
De laatste oplossing geeft de maximale inhoud.
invullen in de I-formule geeft  I = 59,5739.... dus dat geeft  I = 60
   
9. De groeifactor per 6 jaar is  2, dus de groeifactor per jaar is  21/6
De beginwaarde is 4500, en de tijd 3 jaar. Dat geeft   4500 • (21/6)3 ≈ 6400
10. Dat wordt een rechte lijn.
De lijn moet door (8,80) gaan.
Elke 3 dB wordt de tijd gehalveerd, dus de lijn gaat ook door bijv. (4,83) en (2, 86) en (1, 89)  enz.
11. In Amerika is de toegestane geluidssterkte  L = -16,6 • log(6) + 105 = 92,082...
1e opl. 92 dB is 4 keer 3dB boven de norm van 80.
De werktijd van 8 uur moet dus vier keer gehalveerd worden. Dat levert 0,5 uur.
2e opl. Voor Europa geldt de formule  t = 8 • 0,5(L-80)/3
Dus als L = 92,082... dan geeft dat  t = 8 • 0,54,027 = 0,49 uur en dat is ongeveer 0,5 uur.
12. De oppervlakte van de hele kubus is  6 • 1002 = 60000
Daar moeten drie driehoeken als HPQ vanaf.
De oppervlakte van HPQ is  0,5 • 202 = 200, dus er blijft over 60000 - 3 • 200 = 59400 cm2
13. Zorg ervoor dat GP  4/5 deel van GB is.

Denk aan stippelen/ niet stippelen.

Er mogen geen extra lijnen bij in staan.
14. Pythagoras geeft dat  BH = 100 • √3
De hoogte van B boven de sokkel is daar 14/15 deel van dus  (14/15)•100 • √3 = 161,66
De totale hoogte is dan 161,66 + 20 = 181,66 en dat is minder dan 185.
   
15. Een sinusoïde heeft toppen bij bijv.  x = π/2  en  x = 3π/2
De toppen van de e-macht zijn daar  (π/2 , e2) en (3π/2 , 1)  De GR geeft  (1.571 , 7.389)  en  (4.712 , 1)
De amplitude van de sinusgrafiek is dus  (e2 + 1)/2 = 4,19,  dus a = 4,19
De evenwichtslijn van de sinusgrafiek is  3,19.  Dus  b = 3,19
16. De kettingregel gebruiken:  f ' (x) = e1 + sinx • cosx
f ' (0) = e1 • 1 = e
17. f en g invoeren bij Y1 en Y2 in de Grafische rekenmachine.
INTERSECT geeft punt B: xB ≈ 1,047 
1e opl. raaklijn met de GR tekenen:  DRAW - Tangent - X = 1,047  geeft   y = -6,46x + 13,23
2e opl. hellinggetal met de GR (CALC - dy/dx) geeft  helling  -6,463...
Punt  (1.047 , 6.463) invullen in  y = -6,463x + b  geeft  b = 13,23 en dus  y = -6,46x+ 13,23
18. De snijpunten van f en h zijn ook de snijpunten van y = sin x en y = sin px
Voor p > 1 wordt de grafiek van sin px in elkaar gedrukt t.o.v. de grafiek van sin x. Dat geeft altijd meer dan twee snijpunten.
Voor p < 1 wordt de grafiek van sin px uitgerekt  t.o.v. de grafiek van sin x. Er is altijd het snijpunt (0,0) plus een tweede snijpunt tussen x = 0 en x = π. Er is geen derde snijpunt meer zodra het eerste snijpunt van y = sin px met de x-as voorbij  x = 2π komt te liggen. Dat is zo vanaf  p = 0,5
Oplossing: p < 0,5