HAVO WB1,2   2002 - II
Pompen of....
Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm3)
4p 1. Bereken de diameter van het vat. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.

 
Het vat is geheel gevuld met water. Aan de kraan onder aan het vat (zie de figuur hiernaast) wordt een pomp aangesloten. Hiermee wordt per minuut 60 liter water uit het vat gepompt.
Daardoor zal de waterspiegel met constante snelheid dalen. De hoogte h in decimeter van de waterspiegel is afhankelijk van de tijd t in minuten vanaf het moment waarop de pomp wordt aangezet.
Op tijdstip t = 0 geldt dus  h = 32.
4p 2. Teken een grafiek die het verband weergeeft tussen de hoogte h en de tijd t bij het leegpompen van het vat. (h op de y-as,  t op de x-as)
Men kan ook de kraan opendraaien zonder de pomp aan te sluiten. Het vat stroomt dan leeg. Tijdens het leegstromen geldt voor de hoogte h van de waterspiegel op tijdstip t bij benadering de formule:
h(t) = 0,0008t2 - 0,32t + 32

Hierin is t de tijd in minuten vanaf het moment dat de kraan wordt opengedraaid en h de hoogte van de waterspiegel in decimeter.

De snelheid waarmee de waterspiegel daalt neemt voortdurend af. Volgens bovenstaande formule valt het tijdstip waarop deze snelheid gelijk aan 0 is samen met het tijdstip waarop het vat leeg is.
5p 3. Toon dit met behulp van differentiëren aan.

 
Op een gegeven moment is het vat geheel gevuld met water en laat men het leegstromen.
De tijd die nodig is om de eerste 4000 liter te laten wegstromen is korter dan de tijd die nodig is voor de tweede 4000 liter.
5p 4. Bereken hoeveel minuten korter het laten wegstromen van de eerste 4000 liter duurt dan het laten wegstromen van de tweede 4000 liter. Geef je antwoord in gehele minuten nauwkeurig.

 
In de figuur hieronder is de grafiek van h als functie van t getekend als men het vat leeg laat stromen.
Als men het vat leegpompt daalt de waterspiegel met een constante snelheid.
Als men het vat leeg laat stromen neemt de snelheid waarmee de waterspiegel daalt voortdurend af.
5p 5. Geef in bovenstaande grafiek het grafiekdeel aan waar geldt dat de waterspiegel bij leeg stromen sneller daalt dan bij leeg pompen. Licht je werkwijze toe.

 
Een exponentiële functie
Gegeven is de functie  f(x) = 150 · 1,2x
4p 6. Bereken met behulp van differentiëren de exacte waarde van de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in het snijpunt met de y-as.
De grafiek van  f  wordt 2 naar links verschoven. Zo ontstaat de grafiek van g.
De grafiek van g kan ook verkregen worden door een vermenigvuldiging van de grafiek van  f  ten opzichte van de x-as.
4p 7. Toon dat algebraïsch aan.

 
Broeibak
In een folder van een tuincentrum staat de hiernaast getekende broeibak. De broeibak heeft een glazen deksel in de vorm van een gelijkbenig trapezium. In de tekening is te zien dat het deksel open staat.

In de figuur links hieronder is een model van deze broeibak getekend. Het glazen deksel FGLK is hierbij gesloten.
Vlak EFGH is evenwijdig aan het grondvlak ABCD. KL ligt 30 cm boven EFGH.
In de rechterfiguur is het bovenaanzicht van de gesloten broeibak getekend. AD is evenwijdig aan BC. AB is even lang als DC.
Alle afmetingen zijn gegeven in cm. De diktes van het hout en van het glas worden verwaarloosd.

Uit de gegevens is af te leiden dat de ribbe FK ongeveer 62 cm lang is.
4p 8. Toon dit met een berekening aan.

 
Het glazen deksel FGLK wordt vanuit gesloten stand zo gedraaid om KL dat het deksel horizontaal staat.
4p 9. Bereken de hoek waarover het deksel gedraaid is. Geef je antwoord in gehele graden nauwkeurig.

 
Iemand doet 200 liter potgrond (1 liter = 1000 cm3) in de broeibak. Hij verdeelt de potgrond gelijkmatig.
Neem bij de volgende vraag aan dat de bovenkant van deze hoeveelheid potgrond een horizontaal vlak vormt.
5p 10. Bereken hoe hoog de potgrond komt. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.

 
Van een schaalmodel van deze broeibak, met schaal 1 : 20, staat hieronder het begin van een uitslag.
7p 11. Maak de uitslag af en zet de letters erbij. Licht je werkwijze toe.

 
Vliegen
Vogels en  vliegtuigen kunnen vliegen, onder andere omdat ze vleugels hebben. Voor de vliegtuigbouw is het van belang te weten welk gewicht een stel vleugels kan dragen en welke snelheid er nodig is om te kunnen vliegen.
In deze opgave gaan we in op de relatie tussen het gewicht, het vleugeloppervlak, de kruissnelheid en de luchtdichtheid. Hierbij is de kruissnelheid de snelheid die een vogel of vliegtuig heeft tijdens een lange vlucht.
Voor vogels en vliegtuigen geldt bij benadering de volgende formule:
W = 0,03 · d · V2 · S

Hierin is W  het gewicht in kilogram, S het vleugeloppervlak in vierkante meter, d de luchtdichtheid in kilogram per kubieke meter, en V de kruissnelheid in meter per seconde.

Een merel van 90 gram heeft een vleugeloppervlak van 200 cm2. Deze vogel vliegt dicht bij de grond, waarbij d = 1,25.
5p 12. Bereken de kruissnelheid van een merel. Geef je antwoord in meter per seconde, afgerond op een geheel getal.

 
In de vliegtuigbouw wordt gewerkt met het begrip vleugelbelasting; dat is het gewicht (in kilogram) per vierkante meter vleugeloppervlak, in formulevorm  W/S.
Een Boeing 747 heeft een vleugeloppervlak van 511 m2 en heeft een kruissnelheid van 900 km per uur op een hoogte waar de luchtdichtheid d gelijk is aan 0,3125.
4p 13. Bereken de vleugelbelasting van deze Boeing 747. Rond je antwoord af op een geheel getal.

 
Voor vliegende objecten met dezelfde vorm is er een lineair verband tussen log(W) en  log(S). Voor vliegende objecten met dezelfde vorm als de Boeing 747 geldt de formule  log(W) = 0,5 + 1,5 · log(S).
Deze formule is om te werken tot  W = p · Sq.
5p 14. Bereken p en q. Rond je antwoord af op twee decimalen.

 
Een verzameling functies
Gegeven is de functie  f (x) = √(27x - x4)
De grafiek van  f  heeft met de x-as twee punten gemeen; de oorsprong O en een punt S.
Op de grafiek van  f liggen twee punten T en U zodanig dat de oppervlaktes van driehoek OST en van driehoek OSU gelijk zijn aan 6.
Zie de figuur hiernaast.
6p 15. Bereken de coördinaten van T en U. Rond in je antwoord getallen die niet geheel zijn af op twee decimalen.

 
Gegeven is de functie  g(x) = √(8x - x4)
In de figuur hiernaast zijn de grafieken van f en g en een verticale lijn met vergelijking x = p getekend.
De verticale lijn snijdt de grafiek van f in A en de grafiek van g in B. De lengte van lijnstuk AB is 3.
4p 16. Bereken p. Rond je antwoord af op twee decimalen.

 
Een verzameling van functies is gegeven door  h(x) = √(cx - x4)  voor elk positief getal c.
Voor c = 27 krijg je de functie f  en voor c = 8 krijg je de functie g.

Voor een bepaalde waarde van c is het domein van h gelijk aan  [0,10].
5p 17. Bepaal het bereik van h bij die waarde van c. Rond in je antwoord getallen die niet geheel zijn af op twee decimalen.

 
Het maximum van de functies h wordt niet telkens voor dezelfde waarde van x bereikt.
Eén van de functies h heeft een maximum voor x = 1,5.
5p 18. Bereken met behulp van differentiëren de exacte waarde van c van deze functie.

 
OPLOSSINGEN
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. G • h = 8000    πr2 • h = 8000  ⇒ πr2 • 32 = 8000  ⇒  r2 = 8000/(32π) = 79,5774... ⇒  r = 8,9206...
De diameter is 2r = 17,8412... dm en dat is afgerond 178 cm.
2. Dat is een rechte lijn van (0,32) tot  (400/3 , 0) en die gaat bijv. ook door  (50,20) en (100,8)
3. Het vat is leeg  als  h(t) = 0  dus als  0,0008t2 - 0,32t + 32 = 0
De ABC-formule geeft dat dat zo is voor t = 200
De snelheid is de afgeleide en die is gelijk aan  h'(t) = 0,0016t - 0,32
Op t = 200 geldt:  h'(200) = 0 dus is inderdaad op dat moment de snelheid nul.
4. de eerste 4000 liter is weggestroomd als  h = 16 dus als  0,0008t2 - 0,32t + 32 = 16
0,0008t2 - 0,32t + 16 = 0  geeft met de ABC-formule  t = 341,421...  of  t = 58,5786... 
Dus als t = 58,5786....  (het andere antwoord vervalt).
De tweede 4000 liter stroomt weg tussen t = 58,5786... en t = 200  (zie vraag 3)
Dat duurt 141,421... minuten dus dat scheelt  141,421... - 48,5786... = 82,84... minuten.
Afgerond  83 minuten.

(Een plot van h(t) en van de lijn  Y2 = 4000 in de GR, en dan INTERSECT gebruiken kan ook)
5. 1e oplossing
Bij het leegpompen verdwijnt er constant 60 liter per minuut uit de tank.
Bij een inhoud van 60 liter geldt πr2h = 60  met  r = 8,9206... (vraag 1)  dus  h =  0,24  dm/minuut
Bij het leegstromen is de helling  h '(t) = 0,0016t - 0,32.
De hellingen zijn gelijk als  0,0016t - 0,32 = - 0,24  ofwel als t = 50 minuten.
 Tussen  t = 0  en  t = 50 loopt de tank bij stromen sneller leeg dan bij pompen. 

2e oplossing
Teken de lijn van opgave 2.
Verschuif deze lijn evenwijdig aan zichzelf totdat hij de getekende grafiek (van het stromen) raakt.
Dat zal zijn in het punt  waarvoor t = 50
Tussen  t = 0  en  t = 50 loopt de tank bij stromen sneller leeg dan bij pompen.
6.  De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is gelijk aan de helling van de grafiek, dus aan de afgeleide.
f ' (x) = 150 • 1,2x • ln(1,2)  en x = 0 invullen levert  f ' (0) = 150 • ln(1,2)
7. De grafiek van f  twee naar links schuiven is te bewerkstelligen door in het functievoorschrift x te vervangen door x + 2
Dat geeft  g(x) = 150 • 1,2x + 2 = 150 • 1,2x • 1,22 = 1,44 • 150 • 1,2x  = 1,44 • f(x)
Kennelijk kun je  g ook krijgen door een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as, namelijk met factor 1,44.
8. Teken de projectie K' van K op vlak EFGH
Dan geldt KK' = 30
Uit het bovenaanzicht is te zien dat  K'F2 = 502 + 202   dus  K'F = √2900
In driehoek KK'F geldt dan  KF2 = K'K2 + K'F2 = 302 + 2900 = 3800
Dus KF = √3800 = 61,6441... en dat is ongeveer 62 cm.  
9. Hiernaast is alleen het bovenste deel van de bak geschetst.
K' is de projectie van K op vlak EFGH
P ligt op FG zo, dat KP loodrecht op FG staat (en K'P ook)
De gevraagde hoek is hoek K'PK
K'K = 30 en  K'P = 50
tan K'PK = 30/50  en dat geeft een hoek van 31º.

10. Het bovenaanzicht met de afmetingen staat hiernaast geschetst.
Het bestaat uit een rechthoek en twee driehoeken.
De oppervlakte is  80 • 70 + 40 • 70 = 8400
De inhoud moet 200000 worden
Dan moet de hoogte 200000/8400 = 23,809... worden.
De potgrond komt dus tot 24 cm hoog.
11. Teken AE, BF, CG en DH met lengte 30 loodrecht op AB, BC en CD.

K is gegeven, dus die afstand kun je omcirkelen vanaf E.
KF is 62 cm, dus die kun je omcirkelen vanaf F.
Het snijpunt geeft K.
Op dezelfde manier kun je L construeren.

Teken een lijn loodrecht op BC met afstand 20 tot B.
FK kun je omcirkelen vanaf F en snijden met deze lijn.
Dat geeft punt K.
12. 0,09 = 0,03 • 1,25• V2 • 0,02 ⇒ V2 =  120 ⇒  V = 10,954..  is ongeveer 11 m/s
13. 900 km/uur is  900000 meter per 3600 seconden en dat is dus 250 m/s
W/S = 0,03 • d • V2 = 0,03 • 0,3125 •  2502 = 585,9375  en dat in ongeveer  586 kg/m2
14. 10logW = 100,5 + 1,5logS dus  W = 100,5 • 101,5logS = 3,16 • (10logS)1,5 = 3,16 • S1,5
Dat betekent  p = 3,16 en q = 1,50
15. Voor punt S geldt = 0  ⇒ √(27x- x4) = 0  ⇒  27x - x4 = 0  ⇒  x • (27 - x3) = 0  ⇒  x = 0  of  x3 = 27
Dat geeft x = 0 (de oorsprong) of  x = 3 (punt S)
De oppervlakte van de driehoeken is  0,5 • basis • hoogte.
De basis is OS = 3
De hoogte is de y-coördinaat die bij x hoort, en is dus  √(27x- x4)
Dus  0,5 • 3 • √(27x- x4) = 6  dus √(27x- x4) = 4.  
Plot  Y1 = 0,5 • 3 • √(27x - x4)   en  Y2 = 4
Gebruik INTERSECT. Dat levert  T = (0.60 , 4)  en  U = (2.77 , 4)
16. De lengte van AB wordt gegeven door het verschil van de y-coördinaten van f en g.
Dus  AB = √(27x - x4) - √(8x - x4)
Voer deze in formule bij Y1, en voer in  Y2 = 3
INTERSECT levert  x =  p = 1,34
17. Voor de randpunten van h geldt  cx - x4 = 0  ⇒  x • (c - x3) = 0  ⇒  x = 0  of  x3 = c
Als de randpunten bij x = 0 en x = 10 moeten liggen, dan moet dus gelden:  103 = c  ofwel c = 1000
18. h(x) = √(cx- x4) = (cx - x4)0,5
De kettingregel geeft dan h '(x) = 0,5 • (cx - x4)-0,5 • (c - 4x3)
Voor een maximum is de afgeleide nul:  0,5 • (cx - x4)-0,5 • (c - 4x3) = 0
Alleen het laatste deel hiervan kan nul worden.
(c - 4x3) = 0 levert met  x = 1,5 dat  c - 4 • 1,53 = 0  ⇒ c - 13,5 = 0  ⇒   c = 13,5