Nieuwe pagina 1

Het gewicht van een paard.

Voor mensen die paarden verzorgen, is het belangrijk om te weten hoe zwaar hun paard is. Het gewicht van een paard kan worden geschat met behulp van twee afmetingen: de borstomvang en de lengte. Zie de figuur hiernaast.

Bij een van de methoden om met behulp van deze afmetingen het gewicht te schatten, maak je gebruik van een nomogram. Zie de figuur hiernaast. Het schatten met behulp van het nomogram gaat als volgt. Na meting van de borstomvang en de lengte van een paard worden deze als twee punten op de bijbehorende verticale assen in het nomogram aangegeven. Het snijpunt van de lijn door deze twee punten met de middelste as (gewicht) geeft een schatting van het gewicht van het paard. In het nomogram zie je bijvoorbeeld dat een borstomvang van 180 cm en een lengte van 150 cm een schatting van het gewicht van het paard geeft van ongeveer 430 kg. In vraag 1 bekijk je twee paarden met een even grote borstomvang. De lengte van het ene paard is 1,5 keer zo groot als die van het andere paard.

4p.	1.	Kies een borstomvang en een lengte voor het kleinste paard en onderzoek met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage of het gewicht van het grootste paard ook 1,5 keer zo groot is als dat van het kleinste paard. Licht je antwoord toe.

Een andere methode om het gewicht van een paard te schatten aan de hand van de borstomvang en de lengte, maakt gebruik van formules. Twee van zulke formules zijn de formule van Carroll en de formule van Jones:



Hierin zijn G_C en G_J het gewicht in kg volgens respectievelijk Carroll en Jones. B is de borstomvang in cm en L is de lengte in cm.

Voor paarden van hetzelfde ras geldt dat er een vaste verhouding is tussen de borstomvang en de lengte. Een Belgisch trekpaard bijvoorbeeld is een zwaar gebouwd paard (zie foto) waarvoor deze verhouding gelijk is aan 3 : 2. Een bepaald Belgisch trekpaard heeft een lengte van 150 cm. Je kunt het gewicht van dit paard schatten met bovenstaande formules, maar ook met het nomogram. Bij dit paard komt het gewicht volgens het nomogram het best overeen met het gewicht volgens één van beide formules

5p.	2.	Welke van de twee formules is dit? Licht je antwoord toe.

De Arabische volbloed is een veel slanker paardenras. Zie de onderste foto. We gaan ervan uit dat bij dit ras de borstomvang en de lengte aan elkaar gelijk zijn. V is het verschil tussen de schattingen van het gewicht volgens de twee formules: V = G_J - G_C Bij Arabische volbloeden geldt:



3p.	3.	Toon dit aan.

3p.	4.	Onderzoek bij welke lengte van een Arabische volbloed het verschil V maximaal is. Rond je antwoord af op een geheel aantal centimeters.

Maatschepje.

Bij een bepaald wasmiddel wordt een maatschepje meegeleverd. Zie de foto. Een model van het maatschepje is in de figuur rechts getekend. Alle maten zijn in centimeters.



Er geldt: - GHJK stelt de opening van het schepje voor; - AB = 8 cm; - AC = AF = BD = BE = 5 cm; - FEJK is een rechthoek met zijden 4 en 8 cm; - CDHG is een rechthoek met zijden 4 en 5 cm; - CDEF is een vierkant met zijde 4 cm; - in DEJH en CFKG zijn de hoeken bij D, E, C en F recht.
In de figuur hieronder is een begin gemaakt met een uitslag van het model van het maatschepje op schaal 1 : 2.



5p.	7.	Maak de uitslag af en zet bij elk hoekpunt de bijbehorende letter. Licht je werkwijze toe.

Het model van het maatschepje kun je opvatten als een ruimtelijk object dat is opgebouwd uit twee lichamen: CDEF.GHJK en AB.CDEF. In de figuur hiernaast is alleen het lichaam AB.CDEF getekend. Om de inhoud van AB.CDEF te berekenen, kun je het verdelen in een prisma en twee piramides. De inhoud van AB.CDEF is ongeveer 44 cm³.

4p.	8.	Bereken de inhoud van AB.CDEF in cm³ in twee decimalen nauwkeurig.

Op vlak FEJK wil je aangeven tot welke hoogte het maatschepje gevuld moet worden om 100 cm³ waspoeder af te meten. Daarbij wordt het maatschepje zodanig gehouden dat vlak CDEF horizontaal is.

4p.	9.	Geef in de figuur hiernaast deze hoogte aan. Licht je werkwijze toe.

Luchtdruk en hoogte.

In de luchtvaart spelen hoogte en luchtdruk een belangrijke rol. De luchtdruk kan worden gemeten met een luchtdrukmeter. Uit de waarde van de gemeten luchtdruk kan de hoogte van het vliegtuig worden afgeleid. Luchtdruk wordt gemeten in millibar (mbar) en hoogte in feet (meervoud van foot, 1 foot = 30 cm). Hoe hoger je vliegt, hoe lager de luchtdruk is. Voor het verband tussen de hoogte en de luchtdruk wordt gebruik gemaakt van de volgende vuistregels:

- Op zeeniveau (hoogte 0 foot) is de luchtdruk 1013 millibar; - Tot een hoogte van 12000 feet neemt de luchtdruk af met 1 millibar per 30 feet stijging. Uit deze vuistregels is voor hoogten tot 12000 feet de volgende lineaire formule af te leiden: h = 30390 - 30p Hierin is h de hoogte in feet en p de luchtdruk in millibar.

4p.	10.	Toon aan dat de formule volgt uit de vuistregels.

Een andere manier om het verband tussen de luchtdruk p en de hoogte h te beschrijven, gaat uit van een logaritmisch verband. In de figuur is het verband tussen log p en h weergegeven. In een vliegtuig wordt een luchtdruk van 843 millibar gemeten. In de figuur kan nu de hoogte worden afgelezen.

4p.	11.	Lees deze hoogte af en bereken hoeveel deze verschilt van de hoogte die berekend kan worden met behulp van de formule: h = 30390 - 30p.

Het logaritmische verband dat in de figuur is weergegeven, kan beschreven worden met de formule h = 61500 · (3,00 - log p) . Hierin is h weer de hoogte in feet en p de luchtdruk in millibar. Bij een bepaalde luchtdruk leveren de formules h = 30390 - 30p en h = 61500 · (3,00 - log p) dezelfde hoogte op.

3p.	12	Bereken bij welke luchtdruk dit het geval is. Geef je antwoord in een geheel aantal millibar.

Een vliegtuig stijgt van 0 foot naar 1000 feet.

4p.	13	Bereken het percentage waarmee de luchtdruk tijdens deze stijging volgens de formule h = 61500 · (3,00 - log p) Rond je antwoord af op één decimaal.

Kegelkunstwerk.

Op de foto is een aantal stalen kunstwerken te zien. Eén zo’n kunstwerk bestaat uit een cirkelvormige bodemplaat met daarop een lichaam L bestaande uit twee gelijke, op elkaar gelaste kegels. De kegels hebben een tophoek van 90°. Het lichaam kan over de bodemplaat rollen. We nemen aan dat de bodemplaat een straal heeft van 100 cm.

Vanuit een bepaalde kijkrichting heeft het aanzicht van de twee kegels de vorm van een vierkant met zijde 100 cm. In de figuur hiernaast is dit aanzicht getekend. De punten B en D zijn de toppen van de kegels. Verder zijn A en C vaste punten op de rand van het grondvlak van de kegels. In de beginsituatie ligt A recht onder D en ligt C recht boven B. Afgerond op één decimaal is de straal van het grondvlak van de kegels 70,7 cm.

3p.	19.	Bereken exact de straal van het grondvlak van de kegels.

Als het lichaam L gerold wordt, draait het om de as BD. Hierbij rolt de rand van het grondvlak van de kegels precies over de rand van de bodemplaat. Punt B blijft daarbij altijd in het midden van de bodemplaat. De hoogte van punt C varieert. In de beginsituatie bevindt punt C zich in het hoogste punt. Zie de figuur. L wordt zo ver gerold dat punt C weer de maximale hoogte bereikt. Het lichaam is dan over een hoek van ongeveer 255º over de bodemplaat gedraaid.

3p.	20.	Bereken deze hoek in één decimaal nauwkeurig.

Vanuit de beginsituatie wordt L gerold. Als het lichaam 360º over de bodemplaat is gedraaid, bevindt punt C zich niet in het hoogste punt.

3p.	21.	Beredeneer of punt C zich op het moment van het passeren van de 360º omhoog of omlaag beweegt.

UITWERKING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	Als je het kleinste paard bijv. lengte 120 cm geeft, dan heeft het grootste paard lengte 120 · 1,2 = 180 cm. Kies een borstomvang, bijv. 200 cm. Dan kun je twee lijnen in het nomogram tekenen (zie hiernaast) aflezen op de middelste lijn: de gewichten zijn ongeveer 625 kg en 450 kg. 450 · 1,5 = 675 dus dat is niet 1,5 keer zo groot.

2.	x : 150 = 3 : 2 dan is x = borstomvang = 150 * ³/₂ = 225 cm Invullen in beide formules: G_C = ^{(225² · 150)}/₁₁₉₀₀ = 638 kg G_J= (225^1,78 · 150^0,97) / 3000 = 662 kg. Het nomogram (zie hiernaast) geeft ongeveer 700 kg, dus dat komt het dichtst bij de formule van Jones.

3.	B = L dus kun je de B's in de formules vervangen door L:


4.	voer in Y1 de formule voor V in. gebruik calc - maximum. Dat geeft L ≈ 175 cm.

5.	de raaklijn heeft de vorm y = ax + b a = f ' = 2x - 2 · 12x^-2-1 = 2x - 24x^-3vul x = 2 in, dan geeft dat a = 2·2 - 24·2^-3 = 1. de raaklijn is dan de lijn y = x + b vul nu het punt (2, 7) in: 7 = 2 + b dus b = 5 de raaklijn is de lijn y = x + 5

6.	x_A = 1 geeft y_A = 1² + 12 • 1^-2= 1 + 12 = 13 B ligt op dezelfde hoogte, dus y_B = 13 dan geldt voor B: 13 = x² + 12x^-2 voer in de GR in: Y1 = X^2 + 12X^(-2) en Y2 = 13 gebruik calc - intersect. Dat geeft x_B ≈ 3,46

7.	zie hiernaast. punt A is gevonden door met middelpunten C en F twee cirkels te tekenen met straal 5.

8.	LM = CD = 4 dus zijn AL + MB samen 8 - 4 = 4, dus is elk 2. in driehoek EMB: 5² = EM² + 2² dus EM² = 25 - 4 = 21 dus EM = √21. in driehoek MED: teken een hoogtelijn MS van M naar het midden S van DE. Dan geldt: EM² = 2² + MS² ⇒ 21 = 4 + MS² ⇒ MS² = 17 ⇒ MS = √17 De oppervlakte van driehoek MDE is dan 0,5 • 4 • √17 = 2√17 prisma heeft inhoud G • h = 2√17 • 4 = 8√17 een piramide heeft grondvlak MDE en hoogte DE, dus inhoud ¹/₃• G • h = ¹/₃ • 2√17 • 2 De totale inhoud is dan 8√17 + 2 • ¹/₃ • 4√17 = 10²/₃√17 ≈ 43,98

9.	van de 100 cm³ waspoeder gaat 44 cm³ in het onderste deel, dus 56 cm³ in het bovenste deel. het bovenste deel is een balk met grondvlak 4 • 4 = 16 cm²dus moet gelden 56 = 16 • h ofwel h = 3,5 cm. de rode lijn hiernaast staat op ^3,5/₈ = ⁷/₁₆ deel van FK

10.	De algemene vorm van een lineaire vergelijking is h = ap + b a = hellinggetal = ^Δ^h/_Δ_p in dit geval hoort bij Δh = 30 een Δp = -1 dus a = ³⁰/_-1 = -30 de formule is dan h = -30p + b bij h = 0 hoort p = 1013, dus 0 = -30 • 1013 + b ⇒ b = 30390 dat geeft inderdaad de gevraagde formule.

11.	log843 ≈ 2,926 aflezen geeft h = 4600 feet. uit de formule: h = 30390 - 30 • 843 = 5100 feet. het verschil is ongeveer 500 feet.

12.	de formules gelijkstellen: 61500(3,00 - logp) = 30390 - 30p Y1 = 61500 * (3 - logX) en Y2 = 30390 - 30X calc - intersect geeft dan X = p ≈ 718 mbar

13.	h = 0 geeft 0 = 61500(3,00 - logp) ⇒ 3,00 - logp = 0 ⇒ logp = 3,00 ⇒ p = 10^3,00 = 1000 h = 1000 geeft 1000 = 61500(3 - logp) ⇒ 0,01626 = 3 - logp ⇒ logp = 2,9827 ⇒ p = 10^2,9837 ≈ 963,25 mbar. de afname is 36,75 mbar en dat is ^36,75/₁₀₀₀ • 100% ≈ 3,7%

14.	Het beginpunt van de grafiek van f ligt bij x = ¹/₁₀π Het beginpunt van de grafiek van g ligt bij x = -¹/₁₀π de verschuiving m ertussen is dus ²/₁₀π

15.	plot de grafiek van f(x) - g(x) dat geeft de figuur hiernaast. calc - maximum geeft punt P(3.14, 2.47) calc - minimum geeft punt Q(0, -2.47) de evenwichtslijn zit midden tussen 2,47 en -2,47 en is dus a = 0
	de amplitude is b = 2,47 het beginpunt zit midden tussen 0 en 3,14 en is dus d = 1,57 de halve periode is 3,14, dus de hele periode is 6,28, dus c = ²^π/_6,28 = 1

16.	(x² - 11x + 28)√x = 0 x² - 11x + 28 = 0 ∨ √x = 0 (x - 4)(x - 7) = 0 ∨ x = 0 x = 4 ∨ x = 7 ∨ x = 0 De snijpunten zijn (0, 0) en (4,0) en (7,0)

17.	in de top is de afgeleide gelijk aan nul. met de productregel: f ' = (2x - 11)•√x + 0,5(x² - 11x + 28) • x^-0,5 = 0 Voer de formule voor f ' in bij Y1 en gebruik vervolgens calc - zero Dat geeft x = 1 Dan is y = (1² - 11 • 1 + 28)√1 = 18. De coördinaten van A zijn (1, 18)

18.	In het snijpunt met de x-as is y = 0, dus geldt (x² - 11x + c)•√x = 0 Dat geeft √x = 0 ∨ x² - 11x + c = 0 De eerste oplossing is de oorsprong. De tweede vergelijking mag dus maar één oplossing hebben Dat is zo als de discriminant ervan nul is: b² - 4ac = 11² - 4 • 1 • c = 0 Dat geeft 121 - 4c = 0 Þ c = 30¹/₄.

19.	AC is de diameter van het grondvlak, dus de straal is ¹/₂AC. AC² = 100² + 100² = 20000 dus AC = √20000 de straal is dus ¹/₂√20000

20.	de omtrek van de bodemplaat is 2π • 100 = 200π. de omtrek van de grondcirkel van de kegel is 2π • 70,7 dan heeft de kegel ⁽²^π^{• 70,7)}/₍₂₀₀_π₎ -ste deel = 0,707-ste deel van een hele omgang afgelegd de hoek is dan 0,707 • 360º = 254,5º

21.	in één keer van boven naar beneden en weer omhoog gaan van C draait de kegel 255º. na 360º is de kegel dus met de tweede keer bezig, en wel in de eerste helft daarvan C is dus nog bezig van boven naar beneden te gaan.

Grafiek.

De functie f is gegeven door f (x) = x² + 12x ^-2, met x > 0. In onderstaande figuur is de grafiek van f getekend.



Op de grafiek van f ligt het punt P met coördinaten (2, 7) .

4p.	5.	Stel op algebraïsche wijze een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek in P.

Een horizontale lijn snijdt de grafiek van f in de punten A en B. De x-coördinaat van A is 1.

3p.	6.	Bereken de x-coördinaat van B. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

Sinusoïdes.

De functies f en g zijn gegeven door f (x) = 4sin(x - ¹/₁₀π) en g(x) = 4sin(x + ¹/₁₀π) . Deze twee functies hebben dezelfde evenwichtsstand en dezelfde periode. In de figuur zie je (een deel van) de grafieken van de functies f en g.



Je kunt de grafiek van f horizontaal over een afstand m verschuiven, zodat deze samenvalt met de grafiek van g.

3p.	14.	Bereken exact een mogelijke waarde van m.

De verschilfunctie v is gegeven door v(x) = f (x) - g(x) . Hieruit volgt dat v(x) kan worden geschreven in de vorm v(x) = a + bsin(c(x - d)).

5p.	15.	Bereken mogelijke waarden van a, b, c en d. Rond de gevonden waarden zo nodig af op twee decimalen.

Functies met een wortel.

Voor c > 0 is de functie f_c gegeven door f_c (x) = (x² - 11x + c)√x . In de volgende figuur is de grafiek van de functie f₂₈ (x) = (x² - 11x + 28)√x getekend.



3p.	16.	Bereken exact de x-coördinaten van de snijpunten van de grafiek van f₂₈ met de x-as.

Op de grafiek van f₂₈ ligt punt A. Punt A is een top van de grafiek. Zie de figuur.

5p.	17.	Bereken met behulp van differentiëren de coördinaten van A.

In de volgende figuur is voor enkele waarden van c de grafiek van f_c getekend.



4p.	18.	Bereken exact voor welke waarde van c de grafiek van f_c de x-as raakt.

HAVO WB, 2012 - II