HAVO WB, 2011 - II

 

Tonregel van Kepler
       
In het verleden gebruikte men vaak een ton voor het opslaan en vervoeren van goederen. Tonnen worden ook nu nog gebruikt voor bijvoorbeeld de opslag van wijn. Zie de foto.
Voor handelaren was het belangrijk om de inhoud van de ton te kunnen bepalen. De astronoom en wiskundige Kepler (1571 - 1613) vond een manier om de inhoud van een ton te benaderen. De tonregel van Kepler luidt:

I = 1/6h • (G + 4M + B)

In deze formule is:

- I
- h
- G
- M

- B		 de inhoud van de ton;
de hoogte van de ton;
de oppervlakte van het grondvlak;
de oppervlakte van de doorsnede op halve hoogte, evenwijdig aan figuur het grondvlak en het bovenvlak;
de oppervlakte van het bovenvlak.
zie de figuur.

Van de ton op de foto is zowel het grondvlak als het bovenvlak een cirkel met diameter 58 cm. De doorsnede op halve hoogte is een cirkel met omtrek 223 cm. De hoogte van deze ton is 93 cm.
     
6p. 1. Bereken de inhoud van deze ton met de tonregel van Kepler. Rond je antwoord af op een geheel aantal liters.
     

 
De tonregel van Kepler geldt niet alleen voor tonnen. Ook voor heel andere soorten lichamen geeft de tonregel een goede benadering van de inhoud. De tonregel van Kepler geeft voor een aantal lichamen zelfs exact de juiste inhoud, bijvoorbeeld voor een kegel, een bol en een piramide.

Een piramide met hoogte 9 heeft als grondvlak een vierkant met zijde 10.
       
4p. 2. Toon aan dat met de tonregel van Kepler voor deze piramide exact de juiste inhoud wordt berekend.
     

 

 

Inkomensverdeling.
       
Niet iedereen in een land heeft een even hoog inkomen. Om inzicht te krijgen inde verdeling van de inkomens in een land worden lorenzcurves gebruikt.
Bij een lorenzcurve wordt de bevolking gerangschikt van lage inkomens naar hoge inkomens.
In de figuur staat een voorbeeld van de lorenzcurve van een land. Deze curve is de grafiek van I als functie van B. Hierin is I het percentage van het totale inkomen van dit land en B het percentage van de bevolking, waarbij de bevolking van lage inkomens naar hoge inkomens is
gerangschikt

Uit de figuur valt bijvoorbeeld af te lezen dat de minst verdienende 30% van de bevolking van dit land tezamen bijna 10% van het totale inkomen van dit land heeft.

De formule die bij de lorenzcurve in de figuur hoort, is I = 0, 25B + 0,000075B3
waarbij 0 ≤ I ≤ 100 en 0 ≤ B ≤ 100 .

Als in dit land iedereen een even hoog inkomen zou hebben, dan zou de lorenzcurve het lijnstuk zijn met beginpunt (0, 0) en eindpunt (100, 100). Het punt op de lorenzcurve waar de raaklijn aan de curve evenwijdig is aan het lijnstuk met beginpunt (0, 0) en eindpunt (100, 100), is de grens tussen een bovengemiddeld en een benedengemiddeld inkomen.
       
5p. 3. Bereken met behulp van differentiëren hoeveel procent van de bevolking van dit land een bovengemiddeld inkomen heeft.
     

 
In het algemeen is de formule die bij een lorenzcurve hoort van de vorm I = a • B +1001− p •(1− a) • Bp .
Hierbij is 0 ≤ a ≤ 1 en p ≥ 1.

De grafiek bij deze formule gaat voor alle waarden van a en p door de punten (0, 0)  en (100, 100).
       
4p. 4. Toon dit aan
     

 
Kies p = 3 . Bij deze keuze is er een waarde van a waarvoor de formule een lorenzcurve geeft van een land waarin de minst verdienende 50% van de bevolking tezamen 17% van het totale inkomen van het land heeft.
       
3p. 5. Bereken deze waarde van a.
     

 

 

Mosselen.
       
Driehoeksmosselen (zie de foto) kunnen een bijdrage foto leveren aan de vermindering van de hoeveelheid algen in het water. Zij ‘filteren’ het water. De hoeveelheid gefilterd water in ml/uur noemen we de filtercapaciteit van een mossel. Er bestaat een verband tussen de filtercapaciteit van een driehoeksmossel en zijn
schelplengte. Hiervoor geldt bij benadering de volgende formule:

       
Hierin is C de filtercapaciteit in ml/uur en L is de schelplengte in mm.

Er wordt beweerd dat een driehoeksmossel van 29 mm lang per dag (24 uur) meer dan 1 liter water kan filteren.
       
3p. 6. Onderzoek of deze bewering overeenstemt met de gegeven formule
     

 
In de praktijk blijkt dat de filtercapaciteit van een driehoeksmossel van 29 mm nauwelijks toeneemt als deze driehoeksmossel verder groeit. Dit is in overeenstemming met de formule.
       
3p. 7. Leg uit hoe uit de formule volgt dat de grafiek die bij deze formule hoort een horizontale asymptoot heeft.
     

 
Een mossel bestaat voor een deel uit schelp en voor een deel uit vlees. Er bestaat een verband tussen de schelplengte L (in mm) en het gewicht van het vlees W (in grammen) van mosselen. Elk jaar wordt er onderzoek gedaan naar het verband tussen de schelplengte en het gewicht van het vlees van de gewone mossel in de Waddenzee. Hiervoor worden van een groot aantal van deze mosselen de schelplengte en het gewicht van het vlees gemeten. De resultaten voor het jaar 2005 zijn in de figuur weergegeven. In de figuur is ook een lijn te zien die een benadering geeft van het verband tussen logW en log L .
       

       
Deze lijn kan gebruikt worden om het gewicht van het vlees van een gewone mossel te schatten als je de schelplengte van die mossel hebt gemeten.
       
4p. 8. Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage het gewicht van het vlees van gewone mosselen met een schelplengte van 65 mm. Geef je antwoord in grammen op één decimaal nauwkeurig.
     

 
Voor de lijn in de figuur geldt de volgende formule: logW = −5,5 + 3,1• log L
       
4p. 9. Werk deze formule om tot een formule van de vorm W = a • Lb .
     

 

 

Vuilnisbak
       
Op de foto is een metalen vuilnisbak te zien. De stang waar de vuilnisbak aan hangt, laten we in deze opgave buiten beschouwing. In deze opgave worden de rondingen van de vuilnisbak en de dikte van het materiaal verwaarloosd. De
breedte van de vuilnisbak is 40 cm.
In figuur 1 is de vuilnisbak schematisch weergegeven. In figuur 2 is een zijaanzicht van de vuilnisbak getekend. Hierin ligt punt L recht boven punt B en punt G ligt recht boven punt C. BC en FG zijn beide horizontaal. In figuur 1 en figuur 2 is een aantal maten in cm aangegeven.
       

       
De vuilnisbak heeft de vorm van een vijfzijdig prisma.
       
4p. 10. Bereken de inhoud van de vuilnisbak.  
     

 
Aan de bovenkant van de vuilnisbak, in vlak EFLK, zit een rechthoekige opening. Om deze opening zit een rand, die in figuur 1 grijs is gemaakt. We gaan er in deze opgave van uit dat deze rand overal 4,5 cm breed is.
       
6p. 11. Teken op schaal 1 : 5 het bovenaanzicht van de vuilnisbak (met opening, zonder stang). Licht je werkwijze toe.
     

 
In de vuilnisbak zit een metalen bak die er uitgehaald kan worden om de vuilnisbak te legen. Deze metalen bak is gelijkvormig met het onderste deel van de vuilnisbak: ABCD.EFGH. De inhoud van de metalen binnenbak is 10% kleiner dan de inhoud van het deel ABCD.EFGH.
       
3p. 12. Bereken de hoogte van de binnenbak. Geef je antwoord in cm nauwkeurig.
     

 

 

Functies met een wortel.
       
Voor elke waarde van a is de functie fa gegeven door  fa(x) = x√(x + a).

Er is een waarde van a waarvoor het punt (27,108) op de grafiek van fa ligt.
       
4p. 13. Bereken exact deze waarde van a.
     

 
De functie f18 is gegeven door f18 (x) = x√(x +18) .
In de figuur zijn de grafiek van f18 en de lijn k met vergelijking y = 2x getekend.
       

       
De lijn k snijdt de grafiek van f18 in twee punten: O(0, 0) en het punt P.
       
6p. 14. Bereken exact de lengte van het lijnstuk OP.
     

 
De functie f18 heeft een minimum.
       
4p. 15. Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van x dit minimum wordt aangenomen.
     

 

 

Kruis in cirkel.
       
Gegeven is een cirkel met middelpunt M en straal 1. In deze cirkel is een kruis met vier even brede en even lange armen aangebracht. In de onderstaande figuren is dit kruis wit en zijn de vier vlakdelen die buiten het kruis en binnen de
cirkel liggen grijs gemaakt. In figuur 1 is voor de breedte van de armen 1/2 genomen en in figuur 2 is deze breedte 1.
In figuur 2 is te zien welke punten P, Q en S genoemd worden. Het punt R is het midden van PQ.
       

       
De breedte van de armen van het kruis kan variëren. Hierdoor varieert ook de plaats van de punten P en R.
Als voor de breedte van de armen van het kruis 2x genomen wordt, betekent dit dat MR = RP = x . Zie figuur 3.

Er geldt PS = 1 − x√2 .

     
3p. 16. Toon dit aan.
   

 
Als de breedte van de armen van het kruis toeneemt, komt het punt P dichter bij punt S te liggen. Er is een waarde van x waarvoor geldt PS = 2 • MP
       
3p. 17. Bereken exact deze waarde van x.
     

 
In figuur 4 is te zien welke punten U en T genoemd worden. De breedte van de armen van het kruis kan ook veranderen door hoek UMT in grootte te variëren.
De grootte van de helft van deze hoek in radialen noemen we t.

Als t verandert, dan verandert de oppervlakte A van het kruis ook. Er geldt: 

     
   A(t) = 4t + 2sin(2t) + 2cos(2t) − 2   met 0 ≤ t ≤ 1/4π
     
In onderstaande figuur is de grafiek van A geschetst.
       

 
       
De totale oppervlakte van de vier grijze delen hangt eveneens van t af.
       
4p. 18. Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de grafiek die hoort bij de totale oppervlakte van de vier grijze delen. Licht je werkwijze toe.
     

 
De helling van de grafiek van A neemt af van 8 bij t = 0 tot 0 bij  t = 1/4 π .
       
5p. 19. Onderzoek met behulp van differentiëren of de helling van de grafiek van A halverwege het interval [0, 1/4π] gehalveerd is.
     

 

 

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. Als de diameter van een cirkel 58 is, dan is de straal 29 en de oppervlakte π • 292
Als de omtrek van een cirkel 223 is, dan is 2πr = 223  dus  r = 223/2π = 35,5 
I = 1/6 • 93 • (π • 292 + 4π • 35,52 + π • 292) = 327 liter  
   
2. het grondvlak is een vierkant met zijden 10, dus G = 10 • 10 = 100
het "bovenvlak" is een punt, dus B = 0
halverwege is de doorsnede een vierkant van 5 bij 5, dus M = 5 • 5 = 25
de tonregel geeft dan  inhoud  1/6 • 9 • (100 + 4 • 25 + 0) = 300
de inhoud van een piramide is 1/3 • G • h = 1/3 • 100 • 9 = 300
dus dat klopt.
   
3. de helling van dat lijnstuk is 1, dus moet de afgeleide van de functie gelijk zijn aan 1.
I ' =  0,25 + 3 • 0,000075B2 = 1
0,000225B2 = 0,7
B2 = 33331/3
B = 57,74%  maar dat zijn de mensen met een ondergemiddeld inkomen.
Dus  100 - 57,74 = 42,26% heeft een bovengemiddeld inkomen
   
4. B = 0  geeft  I = a • 0 + 1001 - p•  (1 - a) • 0p = 0 + 0 = 0  dus dat klopt.
B = 100 geeft  I = a • 100 + 1001 - p (1 - a) • 100p
100p • 1001 - p  = 100, dus dat geeft  I = 100a + 100(1 - a) = 100a + 100 - 100a = 100 dus dat klopt ook.   
   
5. B = 50 moet I = 17 opleveren
17 = 50a + 100-2 • (1 - a) • 503
17 = 50a + 12,5(1 - a)
17 = 50a + 12,5 - 12,5a
4,5 = 37,5a
a = 4,5/37,5 = 0,12
   
6. L = 29 geeft  C = 52,7/(1 + 179 • 0,69329) = 52,7/(1 + 0,0043) = 52,47 ml/uur.
per dag is dat 24 • 52,47 = 1259 ml  en dat is inderdaad meer dan 1 liter.
   
7. Kijk wat er gebeurt als L oneindig groot wordt.
Dan wordt 0,693L bijna nul, want 0,693 is kleiner dan 1.
dan wordt 179 • 0,693L  ook bijna nul
dan wordt 1 + 179 • 0,693L  ongeveer 1.
dan wordt 52,7 gedeeld door dat getal ongeveer 52,7.
C nadert naar een constant getal als L oneindig groot wordt, dus er is een horizontale asymptoot.
   
8. Als L = 65 dan is logL = log65 = 1,81.
Aflezen uit de grafiek bij logL  = 1,81  geeft dat logW = 0,1
Dan is W = 100,1 = 1,3.
het vleesgewicht van deze mossel is afgerond 1,3 gram.
   
9. logW = -5,5 + 3,1 • logL
logW = log(10-5,5) + 3,1logL
logW = log(10-5,5 ) = log(L3,1)
logW = log(10-5,5 • L3,1)
W = 10-5,5 • L3,1 
   
10. De inhoud van een prisma is grondvlak • hoogte.
Het grondvlak van het prisma is BCGLF en de hoogte is BA = 40.
GLF is een driehoek met basis 30 en hoogte 15, dus oppervlakte 0,5 • 30 • 15 = 225
Als je BCGF omgekeerd tegen zichzelf aanlegt krijg je een rechthoek van 50 bij 58 en oppervlakte 2900
Dus de oppervlakte van BCGF is 1450
Het totale grondvlak BCGLF heeft oppervlakte 1450 + 225 = 1675
Het prisma heeft inhoud  1675 • 40 = 67000 cm3 = 67 liter.
   
11. HG is 40, dus op schaal 40/5 = 8 cm
HE = 30, dus op schaal 30/5 = 6 cm.
L zit recht boven B dus in het bovenaanzicht zit L 10 cm vanaf F. Op schaal wordt dat 10/5 = 2cm.
Daarmee kun je KL tekenen.

FL heeft lengte √(102 + 152) = 18, en dat wordt in het bovenaanzicht 2 cm.
de rand van 4,5 cm zal dan in het bovenaanzicht met dezelfde verhouding verkort worden, en wordt dan 4,5/18 • 2 = 0,5 cm.
De zijranden zijn 4,5 cm en worden in het aanzicht 4,5/5 = 0,9 cm.

   
12. de inhoud van de binnenbak is 90% van de inhoud van de buitenbak, dus dat is een vermenigvuldigingsfactor 0,9.
Omdat het om een inhoud gaat is dat gelijk aan k3
k3 = 0,9  geeft  k = 0,91/3 = 0,965
De hoogte wordt dan 0,965 • 58 = 56 cm.  
   
13. 108 = 27 • √(27 + a)
108/27 = 4 = √(27 + a)
16 = 27 + a
a = -11
   
14. voor punt P:   2x = x√(x + 18)
2 = √(x + 18)   (x = 0 geeft de oorsprong)
4 = x + 18
x = 14
y = 2 • 14 = 28  dus  P = (14, 28)
Pythagoras:  OP = √(142 + 282) = √980
   
15. f = x • (x + 18)0,5
Gebruik de productregel voor de afgeleide:
f ' = 1 • (x + 18)0,5  +  x • 0,5 • (x + 18)-0,5 = 0
 
  Vermenigvuldig alles met √(x + 18), dat geeft   x + 18 + 0,5x = 0
1,5x = -18 ⇒  x = -12
   
16. PS = MS - MP
MS = 1  (straal van de cirkel)
MP = √(x2 + x2 ) = √(2x2) = √2 • √x2 = x√2
Dus  PS = 1 - x√2
   
17. MP = x√2  (zie vraag 16)
dus moet gelden:  1 - x√2 = 2x√2
3x√2 = 1
x = 1/(3√2)       (daar kun je nog van maken 1/6√2)
   
18. Noem de oppervlakte van de grijze delen samen G,
dan geldt  G + A = cirkel = π • 12 = π
G + A = π  dan is   G = π - A

Zie de blauwe grafiek hiernaast.
De blauwe en de rode samen zijn π, dus de blauwe is de rode gespiegeld in de lijn y = 0,5π

   
19. A ' = 4 + 2cos(2t) • 2 - 2sin(2t) • 2    (die •2 komt twee keer van de kettingregel)
vul 1/8π in (GR op radialen!) :  A' = 4
De helling in halverwege inderdaad gehalveerd.