HAVO WISKUNDE B12,  2004 - II
Bacteriecultuur
De groei van het aantal bacteriën van een bacteriecultuur hangt onder andere af van het voedingspatroon, de temperatuur en de belichting.
Uit onderzoek blijkt dat het aantal bacteriën van een bepaalde bacteriecultuur onder bepaalde omstandigheden gedurende de eerste vier weken benaderd kan worden door de formule:
N = -100t3 + 300t2 + 900t + 1000    (0 £ t £ 4)

Hierbij is N het aantal bacteriën en t de tijd in weken na t = 0.
2p 1. Bereken het maximale aantal bacteriën.
3p 2. Bereken hoeveel bacteriën er gemiddeld per dag bijkomen gedurende de derde week.
Rond je antwoord af op een geheel getal.

 
5p 3. Bereken met behulp van differentiëren op welk tijdstip t tussen 0 en 4 het aantal bacteriën het sterkst stijgt.

 
Na 4 weken worden de omstandigheden gewijzigd. Daardoor verloopt het aantal bacteriën voor  4 £ t £ 8 volgens de formule:
N = -3000 + 24000/t
6p

4.

 Onderzoek gedurende hoeveel dagen van t = 0 tot en met t = 8 er meer dan 2000 bacteriën zijn. Rond je antwoord af op een geheel aantal dagen.

 
De twee stukken grafiek van N sluiten op elkaar aan in het punt  (4, 3000).
De formule voor de eerste 4 weken geeft in t = 4 een groeisnelheid van -1500 (bacteriën/week)
4p

5.

 Onderzoek met behulp van differentiëren of de formule die het aantal bacteriën in de laatste vier weken beschrijft, voor t = 4 dezelfde groeisnelheid geeft.

 
Asfaltbetonwegen
De snelwegen in Nederland zijn voornamelijk asfaltbetonwegen.
De meest voorkomende zijn de dichte asfaltbetonwegen (DAB-wegen) en de zeer open asfaltbetonwegen (ZOAB-wegen).
In de figuur hieronder is voor bovengenoemde soorten wegen het verband weergegeven tussen de snelheid v van het verkeer en het geluidsniveau D van het verkeer.
Hierbij is v in km/uur  en  D in dB (decibel)
Bij een DAB-weg geldt bij benadering de volgende formule:
D = 15,6 • ln(v) + 4,1

Voor ZOAB-wegen geldt bij benadering de volgende formule:

D = 12,2 • ln(v) + 16,0
4p 6. Bereken bij welke snelheden van het verkeer het geluidsniveau op een ZOAB-weg meer dan 4 dB lager is dan op een DAB-weg. Geef je antwoord in gehele kilometers per uur.

 
4p 7. Toon met behulp van differentiëren aan dat voor elke waarde van v de grafiek van de DAB-weg een grotere helling heeft dan de grafiek van de ZOAB-weg.
De coëfficiënten 15,6 en 4,1 in de formule D = 15,6 • ln(v) + 4,1 voor de DAB-weg zijn op één decimaal afgeronde getallen. Het verband D = a • ln(v) + b, waarbij a en b getallen zijn, is gevonden met behulp van de volgende twee gegevens:
bij een snelheid van 50 km/uur heeft men een geluidsniveau van 65 dB gemeten
bij een snelheid van 95 km/uur heeft men een geluidsniveau van 75 dB gemeten
6p

8.

 Bereken met behulp van deze gegevens de waarden van a en b.
Rond af op twee decimalen.

 
Etagère
In een advertentie van een tuincentrum staat een foto van een etagère. Dezelfde foto is hieronder afgebeeld. In de figuur ernaast is de etagère getekend.
De etagère is opgebouwd uit drie gelijke piramiden. Hij steunt met het punt K op de grond en met de ribbe HI tegen de muur.
De bovenste piramide is aan de middelste vastgelast in het midden M van ribbe EF, en de middelste piramide is aan de onderste vastgelast in het middel L van ribbe BC.
Het punt K en de ribben BC, EF en HI liggen in één vlak.
De driehoeken KAB, KAC en ABC zijn zowel rechthoekig als gelijkbenig.
KA = AB = AC = 25 cm.
De vlakken ABC, DEF en GHI lopen evenwijdig aan het grondvlak.
     
5p 9. Teken een bovenaanzicht van deze etagère op schaal 1 : 5. Zet de letters erbij.
5p 10. Bereken van de etagère de afstand van K tot de muur.
Rond je antwoord op een geheel aantal centimeters.

 
De drie piramiden van de etagère worden uit ijzeren platen gemaakt.
Zo'n ijzeren plaat heeft de vorm van een gelijkzijdige driehoek STU.
In de figuur hiernaast is de uitslag van een piramide in de ijzeren plaat getekend.
De grijze driehoekjes zijn afval.
6p

11.

 Bereken de lengtes van de zijden van driehoek STU.
Rond je antwoord af op een geheel aantal centimeters.

 
Olietank
Een olietank heeft de vorm van een cilinder met een hoogte van 5 meter en een diameter van 4 meter. In de figuur hiernaast staat een tekening van deze olietank.
De hoogte van de vloeistofspiegel ten opzichte van de bodem van de tank wordt hierin met h aangegeven (in meters)

Op een bepaald moment zit er 25 m3 olie in de tank.
3p

12.

 Bereken de bijbehorende waarde van h
Geef je antwoord in meters, afgerond op twee decimalen.
Op een ander moment is de tank voor de helft met olie gevuld. In de figuur links hieronder is een vooraanzicht van de tank (rechthoek ABCD) en de
vloeistofspiegel (EF) getekend. De halfvolle tank wordt om A gekanteld.
In de figuur rechtsonder is een vooraanzicht getekend van het vat nadat het is gekanteld over een hoek a. Bij het kantelen beweegt E langs AD en F langs BC.
4p

13.

 Teken in de rechterfiguur de vloeistofspiegel EF. Beschrijf je werkwijze.

 
Een olietank is voor 40% gevuld. De olietank wordt gekanteld, zodat de afstand van B tot de grond steeds groter wordt. Daarbij neemt ook de afstand van A tot E toe.
De hoogte van B ten opzichte van de grond noemen we p. De afstand van A tot E noemen we q. Zie de figuur hiernaast.
Voor  2 ≤ q ≤ 4 geldt voor het verband tussen p en q de formule:

q = 2 + 2p • (16 - p2)-0,5
4p

14.

 Bereken de afstand van B tot de grond als de vloeistof spiegel door het midden van AD gaat. Rond je antwoord af op gehele centimeters.

 
Luchtdruk
De luchtdruk in de atmosfeer is afhankelijk van de hoogte boven het zeeniveau.
De grafiek hieronder geeft het verband weer tussen de luchtdruk in millibar (mbar) en de hoogte boven het zeeniveau in kilometer (km).
De luchtdruk op zeeniveau is gelijk aan 1014 mbar.
In deze figuur is te zien dat de luchtdruk afneemt als de hoogte toeneemt.
Er is een hoogte waarop de snelheid waarmee de luchtdruk afneemt gelijk is aan 5 mbar per 100 meter.
4p

15.

 Onderzoek met behulp van de figuur op welke hoogte dit het geval is.
Licht je werkwijze toe.

 
Voor het verband tussen de luchtdruk D (in mbar) en de hoogte h (in km) geldt bij benadering de formule:
D = 1014 • (-0,0226h + 1)5,26

Met behulp van differentiëren is de snelheid (in mbar/km) te berekenen waarmee de luchtdruk verandert.
5p

16.

 Bereken met behulp van differentiëren deze snelheid op een hoogte van 3 km.
Rond je antwoord af op één decimaal.

 
In de gegeven formule is D uitgedrukt in h.
4p

17.

 Werk de formule zo om dat h uitgedrukt wordt in D.

 
Netspanning
Op de stroomvoerende draad in een stopcontact schommelt de elektrische spanning 50 keer per seconde van -300 Volt tot +300 Volt.
De formule  V = 300sin(100pt) geeft het spanningsverloop in de tijd weer. Hierin is V de spanning in Volt en t de tijd in seconden.
4p

18.

 Onderzoek of de spanning op tijdstip t = 0,05  toe- of afneemt. Licht je antwoord toe met een berekening.

In een elektrisch apparaat is de formule van het spanningsverloop  V* = 60sin(100πt - 25).
Hierin is V* de spanning in Volt en t de tijd in seconden.

Vanaf t = 0 gerekend komt het tijdstip van de hoogste spanning van V* iets eerder dan dat van V.
4p

19.

 Onderzoek hoeveel seconden dit tijdstip vroeger is.
Rond je antwoord af op vier decimalen.
OPLOSSING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. In het maximum is de afgeleide nul.
N'(t) = -300t2 + 600t + 900 = -300•(t2 - 2t - 3) = -300•(t + 1)•(t - 3)
Dat is nul als t = -1 of t = 3  (maar t = -1 valt af)
t = 3 levert  N(3) = 3700

(dit alles mag uiteraard ook met de GR)
   
2. N(3) = 3700
N(2) = 3200
Dus in 7 dagen zijn er 500 bijgekomen. Dat is ongeveer 71 per dag.
   
3. De snelheid waarmee het aantal stijgt is de afgeleide.
N'(t) = -300t2 + 600t + 900
Het gaat erom wanneer dit maximaal is, dus dan is de afgeleide híervan nul.
-600t + 600 = 0  ⇒  t = 1

(dit laatste maximum mag ook met de GR worden berekend)
   
4. Voor  0 £ t £ 4 lossen we op  -100t3 + 300t2 + 900t + 1000 = 2000
Invoeren in de GR en dan intersect levert   t ≈ 0,917

Voor  4 £ t £ 8 lossen we op  -3000 + 24000/t = 2000  ⇒  24000/t = 5000  ⇒  t = 24000/5000 = 4,8
Uit de grafieken voor N(t) lezen we vervolgens af dat voor t tussen  0,917 en 4,8 het aantal meer is dan 2000, en dat is 4,8 - 0,917 = 3,883 weken en dat is ongeveer 27 dagen.
   
5. N(t) = -3000 + 24000 • t-1  ⇒   N'(t) =  -24000 • t-2
vul  t = 4 in:  N'(4) = -24000 • 4-2 = -1500 dus beide formules geven dezelfde groeisnelheid.
   
6. DDAB - DZOAB > 4  ⇒  (15,6ln(v) + 4,1) - (12,2ln(v) + 16,0) > 4

Voer het rechterdeel in bij Y1 en het linker bij Y2, en gebruik intersect.
Dat levert  v  = 107,39.
Dus voor v > 107 km/uur is het geluidsniveau op en ZOAB weg meer dan 4 dB lager dan op een DAB-weg.

Voor de liefhebbers algebraïsch:
(15,6ln(v) + 4,1) - (12,2ln(v) + 16,0) = 4  ⇒  15,6ln(v) + 4,1 - 12,2ln(v) - 16,0 = 4
⇒  3,4ln(v) = 15,9  ⇒  ln(v) = 4,676...  ⇒  v  = e4,676.. = 107,39... 

   
7. DDAB'(v) = 15,6/v  en  DZOAB'(v) = 12,2/v
Omdat 15,6 > 12,2 en v > 0 is de eerste breuk groter dan de tweede.
   
8. Invullen geeft twee vergelijkingen:  65 = a • ln50 + b  en  75 = a • ln95 + b
Uit de eerste volgt  b = 65 - a • ln50  en dat vullen we in in de tweede:
75 = a • ln95 + 65 - a • ln50  ⇒  10 = a • (ln95 - ln50)  ⇒  a = 15,58
Dan geldt  b = 65 - 25,58 • ln50 = 4,05
   
9.
   
10. De afstand van K tot de muur is  3 • AL (zie bovenaanzicht)
BC2 = 252 + 252  ⇒  BC = Ö1250
AL = 0,5 • BC  (teken een vierkant met zijden AB en AC dan zie je dat wel)
AL = 0,5Ö1250 = 17,68
Dus  de gevraagde afstand is 3 • 17,68 in ongeveer 53 cm.
   
11. De grijze rechthoekjes hebben een hoek van 60º bij hoekpunt S,T of U (immers STU is gelijkzijdig)
De langste rechthoekszijde is 25 cm.
Noem de kortste rechthoekszijde x, dan geldt  tan 60º = 25/x  ⇒  x = 25/tan 60º
Noem de schuine zijde y dan geldt  sin60º = 25/y  ⇒  y = 25/sin60º
ST = 25 + x + y = 25 + 25/tan60º + 25/sin60º ≈ 68 cm.
   
12. Inhoud = grondvlak • hoogte  dus  25 = π • 22 • h  ⇒ h =  1,99 m
     
13. Als de tank halfvol zit, dan gaat de vloeistofspiegel door het midden van de rechthoek.
Dat midden kun je vinden als snijpunt van de diagonalen van de rechthoek.
Teken dus een horizontale lijn door dat snijpunt S (zie hiernaast)
   
14. Dan is q = 2,5
2,5 = 2 + 2p • (16 - p2)-0,5
Invoeren in de GR en dan intersect levert  p = 0,970  dus 97 cm.
     
15. Teken lijnen met helling -5 (mbar/100m)
Dat zijn de rode lijnen.
Verschuif deze rode lijnen totdat de grafiek geraakt wordt.
Dat is de blauwe lijn.
We lezen af dat het raakpunt ongeveer ligt bij h = 8 km.
   
16. D'(h) = 1014 • 5,46 • (-0,0226h + 1)4,26 • -0,0226
De laatste factor -0,0226 komt van de kettingregel.
Vul in h = 3, dat geeft  D'(3) = -89,4  (mbar/km)
   
17.
(de laatste vereenvoudiging (en benadering) is niet nodig)
   
18. 50 keer per seconde een golfbeweging, dan duurt 1 golfbeweging 1/50 = 0,02 seconden
Na 0,05 seconden zijn dan 2,5 periodes geweest.
Na 2,5 periode gaat de grafiek van sinx net door de evenwichtsstand naar beneden.
De grafiek (en dus de spanning) daalt dus.

(plotten en aflezen met de GR mag ook)
   
19. bepaal de eerste maxima van de beide grafieken met de GR.
dat geeft  VMAX  bij  t = 0,005 en  V*MAX  bij t = 0,004577
Dus het maximum van V* is  0,0004 sec. eerder.