HAVO WB, 2010 - II
 

 

Verzet en snelheid
     
Een racefiets heeft een set voortandwielen en een set achtertandwielen. De racefiets op de foto heeft drie voortandwielen, met 36, 46 en 52 tanden. De acht achtertandwielen hebben 11, 14, 17, 20, 22, 24, 26 en 28 tanden. Door te schakelen kan een wielrenner bepalen over welke tandwielen hij de ketting wil laten lopen. Dit heet de keuze van een bepaald verzet.
     

     
Een wielrenner kiest er bijvoorbeeld voor om de ketting over het voortandwiel met 52 tanden en over het achtertandwiel met 20 tanden te laten lopen. Dit betekent dat als hij de pedalen één keer rond laat gaan, het achterwiel 52/20 = 2,6 keer rondgaat. Bij een keuze van de combinatie 36 : 11 gaat het achterwiel (afgerond) 3,3 keer rond. Hoe vaker het achterwiel ronddraait bij één rondgang van de pedalen, hoe zwaarder het verzet is. De combinatie 36 : 11 levert dus een zwaarder verzet op dan de combinatie 52 : 20.

In de tabel hieronder staat een overzicht van alle mogelijke combinaties van een voor- en een achtertandwiel.
     
voor-
tand-
wiel		   achtertandwiel
  11 14 17 20 22 24 26 28
36

´

              
46                
52                
     
2p. 1. Geef in deze tabel met kruisjes alle mogelijke combinaties aan van een voor- en een achtertandwiel die een zwaarder verzet opleveren dan de combinatie 52 : 20.
     
In de eindsprint van een wielerwedstrijd haalt een wielrenner een snelheid van 68 km/uur. Hij gebruikt daarbij de combinatie 52 : 11. De diameter van zijn achterwiel inclusief de opgepompte band is 67 cm.
     
5p. 2. Bereken hoeveel keer per minuut de wielrenner de pedalen rond moet trappen om deze snelheid te bereiken.
   

 
Fietsen met een constante snelheid is in de praktijk niet mogelijk omdat de kracht die op de pedalen wordt uitgeoefend, afhangt van de stand van de crank. De grootte van de hoek tussen de crank en de verticale richting in radialen noemen we α . Zie de figuur hiernaast.
In de figuur hieronder is de snelheid v van een wielrenner in km/uur uitgezet tegen α .
     

     
De grafiek in deze figuur is te beschrijven met een formule van de vorm   v = p + qsin(r(α − s)).
     
4p. 3. Bepaal mogelijke waarden van p, q, r en s.
     
     
Hersengewicht.
       
Niet alle dieren hebben even zware hersenen. Zwaardere dieren hebben meestal zwaardere
hersenen. Het gemiddelde lichaamsgewicht van volwassen dieren van een soort in kg, noemen we G.
Het gemiddelde hersengewicht van volwassen dieren van die soort in kg, noemen we H. De grafiek hieronder geeft het verband weer tussen de logaritme van G en de logaritme van H.
In deze figuur zijn meetpunten te zien die horen bij een groot aantal soorten zoogdieren. De meetpunten liggen min of meer op een rechte lijn.

Deze rechte lijn is ook in deze figuur 2 getekend.

       

       
Het gemiddelde lichaamsgewicht van volwassen katten is 5 kg.
       
4p. 4. Bepaal met behulp van de rechte lijn in de figuur hierboven het gemiddelde hersengewicht van volwassen katten.
     

 
Een formule die bij de rechte lijn hoort is log H = 0,767• logG − 2,097 .

Er zijn diersoorten waarvan de volwassen dieren een gemiddeld hersengewicht hebben dat 1% is van hun gemiddelde lichaamsgewicht.
       
3p. 5. Bereken met behulp van de gegeven formule dit gemiddelde lichaamsgewicht.
     

 
De bovenstaande formule is ook te schrijven als H = a • Gb
       
5p. 6. Bereken de waarden van a en b. Geef je antwoorden in drie decimalen nauwkeurig.
     

 
Klimhal
       
In Enschede staat een klimhal. Zie de foto.
De klimhal heeft de vorm van een balk met een vierkant grondvlak waarvan aan de bovenkant twee piramides zijn afgehaald. Aan de onderkant, bij de ingang, ontbreekt een prisma.
In de figuur rechtsonder is een model van de klimhal (zonder de ramen) in de balk getekend. EN en FN zijn hulplijnen, met N het midden van GH.
       

         
De volgende gegevens zijn bekend:
− AM = JK = IL = BE = DF = 5,0 meter;
− AB = BC = CD = AD =15,0 meter;
− CD = AD =15,0 meter;
− AH = CG =16,5 meter;
− AJ = AI = KM = LM = 4,0 meter.
         
6p. 7. Teken op schaal 1 : 250 het aanzicht in kijkrichting BD van het model van de klimhal. Zet alle letters op de juiste plaats. Licht je werkwijze met berekeningen toe.
         
5p. 8. Bereken met behulp van de gegevens over het model de inhoud van de klimhal.
     

 
De klimvereniging adverteert met een klimoppervlakte van 800 m2. Aan de binnenkant van de klimhal is een groot deel van de verticale en schuine vlakken ingericht als klimwand. Het vlak dat in het model de hoekpunten I, J, K en L heeft, wordt buiten beschouwing gelaten. Verder is gegeven dat  EN = FN ≈15,6 meter.
         
5p. 9. Bereken met behulp van de gegevens over het model hoeveel procent van alle schuine en verticale vlakken, behalve vlak IJKL , is ingericht als klimwand.
     

 
Productfuncties.
       
De functie f is gegeven door f(x) = (x −1)•√x .

De functie f  heeft een minimum.
       
6p. 10. Bereken exact de waarde van x waarbij dit minimum wordt aangenomen.
     

 
De functie f  behoort tot de familie van functies fa die gegeven zijn door  fa(x) = (x - 1) • √(x - a)
       
4p. 11. Bereken op algebraïsche wijze voor welke waarde van a het punt (5, 6) op de grafiek van fa ligt.
     

 
Golfplaat.
       
Golfplaat is een bouwmateriaal dat onder andere foto gebruikt wordt als dakbedekking voor schuren en
fietsenstallingen. Als je tegen de zijkant van een golfplaat aankijkt, zie je een aaneenschakeling van gelijke cirkelbogen. Zie de figuur hieronder. Een cirkelboog is een deel van een cirkel.

   

       
In deze figuur vormen de cirkelbogen AB en BC samen één golf. De cirkel waarvan cirkelboog AB een deel is, heeft als middelpunt M.

Voor het zijaanzicht van de golfplaat die we in deze opgave bekijken, geldt het volgende:
− Het zijaanzicht bestaat uit een aaneenschakeling van 5 golven.
− Elke cirkelboog van dit zijaanzicht is 1/3 deel van een cirkel.
− De cirkels hebben een straal van 3 cm.

De totale lengte van alle cirkelbogen van het zijaanzicht van de golfplaat is ongeveer 62,8 cm.
       
3p. 12. Toon dit met een berekening aan.
       
Bij de productie van een golfplaat wordt een vlakke plaat zodanig geperst dat er een golfprofiel ontstaat. De lengte van de golfplaat die zo ontstaat, is gelijk aan de lengte van de oorspronkelijke vlakke plaat. Het materiaal rekt dus uit als de golven in de plaat geperst worden. Zie onderstaande figuur.
       

       
Als men de totale lengte van de 10 cirkelbogen (62,8 cm) vergelijkt met de lengte AK van de oorspronkelijke vlakke plaat, dan kan men uitrekenen hoeveel het materiaal is uitgerekt.
       
5p. 13. Bereken hoeveel procent het materiaal is uitgerekt.
     

 
De golfplaat wordt op een balk bevestigd. Zie onderstaande figuur. In deze figuur is de balk grijs gemaakt. De afmetingen van de dwarsdoorsnede van de balk zijn 4 cm bij  4 cm.
       

       
De schroeven worden bij T verticaal door de golfplaat in de balk geschroefd. T is het midden van cirkelboog AB . De schroeven mogen niet aan de onderkant van de balk uitsteken.
       
5p. 14. Bereken in mm nauwkeurig de maximale lengte van de schroeven die gebruikt mogen worden.
     

 
Helling
       
       
4p. 15. Bereken met behulp van differentiëren de helling van de grafiek van f in het punt (2, 1).
     

 
Water en zwaartekracht.
       
In deze opgave gaan we ervan uit dat de foto hoeveelheid water die per tijdseenheid uit een kraan stroomt constant is en dat het water uit de kraan recht naar beneden stroomt. Zie de foto.
We kunnen de uitstroomsnelheid v1 van het water bij het verlaten van de kraan uitrekenen met behulp van de formule:  v1 = W/A1
Hierin is v1 de uitstroomsnelheid in cm/s, W is de hoeveelheid water die per tijdseenheid uit de kraan stroomt in cm3/s en A1 is de oppervlakte van de uitstroomopening van de kraan in cm2.

Het duurt precies 2 minuten voordat een emmer met een inhoud van 10 liter (= 10 000 cm3) volledig met water uit de kraan is gevuld. De cirkelvormige uitstroomopening van de kraan heeft een diameter van 1,6 cm.
     
3p. 16. Bereken de uitstroomsnelheid. Rond je antwoord af op een geheel aantal cm/s.
       
Het water onder in een waterstraal heeft een hogere snelheid dan het water dat net uit de kraanopening stroomt. Dit komt door de werking van de zwaartekracht.

Voor de stroomsnelheid van het water in een waterstraal geldt de volgende  formule:  v2 = √(v1 + 19,62 • l)
Hierin is v1 weer de uitstroomsnelheid in cm/s en v2 is de stroomsnelheid van het water in cm/s op een afstand l in cm van de kraanopening.

We zijn geïnteresseerd in de stroomsnelheid van het water op een afstand van 40 cm van de kraanopening.
Er is een bepaalde uitstroomsnelheid waarbij de stroomsnelheid op deze afstand twee maal zo groot is als de uitstroomsnelheid.
       
4p. 17. Bereken bij welke uitstroomsnelheid dit het geval is.
     

 
Op elke hoogte in de waterstraal is de hoeveelheid water die per seconde passeert gelijk. Er geldt dus:
(1)   v1 • A1 = v2 • A2
Hierin is A1 de oppervlakte van de cirkelvormige uitstroomopening van de kraan en A  is de oppervlakte van de cirkelvormige dwarsdoorsnede van de waterstraal.

De straal van de kraanopening noemen we r1 en de straal van de dwarsdoorsnede van de waterstraal noemen we r2 . Voor de oppervlakten van de kraanopening en de dwarsdoorsnede van de waterstraal geldt dan:
(2)   A1 = π • r12
(3)   A2 = π • r22

Ook geldt nog steeds de formule:
(4)   v2 = √(v1 + 19,62 • l)

Uit de bovenstaande vier formules kan voor de straal r2 de volgende formule worden afgeleid:
       
4p. 18. Leid deze formule af.
     

 
Als je de foto goed bekijkt, zie je dat de waterstraal naar beneden toe steeds smaller wordt. Dat blijkt ook uit de formules hierboven (hoe groter l, hoe kleiner r2).
Iemand wil een flesje met water vullen. De diameter van de cirkelvormige opening van het flesje is 1,6 cm. Hij vult het flesje onder een kraan waarvan de uitstroomopening een diameter van 2,0 cm heeft. Het water stroomt met een snelheid van 18 cm/s uit de kraan. Om geen water te verspillen, zal hij het flesje niet direct onder de opening van de kraan houden, maar een stuk lager.
       
3p. 19. Bereken de minimale afstand tussen de opening van de kraan en de opening van het flesje waarbij geen water verspild wordt. Rond je antwoord af op een geheel aantal centimeters.
     

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. Hier is een tabel met de verhoudingen  (voor/achter):
 
voor-
tand-
wiel		   achtertandwiel
  11 14 17 20 22 24 26 28
36 3,3 2,57 2,1 1,8 1,6 1,5 1,4 1,3
46 4,2 3,3 2,7 2,3 2,1 1,9 1,8 1,6
52 4,7 3,7 3,1 2,6 2,4 2,2 2,0 1,9
   
  Dat geeft de volgende kruisjes:
 
voor-
tand-
wiel		   achtertandwiel
  11 14 17 20 22 24 26 28
36 ´              
46 ´ ´ ´          
52 ´ ´ ´          
   
2. Als het pedaal één omwenteling maakt, dan loopt de ketting over 52 tandjes, dus ook het achterwiel loopt over 52 tandjes, dus maakt het achterwiel  52/11 omwentelingen.
De omtrek van het achterwiel is  2pr = 67p  cm.
Dus de fiets legt per pedaalomwenteling in totaal  52/11 • 67p cm af. Dat is ongeveer 995,03 cm

68 km/uur is gelijk aan  6800000 cm/60 min = 1133331/3 cm/min
Dus in één minuut moet het pedaal    113333,33/995,03 = 113,90 keer de pedalen rondtrappen.
Dus ongeveer 114 keer.
   
3. Eén vakje op de x-as is 1/16π.
Lees twee toppen van de grafiek af, bijvoorbeeld  (3/16π, 49.82)  en  (11/16π, 49,96) 
De evenwichtslijn zit daar midden tussen in, dus bij  (49.92 + 49.96)/2 = 49,89  dus  p = 49,89 
De amplitude is de afstand van de evenwichtslijn tot ene top:  49,89 - 49,82 = 0,07, dus  q = 0,07
De halve periode is  11/16π - 3/16π = 1/2π dus de hele periode is π. In de formule staat dan 2π/π = 2, dus r = 2
Als we een sinusgrafiek maken, dan ligt het beginpunt op de evenwichtslijn bij 7/16π , dus s = 7/16π
   
4. Als G = 5, dan is logG = log5 = 0,7
Lees af bij 0,7 op de horizontale as. Dat geeft op de verticale as logH = -1,6
Dan is H = 10-1,6 = 0,025 kg.
   
5. H = 0,01G geeft in de formule:  log(0,01G) = 0,767 • logG - 2,097
twee manieren:
1.  Voer in de GR in:  Y1 = log(0,01X) en Y2 = 0,767 • log(X) - 2,097
     intersect levert  X = G = 0,383

2.  algebraïsch:  log(0,01) + log(G) = 0,767 • logG - 2,097
     logG - 0,767logG = -2,097 - log0,01
     0,233logG = -0,097
     logG = -0,4163
     G = 10-0,4163 = 0,383
   
6. 10logH = 100,767•logG - 2,097
H = 100,767•logG • 10-2,097
H = (10logG)0,767 • 0,008
H = G0,767 • 0,008
Dus  a = 0,008  en  b = 0,767
   
7. Teken eerst de omtrek HGCA.
HG2 = 152 + 152 = 225 + 225 = 450  dus  HG = √450 = 21,21 meter. Op schaal is dat 8,5 cm.
HA = GC = 15 en op schaal is dat  6 cm.
BE is 5 en op schaal is dat 2 cm. Dus kun je punt E tekenen en ook EG en EH.
AJ is 4 en op schaal is dat 1,6 cm. Dus kun je J tekenen, en ook JK want K ligt even hoog als E.
Zet de letters erbij en je hebt de tekening hieronder.
   
 

   
8. De figuur is een balk waar twee piramides en een prisma afgehaald zijn.
De inhoud van de hele balk is  15 • 15 • 16,5 = 3712,5
Kies als grondvlak van een piramide vlak HEP kiest waarbij P het punt van de oorspronkelijke balk helemaal vooraan en bovenaan is. Dan is de hoogte PG = 15,0
Het grondvlak heeft dan oppervlakte  1/2 • HP • PE = 1/2 • 15 • 11,5 = 86,25
De hoogte is 15,0 dus de inhoud is 1/3 • 15 • 86,25 = 431,25
Maar er zijn twee zulke piramides. Dus samen hebben die inhoud 862,5

Het prisma heeft grondvlak AIJ en hoogte JK dus inhoud  1/2 • 4 • 4 • 5 = 40

Voor het gebouw blijft dan over  3712,5 - 862,5 - 40 =  2810 m3
   
9. Doe eerst even alsof AJIMKL er niet is.
Dan  zien de vier wanden en de twee schuine daken er als volgt uit:
   
 

   
  Een trapezium bestaat uit een rechthoek en een driehoek en heeft oppervlakte  5 • 15 + 0,5 • 15 • 11,5 = 161,25.  Daar zijn er vier van, dus de totale oppervlakte daarvan is 645

HG2 = 152 + 152 = 225 + 225=  450  dus  HG = √450
Dan heeft de driehoek oppervlakte  0,5 • √450 • 15,6 = 165,46
Daar zijn er twee van en die hebben samen oppervlakte 330,93

Door het portiek vallen  AILM en AJKM weg, en die hebben oppervlakte 2 • 4 • 5 = 40
(LJKI komt er weer bij maar die mogen we buiten beschouwing laten)

De totale oppervlakte wordt dan  645 + 330,93 - 40 = 935,93 m2
De klimwand is 800 m2 dus dat is  800/935,93 • 100% = 85,5%
   
10. f(x) = (x - 1) • x0,5
De afgeleide functie (met de productregel):
f '(x) =  1 • x0,5 + (x - 1) • 0,5 • x-0,5  
 
  Daaruit volgt  √x • √x = -0,5(x - 1)
⇒  x = -0,5x + 0,5
⇒  1,5x = 0,5
⇒  x = 1/3
   
11. Vul dat punt maar in:  6 = (5 - 1) • √(5 - a)
6 = 4√(5 - a)
1,5 = √(5 - a)
2,25 = 5 - a
a = 2,75
   
12. De omtrek van een cirkel is 2 • π • 3 = 6π, dus 1/3 deel daarvan is 2π
er 10 zulke cirkelbogen, dus samen is dat 20π en dat in ongeveer gelijk aan 62,8 cm.
   
13. MP staat loodrecht op AB.
Hoek AMB is 120º (een derde van de hele cirkel) dus  hoek AMP = 60º
sin60º = AP/AM  dus  AP = 3 • sin60º = 1,5√3
Dan is AB = 3√3
Dan is AK = 10 • 3√3 = 30√3 = 51,96 cm.

Dus is de plaat  62,8 - 51,96 = 10,84 cm uitgerekt.
Dat is  10,84/51,96 • 100% = 21%

   
14. Uit de figuur hiernaast:  MS2 + 22 = 32
Ofwel  MS2 = 9 - 4 = 5  dus  MS = √5
Omdat MT = 3 (straal van de cirkel), is  TS = 3 - √5

Van T naar de onderkant van de balk is dan  TS + 4
Dat is  (3 - √5) + 4 = 7 - √5 = 4,76 cm dus dat is maximaal  47 mm.

   
15. f(x) = (x3 - 2x2 + 1)-1
Met de kettingregel:  f '(x) = -1 • (x3 - 2x2 + 1)-2 • (3x2 - 4x)
Vul x = 2 in:  f '(2) = -1 • (8 - 8 + 1)-2 • (12 - 8) = -1 • 1 • 4 = -4
   
16. 2 minuten is 120 seconden,  voor 10000 cm3  betekent dat W = 10000/120 = 83,333 
diameter 1,6 betekent straal 0,8 dus oppervlakte  A1 = π • 0,82 = 0,64π = 2,0106
Invullen in de formule:  v1 = 83,333/2,0106 = 41 cm/sec  
   
17. v2 = 2 • v1 en  l = 40  invullen in de formule:
2v1 = √(v12 + 19,62 • 40)

twee manieren:
1.  met de GR.  Voer in Y1 = 2X en Y2 = √(X^2 + 19,62*40)
     intersect geeft dan  X = v1 = 16 cm/sec

2.  algebraïsch:  kwadrateer beide kanten van de vergelijking:
     4v12 = v12 + 784,8 ⇒  3v12 = 784,8 ⇒  v12 = 261,6 ⇒ v1 = √261,6 = 16 cm/sec     
   
18. v1 • A1 = v2 • A2
vul de formules voor A in:  v1 • πr12 = v2 • πr22
delen door π geeft:  v1 • r12 = v2 • r22   
 
  vervang nu hierin v2 door  √(v12 + 19,62l), dat geeft direct de gevraagde formule.
   
19. r2 = 0,8  en  v1 = 18 en r1 = 1,0 invullen in de vorige vergelijking geeft:
 
  twee manieren:

1.  met de GR.  Vul in  Y1 = 0,82  en  Y2 = 18 • 1,02 / √(18^2 + 19,62 * X)
     intersect levert  X = l = 23,8 cm.  Dus de minimale afstand is 24 cm.

2.  algebraïsch:
     0,82 • √(182 + 19,62l) = 18 • 1,02
       0,64 • √(182 + 19,62l) = 18
     √(324 + 19,62l) = 28,125
     324 + 19,62l = 791,0156
     19,62l = 467,0156
      l = 23,8  dus de minimale afstand is ongeveer 24 cm.