Nieuwe pagina 1

HAVO WB12, 2009 - I

Vetpercentage.

Al heel lang onderzoekt men het verband tussen enerzijds het gewicht en de lengte van volwassen mensen en anderzijds hun gezondheid. Hierbij gebruikt men vaak de Body Mass Index (BMI).
De BMI wordt als volgt berekend:
BMI = ^G/_L² met 1,50 ≤ L ≤ 2,20
Hierin is G het gewicht in kilogram en L de lengte in meter. In de volgende tabel zie je hoe bij volwassenen een diagnose wordt gesteld op basis van de BMI.

BMI	diagnose
minder dan 18,5	ondergewicht
vanaf 18,5 tot 25,0	normaal gewicht
vanaf 25,0 tot 30,0	matig overgewicht
vanaf 30,0	ernstig overgewicht

Iemand heeft een lengte van 1,90 m en een gewicht van 100 kg. Zijn BMI is 27,7 en daarom wordt de diagnose ‘matig overgewicht’ gesteld.

3p.

Bereken hoeveel het gewicht van deze persoon minimaal moet dalen om volgens de BMI een ‘normaal gewicht’ te krijgen. Rond je antwoord af op hele kilogrammen.

Voedingsdeskundigen zijn geïnteresseerd in het ideale gewicht van een persoon. Dit ideale gewicht kan op verschillende manieren worden berekend. Als met de BMI-formule wordt gewerkt, gaat men ervan uit dat een BMI van 22,0 overeenkomt met het ideale gewicht.

Een andere manier om het ideale gewicht te bepalen, is door gebruik te maken van de volgende vuistregel: Het ideale gewicht is 100 keer de lengte in meter verminderd met 110.

Bij een bepaalde lengte is het ideale gewicht volgens beide manieren van berekenen gelijk.

6p.

Bereken op algebraïsche wijze bij welke lengte dit het geval is. Rond daarna je antwoord af op hele centimeters.

Een hoog vetpercentage levert meer gezondheidsrisico’s op dan een laag vetpercentage. Het vetpercentage is het gewicht van het vetweefsel gedeeld door het totale lichaamsgewicht, maal 100. Om het vetpercentage te bepalen gebruikt men de zogenaamde formule van Siri, die geldt onder voorwaarden waaraan voor de meeste mensen voldaan is. Deze formule luidt als volgt:

VP = (¹/_d • 4,95 - 4,50) • 100 met 0,90 ≤ d ≤ 1,10

Hierin is VP het vetpercentage en d de dichtheid van het lichaam in g/cm³
Voor mannen van 20 tot 30 jaar wordt een vetpercentage van 12% als streefwaarde aangehouden

3p.

Bereken met behulp van de gegeven formule de dichtheid van het lichaam die hoort bij een vetpercentage van 12%. Rond je antwoord af op twee decimalen.

Veel mensen hebben een vetpercentage tussen 0 en 45 procent. De dichtheden die daarbij horen, liggen tussen 1,00 en 1,10. In de volgende figuur is het gedeelte van de grafiek van VP getekend voor 1,00 ≤ d ≤ 1,10. In deze figuur is te zien dat de grafiek van VP goed benaderd kan worden door een rechte lijn. Deze rechte lijn door de punten (1,00; 45) en (1,10; 0) is gestippeld getekend.

De vergelijking van deze rechte lijn kan worden geschreven als VL = p • d + q . Hierin is VL het vetpercentage volgens de lineaire benadering en d de dichtheid van het lichaam in g/cm³.

4p.

Bereken op algebraïsche wijze de waarden van p en q.

Bedankt voor je inzet!

Een uitzendbureau heeft voor haar werknemers een aantal cadeaus in een fraaie doos verpakt. Zie de foto.



De bodem ABCD en het deksel EFGH van de doos zijn vierkanten van 18,0 cm bij 18,0 cm. De acht opstaande zijvlakken zijn gelijkbenige driehoeken met twee zijden van 20,0 cm en één zijde van 18,0 cm. Met de stelling van Pythagoras is te berekenen dat de hoogte van een gelijkbenige driehoek met basis 18 en opstaande zijden 20 exact √319 is. Het uitzendbureau had ook een kubusvormige doos met zijden van 18,0 cm kunnen nemen. Reden om voor de doos van de foto te kiezen zou de mooiere vorm kunnen zijn. Mogelijk is een andere reden dat voor de gekozen doos minder karton nodig is, terwijl de inhoud groter is.

5p.	5.	Bereken hoeveel procent de totale oppervlakte van de doos op de foto kleiner is dan die van een kubusvormige doos met zijden van 18,0 cm.

Als we de doos verticaal doorsnijden door de diagonaal AC van het grondvlak, krijgen we de doorsnede die is getekend in de volgende figuur.



In deze doorsnede zijn de punten P en Q de middens van EH en FG. Met behulp van deze doorsnede kun je aantonen dat de hoogte van de doos ongeveer gelijk is aan 17,5 cm.

3p.	6.	Toon dit door berekening aan.

Op de foto is te zien dat de hoek die het vlak AEH met het grondvlak maakt kleiner is dan 90°. Deze hoek is ook te zien in de vorige figuur.

3p.	7.	Bereken de hoek tussen het vlak AEH en het grondvlak. Geef je antwoord in gehele graden.

In de figuur hieronder is een bovenaanzicht van de doos getekend.



De doorsnede op een derde van de hoogte van de doos gerekend vanaf de bodem ABCD is een achthoek.

4p.	8.	Teken deze doorsnede in de figuur hierboven..

Iemand berekent de inhoud van de doos als volgt: Hij gaat uit van een recht prisma met de achthoek AEBFCGDH van het bovenaanzicht van de figuur hier direct boven als grondvlak. De hoogte van het prisma is 17,5 cm. De doosvorm wordt bereikt door van dit prisma 8 keer een piramide af te halen.

6p.	9.	Bereken op deze manier de inhoud van de doos.

Wortelfunctie.

De functie f is gegeven door f (x) = √(4x − 5). De lijn k heeft als vergelijking y = 4x + b. Voor een bepaalde waarde van b raakt lijn k de grafiek van f. In de volgende figuur zijn deze lijn k en de grafiek van f te zien.



8p	10.	Bereken met behulp van differentiëren deze waarde van b

Diergemeenschappen in Afrika

Er is veel onderzoek gedaan naar de samenstelling van grazende diergemeenschappen in de natuurparken van Afrika. Dergelijke grazende diergemeenschappen worden gilden genoemd. Onderzoek heeft zich onder andere gericht op de gewichten van de diersoorten binnen een gilde. Bij dit onderzoek heeft men de soorten binnen een gilde op volgorde gezet van gemiddeld lichaamsgewicht. De lichtste soort heeft men rangnummer 0 gegeven. De lichtste soort noemen we daarom soort 0, de op een na lichtste soort noemen we soort 1, enzovoort. Je kunt nu de gewichten van elkaar opvolgende soorten vergelijken. Dit vergelijken gebeurt via de zogeheten gewichtsratio. Dat is de verhouding tussen het (gemiddelde) gewicht van volwassen dieren van twee elkaar opvolgende soorten. Als bijvoorbeeld soort 7 een gewicht heeft dat 1,8 keer zo groot is als dat van soort 6, dan is de gewichtsratio tussen deze twee soorten gelijk aan 1,8. Uit dergelijk onderzoek is nu gebleken:

Binnen elk gilde is de gewichtsratio tussen twee elkaar opvolgende diersoorten vrijwel constant. Dit betekent dat in het gilde van het voorbeeld hierboven geldt: soort 1 is 1,8 keer zo zwaar als soort 0, soort 2 is 1,8 keer zo zwaar als soort 1, enzovoort.

Neem aan dat in een ander gilde de gewichtsratio gelijk is aan 1,35 en dat soort 3 een gewicht heeft van 7,8 kg.

11.

Bereken het gewicht van de lichtste soort in dit gilde.

Niet alleen binnen een bepaald natuurgebied is er sprake is van een vrijwel constante gewichtsratio, maar dit geldt ook als men alle grazende diersoorten in geheel Afrika als één diergemeenschap beschouwt. Omdat er in totaal dan meer diersoorten zijn, zal de gewichtsratio voor heel Afrika kleiner zijn dan die voor de afzonderlijke gilden. In de volgende tabel staan de gewichten van drie diersoorten met daarbij hun rangnummer in de gewichtsvolgorde van soorten in heel Afrika. Bij de volgende vragen wordt ervan uitgegaan dat de gewichtsratio tussen alle elkaar opvolgende soorten constant is.

soort	rangnummer in gewichtsvolgorde	gewicht (kg)
hartebeest	71	164
steppezebra	81	286
Kaapse buffel	92	631

3p.

12.

Bereken de gewichtsratio voor heel Afrika met behulp van de gegevens in de tabel voor hartebeest en Kaapse buffel in twee decimalen nauwkeurig.

Voor diersoorten zwaarder dan de Kaapse buffel blijkt de gewichtsratio niet meer constant te zijn. Onderzoekers denken dat dit komt doordat lang geleden veel zware soorten zijn uitgestorven. De zwaarste grazersoort is momenteel de olifant met rangnummer 95 en een gewicht van 3550 kg.

Neem aan dat vroeger de gewichtsratio in Afrika voor alle elkaar opvolgende soorten constant gelijk aan 1,06 is geweest.

4p.

13.

Onderzoek hoeveel soorten in de rangschikking tussen de Kaapse buffel en de olifant sindsdien zijn uitgestorven.

Voor dieren in een natuurpark in Oost-Afrika, het Serengeti park, geldt het volgende verband:
logW = 0,075N + 0,4 .
Hierin is W het lichaamsgewicht van een soort in kg en N is het rangnummer van die soort.
Deze formule kan met behulp van algebra worden omgewerkt tot W = b • g^N .

4p.

14.

Bereken op deze wijze de waarden van b en g. Rond je antwoorden af op één decimaal.

Een periodieke functie.

Gegeven is een periodieke functie g. Het functievoorschrift van g is van de vorm g(x) = asin(b(x + c)) + d . De maximale waarde van g(x) is 28. Deze wordt onder andere bereikt als x = ¹/₃π . De minimale waarde van g(x) is 16. De periode van de functie g is ¹/₂π.

6p.	15.	Bereken exacte waarden van a, b, c en d.

UITWERKING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	Dan moet de BMI 25 worden. 25 = ^G/_1,902 ⇒ G = 25 • 1,90² = 90,25 het gewicht moet dus minimaal 100 - 90,25 = 9,75 kg dalen.

2.	Volgens de BMI moet gelden 22,0 = ^G/_L2 ofwel G = 22,0 • L² Volgens de vuistregel geldt G = 100L - 110 Die zijn gelijk als 100L - 110 = 22,0 • L² ⇒ 22,0L² - 100L + 110 = 0 Gebruik de ABC formule met a = 22 en b = -100 en c = 110 Dat geeft L = 2,67 of L = 1,87 2,67 is een beetje lang; de juiste oplossing zal zijn L = 1,87 m.

3.	(¹/_d • 4,95 - 4,50) • 100 = 12 ⇒ ¹/_d • 4,95 - 4,50 = 0,12 ⇒ ¹/_d • 4,95 = 4,62 ⇒ ¹/_d = ^4,62/_4,95 = ¹⁴/₁₅ ⇒ d = ¹/_(14/15) = ¹⁵/₁₄ = 1,07 g/cm³

4.	Een rechte lijn door de punten (1, 45) en (1.1, 0) Helling is ^Δ^y/_Δ_x = ^{(0 - 45)}/_{(1.1 - 1)} = ^-45/_0,1 = -450 De vergelijking wordt dan VP = -450 • W + b vul bijv. punt (1,45) in: 45 = -450 • 1 + b ⇒ b = 495 Dus VW = -450W + 495 ofwel p = -450 en q = 495

5.	oppervlakte gelijkbenige driehoek is 0,5 • 18 • √318 = 9√319. Daar zijn er 8 van dus totale oppervlakte 8 • 9√319 = 72√319 Boven- en onderkant zijn vierkanten met oppervlakte 18 • 18 = 324 Totale oppervlakte is dus 648 + 72√319 = 1933,96 Oppervlakte kubus is 6 • 18 • 18 = 1944 dus het verschil is 1944 - 1933,96 = 10,04 Dat is ^10,04/₁₉₄₄ • 100% = 0,52% minder

6.	AC is de diagonaal van een vierkant van 18 bij 18, dus AC² = 18² + 18² = 648 ⇒ AC = √648 PQ = 18. AR = 0,5(AC - PQ) = 0,5(√648 - 18) = 3,728 PR² = AP² - AR² = 319 - 3,728² = 305,10 PR = √305,10 = 17,47 en dat is ongeveer gelijk aan 17,5

7.	Het is hoek RAP (figuur bij vraag 11) sin(∠RAP) = ^PR/_AP = ^17,5/_Ö319 = 0,9798 ∠RAP = 78º (denk erom, vooral na vraag 7,8,9, dat je je GR weer op graden zet ipv radialen)

8.	Zie hiernaast; de rode doorsnede. De getekende punten van de rode doorsnede liggen steeds op ¹/₃ deel van de zijden waar ze op liggen.

9.	Hiernaast staan twee vierkanten van 18 bij 18 getekend. GE = √(18² + 18² ) = √648. GS = 0,5(Ö648 - 18) DC = 18 Dus de oppervlakte van driehoek GDC is 0,5 • 18 • 0,5(√648 - 18) Dat is ongeveer 33,551 Het bodemvlak van het prisma bestaat uit 4 zulke driehoeken plus een vierkant van 18 bij 18. De oppervlakte van de bodem is dan 4 • 33,551 + 18 • 18 = 458,21 De inhoud van het prisma is dan 17,5 • 458,21 = 8018,59
	Een piramide die eraf moet heeft grondvlak GDC en hoogte 17,5 dus inhoud ¹/₃ • 33,551 • 17,5 Daar zijn er 8 van dus er moet in totaal 8 • ¹/₃ • 33,551 • 17,5 = 1565,71 van af. Dan blijft over 8018,59 - 1565,71 = 6452,88 cm³

10.	Als de lijn de grafiek raakt dan zijn in het raakpunt de hellingen van de lijn en de grafiek gelijk. De helling van de lijn is 4, dus de helling van de grafiek moet ook 4 zijn. Dat betekent dat in het raakpunt geldt f ' = 4 f(x) = (4x- 5)^0,5 dus (met de kettingregel): f '(x) = 0,5 • (4x - 5)^-0,5 • 4 = 2 • (4x - 5)^-0,5 2 • (4x - 5)^-0,5 = 4 ⇒ (4x - 5)^-0,5 = 2 ⇒ (4x - 5)^0,5 = ¹/₂ ⇒ 4x - 5 = ¹/₄ ⇒ 4x = 5¹/₄ ⇒ x = ²¹/₁₆ x = ²¹/₁₆ geeft voor het raakpunt y = √(4 • ²¹/₁₆ - 5) = ¹/₂. De raaklijn moet dus door het punt (²¹/₁₆, ¹/₂) gaan Invullen: ¹/₂ = 4 • ²¹/₁₆ + b ⇒ b = -4³/₄.

11.	Stel dat de lichtste soort gewicht G heeft. Dan geldt G • 1,35 • 1,35 • 1,35 = 7,8 Dus G = ^7,8 /_{(1,35 • 1,35 • 1,35)} = 3,2 kg.

12.	Als de vermenigvuldigfactor gelijk is aan g, dan geldt tussen het hartebeest en de Kaapse buffel: 164 • g²¹ = 631 (er zitten immers 21 diersoorten verschil in het nummer) dus g²¹ = ⁶³¹/₁₆₄ = 3,8476 dus g = 3,8476^1/21 = 1,07

13.	631 • 1,06^x = 3550 ⇒ 1,06^x = ³⁵⁵⁰/₆₃₁ = 5,626 ⇒ x = ^1,06log 5,626 = ^LOG5,626/_LOG1,06 = 29,6 dus ongeveer 30. tussen 95 (olifant) en 92 (buffel) zitten nu nog 3 stappen. Dat waren er 30, dus er zijn 27 uitgestorven.

14.	logW = 0,075N + 0,4 ⇒ W = 10^{(0,075N + 0,4)} = 10^0,075N • 10^0,4 = (10^0,075)^N • 2,51 = 1,19^N • 2,51 Dus b = 2,5 en g = 1,2

15.	Als de maximale waarde 28 is, en de minimale 16, dan ligt de evenwichtlijn daar midden tussenin, dus bij (28 + 16)/2 = 22 dus d = 22 De amplitude is de afstand van de evenwichtlijn tot de top, en die is 28 - 22 = 6 dus a = 6 als de periode 0,5π is, dan is b = ²^π/_0,2_π dus b = 4. Als de periode ¹/₂π is en de top ligt bij x = ¹/₃π dan ligt het beginpunt daar ¹/₄ periode vóór, dus bij x = ¹/₃π - ¹/₈π = ⁵/₂₄π dus c = -⁵/₂₄π.

16.	punt Q: f(0) = ln(0 + e) = lne = 1 dus Q = (0,1) punt P: f(x) = 0 dus ln(x + e) = 0 ⇒ x + e = 1 ⇒ x = 1 - e dus P = (1-e, 0) De helling van PQ is dan gelijk aan ^Δ^y/_Δ_x= ^{(1 - 0)}/_{(0 - (1 - e))} = ¹/_{(e - 1)} = a Het beginpunt is b = 1

17.	f '(x) = ²/_e geeft ¹/_{(x + e)} = ²/_e dus 2(x + e) = e ⇒ 2x + 2e = e ⇒ 2x = -e ⇒ x = -¹/₂e

18.

	De zeshoek bestaat uit 6 gelijkzijdige driehoeken. Voorde hoogte van zo'n driehoek geldt h² + 2,5² = 5² ⇒ h² = 18,75 ⇒ h = √18,75 De oppervlakte is dan 0,5 • 5 • √18,75 = 10,825 De oppervlakte van een zeshoek is dan 6 • 10,825 = 64,952 De vijfhoek bestaat uit vijf gelijkbenige driehoeken met hoeken van 72º en 54º en 54º. Voor de hoogte van zo'n driehoek geldt: tan54º = ^h/_2,5 ⇒ h = 2,5tan54º De oppervlakte is dan 0,5 • 5 • 2,5 • tan54º = 8,602 De oppervlakte van een vijfhoek,is dan 5 • 8,602 = 43,012 12 vijfhoeken en 20 zeshoeken hebben dan oppervlakte 12 • 43,012 + 20 • 64,952 = 1815,18

19.	De oppervlakte van de bol is 1815 4πr² = 1815 r² = ¹⁸¹⁵/_4p = 144,433 r = √144,433 = 12,018 De diameter is dan 2 • 12,018 = 24 cm.

Natuurlijke logaritme.

De functie f is gegeven door f(x) = ln(x + e). De grafiek van f snijdt de x-as in punt P en de y-as in punt Q. Zie onderstaande figuur.



De lijn y = ax + b gaat door de punten P en Q.

5p.	16.	Bereken de waarden van a en b exact.

Punt R ligt op de grafiek van f. De helling in punt R is gelijk aan ²/_e

4p.	17.	Bereken de x-coördinaat van punt R exact.

Voetbal.

Een afgeknotte icosaëder is een ruimtelijke figuur die bestaat uit 12 regelmatige vijfhoeken en 20 regelmatige zeshoeken. Zie onderstaande figuur. Alle ribben van een afgeknotte icosaëder zijn even lang.



Van een regelmatige vijfhoek zijn alle zijden even lang en alle hoeken zijn 108°. Ook van een regelmatige zeshoek zijn alle zijden even lang. Alle hoeken zijn 120°. De totale oppervlakte van een afgeknotte icosaëder met ribbe 5 is ongeveer 1815.

6p.	`18.	Toon dit aan.



Een bepaald type voetbal wordt gemaakt van 12 regelmatige vijfhoeken en 20 regelmatige zeshoeken met zijden van 5 cm. Als deze voetbal wordt opgepompt, benadert hij de perfecte bolvorm. Zie de foto. Bij het oppompen gaan de platte vlakken enigszins bol staan. We gaan ervan uit dat de oppervlaktes van de bolvormige voetbal en van de afgeknotte icosaëder met ribbe 5 cm, gelijk zijn.

4p.	19.	Bereken de diameter van de opgepompte voetbal in centimeter nauwkeurig.